湖南省永州市江永县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

江永三中2025年下期高二期中考试数学试卷 命题人：何榕 审核人：李乐 考试时间：120分钟满分：150分 班级： 姓名： 总分： 第I卷（选择题58分） 一，单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题 目要求的 1.已知集合A={-1,0,L,2,B={0,1,2,3,则A1B=() A.{0,1,2 B.{1,2,3} c.{-1,3} D.{-1,0,1,2,3} 2.复数z满足z(2+i)=1,那么复数z对应的点坐标为() A.(2,-1) 居副 c(3引 D(层 3若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( A.a,2b,b-a B.a+b,a-b,-a C.a+2b,2b+3c,3a-9c D.a+b+c,a+b,c 4已知向量a=(1,m,-1),6=(1,-1,1),若(6+6)1方，则m=() A.4 B.3 C.2 D.1 5.△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1,OB=4,OC=2.则平面ABC的一个法向量是(】 A.(4,2,1) B.(1,2）) C.(2,1) D.(-1,2,-4) 6.甲、乙两台机器分别加工一个相同型号的零件，己知甲、乙两台机器加工得到A级产品的概 率分别为和，两个零件是否被加工为A级产品相互独立，则这两个零件中恰有一个被加工为A 级产品的概率为() A号 5 B.2 7 C.20 D 7.在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3,BC=3,AB=3V2,AA=4,则异面直线AC与BC所成角的余 弦值为() 第1页共4页 A.、16 16 4 D. 25 25 5 8.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中，点P是侧面正方形CDD,G内的动点，点Q是正方形ABBA 的中心，且PQ与平面CDDG所成角的正弦值是4N7 则动点P的轨迹图形的面积为() 17 A B.元 C.2√2 D. 4 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点A(1,一2)，B(5,6)到直线l:ax十y十1=0的距离相等，则实数a的值可以为() A.-2 B.-1 c.1 D.2 10.如图，在平行六面体ABCD-ABC,D中，以顶点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是 60°，P为4D与AD,的交点，若B=a,D=五，M=,则下列正确的是() D A0=-a-5+8 B.H花=a+b-8 B 2 2 严"-6 C.cos(DC,AC)= D.BD的长为2N3 D 3 11.己知直线1过点P(一1,1)，且与直线1：2x一y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等 腰三角形，则下列结论正确的是() A.直线1与直线1的斜率互为相反数 B.所围成的等腰三角形面积为1 C.直线1关于原点对称的直线方程为2x+y一1=0 D.原点到直线1的距离为 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.两平行直线l4:x+2y十20=0与l2:x十2y十c=0的距离为2，则c等于 13.若x2+y2一2x+y一2m=0（m>0)是一个圆的方程，求圆心的坐标 第2页共4页 14在直三棱柱ABC-4B,C中，∠ACB=元，AC=2,BC=1,AM=2,点D是棱AC的中点，点E在棱 2 BB上运动，则点D到直线CE的距离的最小值为· 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知向量a=(2,-1,2),b=(L,4,1) (1)求2a-b的值； (2)求向量a+2b与a-b夹角的余弦值 16.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，求 D B D B (1)求证：AD,/∥平面BCC,B: (2)直线BC与平面ABCD所成的角； (3)求平面ABD与平面ABCD的所成夹角余弦值。 17.己知点P(2,-1),Q(-1,m+1)求： (1)过点P且在y轴上截距-3的直线1的方程： (2)已知直线l1:2x十my一3=0，直线l2经过P,Q两点，若1//l2,求实数m的值 第3页共4页 18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2=b2+V2ac. (1)求角B的大小： (2)求2cosA+cosC的最大值. 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中BCI/AD,AB⊥AD,AB=BC=1,M为线段PA中点，连接BM. B (1)证明：BM1/平面PCD: (2)求M到平面PCD的距离； 3)线段PD上是否存在一点E,使得平面E4C与平面DAC夹角的余弦值为5？