山西省三晋联盟山西名校2025-2026学年高二上学期11月期中联合考试数学试题

2025一2026学年三晋联盟山西名校高二11月期中联合考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在木试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.木试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1椭圆6十石一1上一点P到该椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 A.8 B.6 C.7 D.5 2.双曲线4y2一3x2=24的渐近线方程为 Ay=±是 Cy-4 Dy= 3 3.圆O:x2+y2=1与圆M:(x一2)2+(y十√14)2=9的公切线的条数为 A.3 B.4 C.2 D.1 4.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，P是C上的一动点，A(4,2),则|PA|+|PF|的最小 值为 A.5 B.7 C.6 D.8 x2 y2 5.已知FF:分别是双曲线C:a一京=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在C上，且PFL PF2,△PF,F2的面积为18，则b= A.9 B.18 C.6√2 D.32 6.已知过点P(一1，一2)且斜率为k的直线l与抛物线C:y2=一8x交于A,B两点，且P为线 段AB的中点，则k= A.-4 B.-2 C.4 D.2 7.已知A,B分别是椭圆C:十=1(a>6>0)的左、右顶点，点P(a+2c,2c)满足∠APB =15°，则C的离心率为 A2+1 B3+1 C,3+1 D②+1 2 2 4 4 仅供发货使用 【高二数学第1页（共4页）】 8.如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，PO⊥平面ABC,O为垂足，D为棱PC 的中点，则PO.AD= A- B号 c-号 n-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若A(一3,1,4)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则 A.点A关于x轴对称的点的坐标为（一3，一1，一4） B.点A关于Oxy平面对称的点的坐标为(3，一1,4) C.点A到Oy之平面的距离为3 D.点A到y轴的距离为v√IO :十少=1，则下列判晰正确的是 0.已知a∈o,)U(S,曲线C:。+osa7 A.C可能表示圆 B.C可能表示焦点在y轴上的双曲线 C.若C表示双曲线，则e∈（受x) D.若C表示焦点在x轴上的椭圆，则C的焦距的取值范围为(O,2) 1.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,CD=2AB,AD= 2 AB,E为线段 3AE6 AC上的一点，以A,B为顶点的双曲线M经过点E,且子≤AC≤号，则M 的离心率可能为 A.3 B.√2 C.2 D.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 13 12.已知点(3,4)到抛物线C:x2=2y(p>0)的准线的距离为元，则力=▲ 【高二数学第2页（共4页）】 13.某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为号的椭圆被一条横线截去一小部 分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为6dm,底部的宽度为3.6dm,则该镜子 的高度为▲dm. -6 dm- 3.6dm 图1 图2 ,已知F是等轴双曲线C无-=1@>0，b>0的右焦点，关于原点对称的点P,Q均在 上，且IQF|+|PF|=8a,则cos∠PFQ=▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知点A(1,-2),直线l:x一3y十1=0. (1)求过A,且与1平行的直线的一般式方程： (2)求过A,且与（垂直的直线的斜截式方程： (3)已知直线l1:x一y十1=0.直线l2经过点A,且1，l1,l2相交于一点，求L2的倾斜角. 16.(15分) 已知圆M:x2+2x+y2-2y+m=0的半径为3. (1)求m: (2)若A为圆M上的一个动点，B(2,5),求AB|的取值范围； (3)若过点(0，一1)的直线1与圆M交于C,D两点，且ICD=4√2，求l的方程. 17.(15分) 已知点F(-,0),动点Q在直线x-上，过Q且垂直于y轴的直线与线段Q℉的垂直 平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C (1)求C的方程. (2)已知经过点（一1,0）的直线l与C交于A,B两点. ①求A,B纵坐标的乘积： ②若△ABF的面积为2·求1的斜率。 18.(17分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，侧面BB,C1C为正方形，AC=BC=2,平面BB1C1C与 平面ABC的夹角的余弦值为S,AC⊥BC (1)证明：平面AB,C⊥平面BB,C1C. (2)求三棱柱ABC-A,B1C,的体积 (3)求平面ABC与平面AB,C,夹角的余弦值. B. 19.