6.1.3方差与标准差（课件） 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

6.1 平均数与方差 第六章 数据的分析 第3课时:方差与标准差 学习目标 1.重点:理解离差平方和,方差、标准差的概念. 2.难点:熟练掌握方差和标准差的计算. 旧知回顾 当所有的"权"相加为"1"时,相当于除以1,分母部分可省略不写. 加 权 平 均 数 的 公 式 : 算 术 平 均 数 的 概 念 : 一组数据中,所有数据之和,除以这组数据的个数,就得到这组数据的算术平均数,简称平均数. 记做 (读作x拔) 探究新知 甲与丁每次的射击成绩如图所示,他们的平均成绩都是8环,两个人的射击表现一样吗? (1)你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么? (2)你能设法通过计算,说明两个人成绩的稳定程度吗? 甲更稳定 甲的成绩波动较小,集中在平均数附近的数据较多; 丁的成绩波动较大,偏离平均数的数据较多. 需要引入新的指标! 概念学习 实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况. 离 差 平 方 和 的 概 念 : 在统计学里,数据的离散程度可以用离差平方和,方差或标准差等统计量来刻画. 离差平方和是各个数据与平均数之差的平方和, 即 小试牛刀 1.下列哪个统计量,不能描述数据的离散程度?( ) A.方差 B.离差平方和 C.平均数 D.标准差 2.数据3,4,5,6,7的平均数是_____,离差平方和是_____. 5 C S2=(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2 = (-2)2 + (-1)2 + 02 + 12 + 22 10 一般而言,一组数据的方差或标准差越小,这组数据就越稳定. 概念学习 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数, 即 方 差 与 标 准 差 的 概 念 : 其中, 是x1,x2,…,xn的平均数,s2是方差.而标准差就是方差的算术平方根. 小试牛刀 3.数据1,2,3,4,5的平均数是_____,方差是_____,标准差是_____. 4.数据2,4,6,8,10的平均数是_____,方差是_____,标准差是______. 3 2 s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]÷5=2. 6 8 s2=[(2-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(8-6)2+(10-6)2]÷5=8. 例题解析 例2计算图6-4中,甲射击成绩的标准差(精确到0.01) 解: (6+7×3+8×5+9×3+10)÷13=8(环) [(6-8)2+(7-8)2×3+(8-8)2×5+(9-8)2×3+(10-8)2] ÷13= 所以,甲射击成绩的标准差约为1.04环. 求方差或标准差,必先求平均数. 思考·交流 (1)计算图6-1中,丙射击成绩的方差,并比较甲,丙的射击成绩; (2)丁又进行了几次射击,这时他所有射击成绩的平均数没变,但方差变小了.你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点? 甲的成绩比丙低，但比丙稳定. 说明后几次射击成绩更稳定. 随堂练习 1.甲,乙两支仪仗队队员的身高(单位:cm)如下: 甲队:178,177,179,179,178,178,177,178,177,179; 乙队:178,177,179,176,178,180,180,178,176,178. 哪支仪仗队队员的身高更为整齐?你是怎样判断的? 解: 甲队的身高更为整齐,理由如下: 所以,甲队队员的身高更为整齐. 习题6.1 5.甲,乙两名战士在相同条件下10次射击的环数如下: 甲:8,6,7,8,9,10,6,5,4,7; 乙:7,9,8,5,6,7,7,6,7,8. 分别计算以上两组数据的方差,并评价两人的稳定性. 解: 所以,乙战士的射击成绩更稳定. 加餐训练 1.人数相同的八年级(1)(2)两班学生在同一次数学单元测试中,班级平均分和方差如下: 则成绩较为稳定的班级是 ( ) A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 2.五个数1,3,a,5,8的平均数是4,则a=_____,这五个数的 方差为_____. 3 5.6 (1)数据x1-3,x2-3,x3-3,…,xn-3的平均数为 ,方差为 ; (2)数据2x1-3,2x2-3,2x3-3 ,…,2xn-3的平均数为 ,方差为 . 3.若数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2,则 x 加餐训练 s2 4s2 每个数都加或减a,不影响方差 每个数都扩大a倍,则方差扩大a2倍. $