若存在，求出 5 的值 PD 若不存在，请说明理由. 第4页共4页江永县第三中学高二数学期中考试测试卷答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 A D 0 B B C C A AB AC ACD 12.10或30 3V5 13. 1,-2 14. 5 151a=(2,-12),6=0,4,1）,2a=(4,-2.,4),2a-b=(6,6,3),÷ 2a-B=3+(6}+32=36: (a+2b)a-) r (2)设a+2b与a-b的夹角为0，则cos0= , a+2b=(47,4),a+2方=9， a+2b-a-b a-b=L,5,),a-=33,÷cos0= 4×1+7×(-5)+4×1-275 ,向量 9×3V3 27V33 a+26与a-b夹角的余弦值为- 3 16（1)由于D1C1/AB,D1C1=AB,则四边形D1C1BA为平行四边形，AD1/BC1,而BC1C 平面BCCB1,AD1不在平面内，所以AD,/∥平面BCCB; (2) D B 建立如图所示，以D为坐标原点， DA、DC、DD分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系， 根据题意有：A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),G(0,2,2),D(0,0,2), 所以=(-20,0)，B=(0,20),AD=(-20,2) 设平面ABCD的法向量为%=(xy,), rU题 所以径西0 2y=0 x=1 2x+22=0'令=1，则有3=0， 即 n·AD=0 3=1 所以片=L0,)为平面ABCD,的一个法向量， 设直线BC与平面ABC,D所成角为B, 则有sin0= 2×1+0+0_V2 H题 ,又因为0∈[0,90]， BCn 2N2 2 所以0=45° (支如图所示，以D为原点、DA为力轴，DC为轴，D加为钩 建立应间直角生瓶系则A(2,0,2)B(2,2,0) D0,0,0)..∴. 丽：(2,0,2)2=(2,2，) 设平色A,BD的个法向是为元(%，为.2) :元丽” 了2为t40 元减-022%t则0 取刊对 元=(1，，). 同理得平面ABC)的十法晶 为元=(0,0,1) 设平面A,BD5平面ABD所成角为9. 则cs8: 元 3)9 面 17. 几)没选直线L的方程为方妆3 92,)代0.-3 k1.故L:-3.域方93=) 6:种：号 即：m)+3y2m-1=0 k品婴 ..m2m-b二D m)=7期得m:听-小 :安数m的值为万-1或万-1 18. 18).,a2+C2=b2+J2n( 油练定理205B反.化B:慢 .82 (2).丘5A5e 盟0A+化多C:姿-A E05A十C0sC:五o5A十sl经-A)》 :竖%月+竖Sim4 三 3 inlA+子) A为N48C的内角0LA∠经4A骨∠元 故，当At辛：子即A子时SnlA)有最大值1. 19.(1)在四棱锥P-ABCD中，取PD中点N,连接MN, 白M为PA的中点，且AD=2,BC=1,得MN1UAD1BC,MN)AD=1上BC,则四边 形BCNM为平行四边形，BMI/CN,而CWC平面PCD,BMd平面PCD,所以BM/平 面PCD. (2)取AD的中点O,连接PO,OC,由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD,而平面PAD⊥ 平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD,则PO⊥平面ABCD,由 AO=BC=L,AO/BC,得四边形ABCO是平行四边形，于是OC1IAB,而AB⊥AD,则 0C⊥AD,直线OC,OD,OP两两垂直， 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， ZA 则40，-1,0，D0,10,CL,0,0,B0,-1,0,P0,0,N3),C=（-1,0,N3),CD=(-11,0), 质.0=-x+5z=0 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 .贾=-x+y=0 取z=1,得n=(3,3,), 又觉=0，L0,所以B到平面P0的距离d-院15_V Inl万7， 因为BM1/平面PCD,所以M到平面PCD的距离为B到平面PCD的距离，即Y 7 (3)令Pz=PD=0,元，-V3,10,1, H花=P+P元=(0,13)+0，元，)=0,1+元，5-3，AC=,1,0),设平面E4c的法 H光=a+b=0 向量为m=a,6e小，则{6=0+0b+(5-5水=0 取b=V3(元-D,得m=(51-),5-D,元+D,平面D4C的法向量为O严=0,05)， 于是os册， 0r品 5(+1)-5 OPM3V722-10+7 =5，化简得212-5+2=0，又 <O,,解得2)，即%)所以线段PD上存在点E,使得平面Ac与平面D4C奥 角的余弦值为.PE1 5’PD2