(17分) 已知箱圆C号+芳=1a>6>0)经过0w5).1,-多)两点。 (1)求C的方程. (2)若点Q(},0),P是C上动点，求PQ的最小值， (3)若直线1与C交于与点A(1,2)不重合的M,N两点，且A在以MN为直径的圆上， AD⊥MN,垂足为D,判断是否存在点Q,使得|DQ|为定值.若存在，求点Q的坐标；若 不存在，请说明理由。 【高二数学第4页（共4页）】 2025一2026学年三晋联盟山西名校高二11月期中联合考试 数学参考答案 1.C由椭圆的定义得P到另一个焦点的距离为2×√25一3=7. ②C由题意得-名=1，所以双曲线1y-3=24的渐近线方程为y=士6 2x. 3.B由题意得O(0,0),圆O的半径为1，M(2,一√14)，圆M的半径为3.因为OM=3√2> 1十3=4，所以圆O与圆M外离，圆O与圆M的公切线的条数为4. 4.C设P到('的准线x=一2的距离为d,则|PA|+|PF|=|PA|+d≥4一（一2）=6，所以 |PA+|PFI的最小值为6. (PF-PF2=2a, 5.D设C的焦距为2c,由题意得2PF,川PF,=18, 得4c2-4a2=4b2=72, |PF1|2+|PF212=|F1F2I2=4c2, 得b=3√2. y1=-8x1, 6.D设A(x1·y1),B(x2,y2),则y1十y2=一4，山 得(y1-y2)(y1+y2)= y2=-8x2, -8(x1-x2),得k=y1一y2=-8 2 x1-x2y1+y2 7.C过P作PQ垂直于x轴，垂足为Q(图略).易得|BQ|=|PQ|=4c,得∠BPQ=45°，则 ∠APQ=∠BPQ+∠APB=60在△MPQ中，由an∠APQ-份得2=5，得e 4c ==3+1 a 4 8A因为P0=A6-A庐=号A店+AC-A应，Aò=2AC+号A拉，所以P0.A市= (号A+号AC-A)·(2AC+号A)=日A·AC+合A.A泸+青AC心+名AC· A-2a.C-2a, 因为A店，AC=2,A店.=A,AC=2×3×号=2，A(=4A前=9，所以Pi.币= -23 6 9.AC点A关于x轴对称的点的坐标为（一3，一1，一4），A正确.点A关于Oxy平面对称的 点的坐标为（一3,1，一4），B错误.点A到Oyz平面的距离为3，C正确.点A到y轴的距离 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 为√32+4=5，D错误. 10ACD当=时sna=coa-号C表示圆，A正确由a∈(0，U(受，得na 4 >0,所以C不可能表示焦点在y轴上的双曲线，B错误.若C表示双曲线，则cosa<0,得α ∈（受，，C正确，若C表示焦点在x轴上的椭圆.则sine>cosa>0,得tan>1,得a∈ (于，），所以C的焦距为2√ina-cosa=2,√2sin(a-不)∈(0,2)，D正确. 1ACD如图，以AB的中点0为原点，建立直角坐标系，设M: 若=1a>0.6b>0.Eg,得A(-a,0.B(a,0.易得C2a. 2a),则AC=(3a,2a),AE=(xo十a,yo). 设X-2,则A正=(+a,yw)=C=(a,2a,得w=3a以- a,3=2aA,将E3-,2a)代人M的方程，得3a2-a)_2a)=1,得(3-1)2- a 4a2λ2 2=1,则e2=2=4以土1=4。十1 =a29n2-6x 96 因为数。1子，引上装大停》-e》=5流 √3≤e≤5. 125由题意得C的准线为直线y=-名，则4计号-兰，得力=5 13.9如图，以椭圆的中心为原点O,建立直角坐标系，设椭圆的方程为 2b=6, a=5, y2x2 若+方=1a>6>0),焦距为2.由。=三=会，得6二3，所以椭圆 e=a-5' c=4, 的方程为若+号=1当=18时芳+山-1，得)=士4由图可 知镜子的高度为4+5=9dm. 14-吕设C的左焦点为P,易得四边形PF,QF是平行四边形.则 QF+PF=PF+PFI=8a. PEl+1PFl=8a；得PEl=5a'或PEl=3a, IPF:|-IPFII-2a,PFI-3 或 |PF|=5a. 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 在△PFF中，F,F=2c=2W2a,os∠FPF,=PF+IPF-FF_13 2PFPFI 5 得cos∠PFQ=cos(x-∠FPP)=-cOs∠FPp,=- 15.解：(1)设与（平行的直线的一般式方程为x一3y十c=0.…1分 将A(1,一2)代人x-3y十c=0,得1+3X2+c=0,得c=一7，…3分 所以与L平行的直线的一般式方程为x一3y一7=0.…4分 (2)由题意得1的斜率为3… 5分 1 则与！垂直的直线的斜率为一 =一3. 1 …7分 3 所以与1垂直的直线的斜截式方程为y=一3(x一1)一2，即y=一3x十1.…8分 x-3y+1=0,mx=-1, (3)设l2的倾斜角为a(0≤a<π).由 x-y+1=0, 得 …10分 y=0, 则的斜率为 --1=tan a, …12分 所以。还，即的倾斜角为平 …13分 16.解：(1)由M:x2十2x十y2-2y+m=0,得(x+1)2十(y-1)2=一m+2,…2分 则一十2=9，得=一7.……4分 (2)由题意得M(一1,1)，得|MB|=√(2+1)2+(5-1)=5>3，则B在圆M外，…6分 所以MB|一3=2≤|AB|≤|MB|+3=8.故|AB|的取值范围为[2,8].…9分 (3)设M到l的距离为d.由CD=2√9-d=4√2，得d=1.…10分 当1的斜率不存在时，x=0符合题意. 11分 当l的斜率存在时，设l:y=k.x一1，即l:kx一y一1=0.…12分 由d=-6-1二1=1，得k=一2 4· …14分 Vk+F 所以1的方程为y=-子x-1 故l的方程为x=0或3x十4y十4=0.…15分 1.解：1)由题意得P到F(-子，o)的距离等于P到直线x=的距离， …2分 所以C是以F为焦点，直线x=三为准线的抛物线。 …3分 故C的方程为y2=-3x. …4分 (2)①易得l的斜率不为0.… …5分 l:x=my-1,A(x1,y),B(x2,y2). 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 |x=my-1, 由 y2=-3x, 得y2+3my-3=0, 7分 △=9m2+12>0, 得y1十y2=一3m,故A,B纵坐标的乘积为一3.… 9分 y1y2=-3. ②由Sr=X(1-是)×1，-=g×V+)广-4wg=名×√9m+2= , e…4ee0 a.000tee40ee4 ...0.............0e0…4 12分 得m=号得m=士号 …14分 所以1的斜率为站土是 15分 m 18.(1)证明：在正方形BB1C1C中，BC1⊥B1C. 因为AC⊥BC1,AC∩B,C=C,所以BC1⊥平面AB,C. 3分 因为BC1C平面BB,C1C,所以平面AB1C⊥平面BB1C1C.…5分 (2)解：如图，以C,为坐标原点，CB,CC的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角 坐标系，则C1(0,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,0),B(2,2,0).…6分 设A(a.b,c),则A1(a,b-2,c). 因为CB=(2,2,0),CA=(a,b-2,c),且A(⊥BC1, 所以C,B.CA=2a+2b-4=0,即a十b=2.…7分 因为AC=2,所以a2+(b-2)2+c2=4.…8分 设平面ABC的法向量为n=(x,y,之). 因为CA=(a,b-2,c),CB=(2,0,0), (n.CA=ax+(b-2)y+cz=0, 所以n.C成=2x=0: 令y=c,则n=(0,c,2一b).…9分 易得平面BB1C1C的一个法向量为m=(0,0,1).…10分 因为平面B,CC与平面ABC的夹角的余弦值为汽， = 所以eosn,m>-√十2b3解得a=6=1,c=2,。 …11分 所以VAcA,B,C=3VA-B,c=S△B,x·c=2W2. … …12分 (3)解：设平面AB,C1的法向量为p=(x,y,z),因为CA=(1,1,√2).C,B=(2,0,0), p·C1A=x+y+2x=0 所以 令之=1，得p=(0,一√2,1).…14分 p·C1B1=2x=0, 设平面ABC与平面AB,C1的夹角为0.因为平面ABC的一个法向量为n=(0,W2,1),… …15分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 所以os0-lox(Pw1=B识-号， 所以平面ABC与平面AB,C,1的夹角的余弦值为 …17分 (5)2 62 三1， 19.解：(1)由题意得 (- 3)2 2分 1， a 1b2=3, 得 a2=4, 3分 所以C的方程为4十3=工 4分 （2)设Q(-2≤2.+号=1，得8=3-3 5分 则1Q1=√，-+g=√(-+3--√8-+需， …6分 1 2 当x0= 11+49_35 =1时，PQ取得最小值，月|PQ|m=,4-2十i6 41 …8分 2×4 (3)当l的斜率存在时，设点M(x1,y1),N(x2y2),l:y=kx十m. -8km (y=kx+m, x1十x2= 3+4k2, 面+美得3十42z+8mz十n-12=0,得 …9分 4 4m2-12 x1x2= 3+4k2 由题意得AMLAN,则M.A寸=(x,-1)(x:-1)+(-2(-)=0,…10分 得x1-1x,-1D+(kx+m-)(kx十m-）=(1+k)x1x+(mk-是k-1)x +,+m-m+号-1+6)，2+e-26-）·370+m-3m+ 3十4k2 =0, …11分 得4k2+28m2+32km-36m-9=(2k+14m+3)(2k+2m-3)=0.…12分 因为A(1,2)不在直线1：y=kx十m上，所以2k+2m-3≠0， 得2张十14m+3=0,即m=--是，则1的方程为y=(2-)-音，l过定点E(分， 13分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 当l的斜率不存在时，设点M(x1,y1),得N(x1,一y1), 则.A=-1a-10+(-2(--多）=-2红，-yi+9-0. ……14分 结合+普-1，得7x-x1+1=0,得x=号或，-1会去.放1过定点（宁，-品）， …15分 令Q为AE的中点则Q(号，)： 当D与E重合时.1DQ1-号1AE1-35,当D与E不重合时，1DQ1-安AE1=35 7 …16分 故存在点Q(停，器)，使得1DQ为定值。…17分 【二·来旁第6页（共6页）】