精品解析：山西省太原市外国语学校2021-2022学年高二上学期期中数学试题

高二数学试题 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，且其倾斜角为，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，在棱长为1的正方体中，设，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是双曲线的两个焦点，点在上，且轴，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆上到直线的距离为1的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 6. 已知抛物线与直线相切，为上任意一点，到的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的母线长均为，底面直径均为4.记过两个圆锥轴的截面为，平面与两个圆锥的交线为.已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，若双曲线的两顶点恰为其所在母线的中点，则建立恰当的坐标系后，双曲线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 8. 过点引直线与曲线相交于两点，则直线的斜率范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 10. 1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 为等边三角形 C. 欧拉线方程为 D. 外接圆的方程为 11. 我国发射的“神舟十二号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，地球是一个半径为的球体，为地球表面任意一点，飞船运行轨道近地点A与点的最远距离为千米，远地点与点的最远距离为千米，则下列结论正确的是（ ） A. 飞船运行轨道的长轴长为千米 B. 飞船运行轨道的焦距为千米 C. 飞船运行轨道的短轴长为千米 D. 飞船运行轨道的离心率为 12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点的离心率分别,P为曲线与的一个公共点，则下列各项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则无最小值 D. 若，则最小值为2 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线与直线垂直.则的值为___________. 14. 定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为___________. 15. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面.该镜面圆形镜口的直径，镜深.为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为___________. 16. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，则点的横坐标为___________；点，若，则的离心率为___________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知椭圆经过点. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，求弦长的值. 18. 如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分别为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 拟在某小区北侧围栏外的草坪上修建健身步道，设计思路为相交的两圆，设计方案如图所示：点为小区出入口，且均在圆上，点正北方向20米处为圆心点正北方向60米处为圆心米，且为两圆的相交弦，求的长. 20. 如图，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 21. 已知抛物线的焦点为，点在上，其中. （1）求的值； （2）直线与相交于两点，直线是圆的两条切线，求直线的斜率. 22. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，点恒在以为直径的圆内，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，且其倾斜角为，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式即可求解． 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，解得. 故选：D. 2. 如图，在棱长为1的正方体中，设，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的运算法则即可求解. 【详解】由正方体的性质可得，，故，. 故选：B 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程,求出,则可求出,写出焦点坐标即可. 【详解】由题意知，又该椭圆焦点在轴上，故焦点坐标为. 故选:. 4. 已知是双曲线的两个焦点，点在上，且轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算，，计算得到答案. 【详解】由题，当时，，故半通径. ，，，. 故选：A 5. 圆上到直线的距离为1的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【详解】化为，得圆心坐标为，半径为圆心到直线的距离直线与圆相交.注意到，可知圆上有3个点到直线的距离为1.故选：C. 6. 已知抛物线与直线相切，为上任意一点，到的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，由直线与抛物线相切，求得抛物线，再利用抛物线的定义求解. 【详解】解：联立，得 ，解得舍 ，其焦点为， 由题， 当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号， 故的最小值为. 故选：A. 7. 如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的母线长均为，底面直径均为4.记过两个圆锥轴的截面为，平面与两个圆锥的交线为.已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，若双曲线的两顶点恰为其所在母线的中点，则建立恰当的坐标系后，双曲线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定为等轴双曲线，排除AB选项，双曲线两顶点间的距离为2，得到，排除D，得到答案. 【详解】圆锥的母线长均为，底面直径均为，，故， 所以双曲线的两条渐近线互相垂直，为等轴双曲线，排除AB选项. 易知两圆锥的高均为2，双曲线两顶点间的距离为2，即实轴长，排除D. 故选：C. 8. 过点引直线与曲线相交于两点，则直线的斜率范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆弧，画出图像得到，计算得到答案. 【详解】曲线方程可化为， 它表示以为圆心，2为半径的上半圆弧， 易知直线斜率存在，设直线方程为，即， 如图所示：直线的斜率应满足， 其中直线与相切于点， ，解得或（舍去），又， 所以. 故选：D. 二､多项选择题：大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以，所以向量与不共线，故选项A不正确； 因为，，所以，故选项B正确； 因为，故选项C正确； 因为，所以，即，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 为等边三角形 C. 欧拉线方程为 D. 外接圆的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重心公式计算得到A正确；计算得到B错误；计算线段垂直平分线的方程得到C正确；计算外接圆圆心为，得到圆方程，D正确，得到答案. 【详解】为的重心，设，由重心坐标公式， 解得，，选项A正确； ，所以不是等边三角形，故选项B错误； ，的外心､重心､垂心都位于线段的垂直平分线上，的顶点，线段的中点的坐标为，线段所在直线的斜率，线段垂直平分线的方程为，即，的欧拉线方程为，故选项C正确； 因为线段的垂直平分线方程为，的外心为线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，所以交点的坐标满足，解得，外接圆半径，所以外接圆方程为，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 我国发射的“神舟十二号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，地球是一个半径为的球体，为地球表面任意一点，飞船运行轨道近地点A与点的最远距离为千米，远地点与点的最远距离为千米，则下列结论正确的是（ ） A. 飞船运行轨道的长轴长为千米 B. 飞船运行轨道的焦距为千米 C. 飞船运行轨道的短轴长为千米 D. 飞船运行轨道的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】设飞船运行椭圆轨道的长轴长为千米，短轴长为千米，焦距为千米，由椭圆性质得近地点、远地点与地面上点的最远距离，从而求得，然后由椭圆性质计算判断． 【详解】设飞船运行椭圆轨道的长轴长为千米，短轴长为千米，焦距为千米， 由题， 解得， 所以飞船运行轨道的长轴长为千米，故A错误； 焦距为千米，故B正确； 短轴长为千米，故C错误； 离心率，所以D正确. 故选：BD. 12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点的离心率分别,P为曲线与的一个公共点，则下列各项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则无最小值 D. 若，则最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】计算得到，，A正确，B错误；确定，，根据函数的单调性得到C正确，D错误.，得到答案. 【详解】记焦距为，则， 由椭圆定义可得，由双曲线定义可得， 结合选项，不妨设，，故. 若，则，故A正确，B错误. 若，则， 即 ， 记，则在上单调递增，取值范围为， 无最小值，故C正确，D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线与直线垂直.则的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线垂直可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为与垂直， 所以，解得. 故答案为：2. 14. 定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，得到答案. 【详解】， 故在基底下的坐标为， 故答案为：. 15. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面.该镜面圆形镜口的直径，镜深.为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则点坐标为，设平面截该镜面所得的抛物线方程为，代入，得，小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点的距离应为. 故答案为： 16. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，则点的横坐标为___________；点，若，则的离心率为___________. 【答案】 ①. ②. 2或 【解析】 【分析】首先确定渐近线方程，再结合三角函数即可求解点的横坐标；利用所给的正切值，求出，再结合正切的二倍角公式，化简即可求解离心率. 【详解】由题，其中.双曲线过一､三象限的渐近线为，故， 所以，从而点横坐标. 又点纵坐标，故点的坐标为. ，，化简得或， 从而的离心率或. 故答案为：；2或 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知椭圆经过点. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，求弦长的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入坐标即可求解. （2）利用弦长公式以及韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题且， 解得 的方程为. 【小问2详解】 设， 联立得. 解得， . 18. 如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分别为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离. 【小问1详解】 平面平面，平面平面平面， 平面， 平面， 由题可得， 平面，平面. 【小问2详解】 以点为坐标原点，的方向分别为轴､轴轴的正方向建立空间直角坐标系， 可得， 则. 设平面的一个法向量为， 由，得，不妨令，则. 设点到平面的距离为，则. 19. 拟在某小区北侧围栏外的草坪上修建健身步道，设计思路为相交的两圆，设计方案如图所示：点为小区出入口，且均在圆上，点正北方向20米处为圆心点正北方向60米处为圆心米，且为两圆的相交弦，求的长. 【答案】米 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据线段长度计算两圆的方程，得到相交弦所在直线方程，计算点到直线的距离，得到答案. 【详解】以所在直线为轴，为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，如图所示： ， 圆半径为米，圆方程为：， 圆半径为，圆方程为：； 两式相减可得相交弦所在直线方程， 圆心到直线的距离米， 所以米. 20. 如图，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系建立空间直角坐标系，通过证明向量与平面的法向量垂直即可证明结论. （2）先求出两个平面的法向量，再根据两个平面的法向量夹角余弦值的绝对值为，即可求出线段的长. 【小问1详解】 依题意，可以建立以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，， 设，则， 根据题意得，是平面的一个法向量， 所以，即， 又因为直线平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，，，，， 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得. 设为平面的法向量， 则即， 不妨令，可得， 由题意，得， 解得， 所以线段的长为. 21. 已知抛物线的焦点为，点在上，其中. （1）求的值； （2）直线与相交于两点，直线是圆的两条切线，求直线的斜率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，得到，代入得到答案. （2）设，联立方程得到根与系数的关系，根据得到，得到直线斜率. 【小问1详解】 由抛物线的定义知：点到的准线的距离为，， 的方程为，，又，. 【小问2详解】 法：，的倾斜角互补，斜率之和为0，的斜率存在且非零， 设，联立，得. 设，则，， 同理，， ，直线的斜率为. 法2：设，则， 同理， ，， 直线的斜率为. 22. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，点恒在以为直径的圆内，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和离心率定义以及点在曲线上即可求解；（2）联立直线和椭圆，借助韦达定理和点在圆内的向量表达即可进一步求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则 解得 故的方程为. 【小问2详解】 联立 得， 设， 则. 由题：任意. ， ， 对任意恒成立， 解得. 的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $