4.3《 图形的旋转》期末小节复习题--2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 该练习聚焦图形旋转，通过基础辨析、中档计算、综合探究三层设计，覆盖从旋转性质到模型应用的知识路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|旋转性质、全等判定|单选1-4结合等边三角形旋转，填空7-9巩固基本构造| |中档|旋转与勾股综合|单选5-6涉及正方形旋转计算，填空10-12强化空间观念| |综合|模型应用与证明|解答题13-18通过半角模型、旋转构造，提升推理与创新意识|

4.3《图形的旋转》期末小节复习题 一、单选题 1.已知如图，点B是线段AD上一点，△ABC、aBDE都是等边三角形，下列说法正确的有() (1)△ABE可由△CBD旋转得到；(2)△ABF绕B点顺时针旋转60°可得△CBG;(3)△BFG是等 边三角形；(4)∠BAF=∠BCD;(5)如果∠BDC=20°，则∠AED=80°；(6)如果AF=3,AE=8, 则DG=5; A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 2.如图，在等边三角形ABC中，点D是AC边上的一点，连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋 转60°，得到△BAE,连接ED,若BC=I0,BD=8,其中错误的结论是() A.AE∥BC B.LADE=∠BDC C.△ADE的周长等于18 D.△BDE是等边三角形 3.如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG,若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转 180°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积(). M E A.不变 B.先增大再减小C.先减小再增大D.不断增大 4.如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，∠DAE=24°，将△ADE绕点A顺时针旋转，使得 AD与AB重合，此时点E旋转至点E,连接EE',则∠CEE'的度数为(). B A.67° B.68 C.69° D.70 5.如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC',连接CC',DC',若LCC'D=90 ,CD=3,则线段BC的长度为() A D A.6 B.42 C.35 D.35 6.如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B沿顺时针方向旋转后与△CBP重合，若 PB=5,那么PP=() A.5√5 B.55 C.6 D.5√2 二、填空题 7.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=√6，PB=√2，PC=2√2，则这个等边三角形 ABC的边长为 B 8.如图，点P是等边三角形ABC内部一点，连接AP、BP、CP,且AP2=BP2+CP2,现将 △APC绕点A顺时针旋转到△ADB的位置，对于下列结论：①△ADP是等边三角形；② △ABP△CBP;③LDBP=90°；④LBPC=150°.其中结论正确的是 (填序号). A D B C 9.如图，正方形ABCD中，AB=6,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=3,连接 DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、CF,则线段OF长的最小值为 10.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√5、√2、4，则 正方形ABCD的面积为· ◇ P B 11.如图，P为正方形ABCD内一点，PA=2,PB=4,PC=6,则∠APB= D B 12.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90到 △CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE'C= D B 三、解答题 13.如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°， 连接EF. (1)思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF= ∠EAF=45°，可证△AFG≌△AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为_； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到正方形ABCD的 边CB,DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF,猜想EF,BE,DF之间的数量关系为，并给 出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰Rt△ABC,∠BAC=90°，∠MAN=45°，把∠MAN绕点A旋转， 在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E,若BD=2,EC=4,则BE的长为_ E D F D G 图1 图2 图3 14.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个项点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该项点的两对边 的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论， 例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的LEAF=45°，AE、AF与BC、CD边分 别交于E、F两点，易证得EF=BE+FD, 大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH,由 LHBE=180°可得H、B、E三点共线，∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明 △AEH≌△AEF,故EF=BE+DF, 任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=LD=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的 LEAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认 为结论EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. D D 45 45 B E H B E B E 图1 图2 图3 15.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=CB. (I)如图1，△CDE是等腰直角三角形，点D在AB的延长线上，CD=CE,连接BD,求证： BE⊥AB; (2)如图，点M在△ABC外，MA=3,MC=3√2，∠AMC=75°，求MB, (3)如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=10,AC=15,点P是三角形内一点，连PA,PB, PC,则PA+PB+PC的最小值是_， 16.【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动，如 图，△ABC和△ADE是共直角顶点的等腰直角三角形，且AB=√5，AD=1,将△ADE绕点A顺时 针旋转，直线BD、CE交于点P. 【操作发现】 (1)如图①，勤奋小组在旋转△ADE的过程中发现，当点D落在线段CE上时，BD=CD+√2AD ,请你证明他们的发现： 【拓展延伸】 (2)创新小组将△ADE旋转至如图②所示的位置，即点D落在线段AC上，此时LABD=30°， 求PC的长. E E A D(P) D B B 图① 图② 17.问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=√5，PC=1,求∠BPC的 度数和等边三角形ABC的边长. 赵明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP', 可得aP'PB是等边三角形，而△PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP'B= °，所以LBPC=LAP'B=°，还可根据aABP的三边长度得到△ABP是直角三角形，进而求出等 边三角形ABC的边长为，问题得到解决. 解决下列问题： D 图① 图② 图③ (1)根据赵明同学的思路填空：∠APB=_°，LBPC=∠AP'B=_°，等边三角形ABC的边长为_ (2)类比探究，如图③，在正方形ABCD内有一点P,且PA=2V5,PB=2N2,PC=2.求： ①∠BPC的度数；②正方形ABCD的边长. 18.(问题提出)如图1，在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5.求 ∠APB的度数. B 图1 图2 图3 (数学思考)当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题， (尝试解决)(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B,连接Pp',则aAPP为等边三 角形 P'P=PA=3,PB=4,P'B=PC=5, :P'P2+PB2=P'B2 △BPP'为 三角形 ∠APB的度数为 (探究)(2)如图2，在等边三角形ABC外部有一点P,若LBPA=30°，求证：PA2+PB2=PC2 (拓展)(3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点P在直线BC上方且∠APB=45, PC=BC=2V5,求PA的长. 参考答案 一、单选题 1.A 解：(1)：△ABCBDE都是等边三角形， AB=AC ∠ABE=∠CBD=60°+∠CBE, BE=BD ·△ABE≌△CBD(SAS), :△ABE可由△CBD旋转得到， 故说法正确； (2)由(1)同理可得， ∠BAF=∠BCG AB=CB ∠ABF=∠CBG :△ABF≌ACBG(ASA, :△ABC△BDE都是等边三角形， ∠ABC=∠DBE=60°， .∠FBG=180°-∠ABC-∠DBE=60°， :△ABF绕B点顺时针旋转60°可得aCBG, 故说法正确； (3):△ABF≌△CBG, :BF =BG :△ABC、△BDE都是等边三角形， ∠ABC=LDBE=60°， :∠FBG=180°-∠ABC-∠DBE=60°， :△BFG是等边三角形， 故说法正确； (4):aABF≌△CBG, ·∠BAF=∠BCD, 故说法正确； (5):△ABE≌△CBD,∠BDC=20°， :∠BEA=∠BDC=20°， :△BDE是等边三角形， :∠BED=60°， :∠AED=LBEA+∠BED=80°， 故说法正确； (6):△ABF≌△CBG,AF=3, :.CG=AF=3, :△ABE≌ACBD,AE=8, ·CD=AE=8, DG=CD-CG=5, 故说法正确； 综上，说法正确的有6个. 故选：A. 2.B 解：，等边三角形ABC, ∴.∠ABC=∠C=60°，AB=AC=BC=10, 旋转， .∠DBE=60°，BD=BE, ∴.△BDE是等边三角形，故D选项正确： ∴.DE=BD=8,∠BDE=60°，∠ABE=∠CBD=60°-∠ABD, 又AB=BC,BE=BD, ∴.△ABE≌ACBD, .∴.AE=CD,∠EAB=∠C=60°， ∴.∠EAB=LABC=60°， .AE∥BC;故A选项正确； ·AE=CD,DE=BD=8, ∴.△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+CD+DE=AC+DE=I0+8=I8;故C选项正确； ,LADB=∠ADE+∠BDE=LC+LDBC, .∴.∠ADE+60°=60°+LDBC, ∴.LADE=∠DBC, '.BC>CD ∴.LCDB>LCBD, ∴.∠ADE<LBDC;故B选项错误； 故选B. 3.A 解：，·四边形ABCD、四边形OEFG是两个边长相等正方形， ∴.LB0C=LE0G=90°，L0BC=∠0CD=45°，0B=0C, .∴.∠B0C-∠C0M=LE0G-LC0M, 即LB0M=LCON, ,在△BOM和aC0N中， ∠BOM=∠CON OB=OC ∠OBM=∠OCN ∴.△BOM≌ACON ASA), 两个正方形的重叠部分四边形0MCN的面积是Scov+Soo=Scaw+Sov=Sac=4SE方形cn, 即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于S,重叠部分四边形0MCN的面积不变， 故选：A. 4.C 解：由旋转可知AE=AE',∠EAE'=90°， ∴.∠AEE=45°， .∠DAE=24°，∠D=90o, ∴.∠AED=66°， .∴.∠CEE′=180°-45°-66°=69°. 故选：C. 5.D 解：过点B作BE⊥CC'于E, A B ,将边BC绕点B逆时针旋转至点BC', :BC =BC', BE⊥CC', 1 ∴.∠BC'E=90,C'E=CE=CC', 2 ,在正方形ABCD中，BC=CD,∠BCD=90°， .CD BC',ZBCE+ZDCE ZBCD=90 :∠CC'D=90°， ∴.LBCD=LCC'D,LCDC'+LDCE=90°， ∠BCE=LCDC', 在△CC'D和△BEC中， ∠BCE=∠CDCI ∠BEC=∠CC'D BC=CD :ACC'D≌△BEC(AAS), :.CE=C'D=3, ∴.CC'=2CE=6, 在Rt△CCD中，∠CCD=90°，CD=3,CC'=6, .CD=VCD2+CC2=V32+62=35, :BC'=CD=35. 故选：D 6.D 解：根据旋转的性质可知，∠PBP=∠ABC=90°，BP=BP=5, aBPR为等腰直角三角形， 由勾股定理，得PP=VBP2+BP2=52. 故选：D. 二、填空题 7.V14 解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA,BC边落在AB上，过B作BH⊥直线 AP于H,如图所示， D 、 BL--H 由旋转知，△BDP为等边三角形，AD=PC2√2， ∴.BP=PD=BDV2,∠BPD=60°， PA=√6， ∴.PD2+PA2=AD2, .∠APD=90°， .∠BPH30°， 即9胖- 由勾股定理得： 69 A 故答案为：√14. 8.①③④ 解：由题意知旋转角LDAP=60°，AD=AP,BD=CP,LABD=LACP △ADP是等边三角形 ∴.AD=AP=DP 故①正确； .AP2=BP2+CP2 .AP≠CP .△ABP与ACBP不全等 故②错误； .'AP2=BP2+CP2 ∴.DP2=BP2+BD2 ∴.△BDP是直角三角形 ∴.∠DBP=90 故③正确； ,∠ABD=∠ACP,∠DBP=90 ∴.∠ACP+∠ABP=LABD+∠ABP=90° ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BAC-∠ABP-∠ACP=30 ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=150° 故④正确； 故答案为：①③④. 9.30-3 解：如图，连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM,连接OF,FM,OM, D M B 0 :∠EDF=∠0DM=90°， LEDO=∠FDM, 在△ED0与△FDM中， DE=DF ∠EDO=∠FDM, DO=DM aEDO≌aFDM(SAS), :.FM =OE=3, :正方形ABCD中，AB=6,O是BC边的中点， .0C=3, 0D=VCD2+0C2=V62+32=35, .0M=V20D=310, :0F+MF≥OM, 0F≥310-3， :线段0F长的最小值为30-3. 故答案为：30-3. 10.14+45 解：如图，将aABP绕点B顺时针旋转90°得到aCBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于H. D M B 由旋转的性质可知BP=BM=√2，LPBM=90°， ·∠BPM=∠BMP=45°， .PM =2PB=2, PC=4,PA=CM=23, .PC2 CM2+PM2, .∠PMC=90°， :∠BPM=LBMP=45°， ∠CMB=∠APB=135°， ∠APB+∠BPM=180°， A,P,M共线， :BH⊥PM, :PH HM .BH PH HM =1, .AH=2V3+1, AB2=AH2+BH2=(2V3+1)2+12=14+4V3, :正方形ABCD的面积为14+43. 故答案为14+45. 11.135° 解：如图：将aABP绕B顺时针旋转90°到△CBE, 由旋转的性质可得：BE=BP=4,∠PBE=90°，EC=PA=2,LAPB=LBEC, .LBEP=45°， 由勾股定理可得：PE2=BP2+BE2=42+42=32, .PE2+EC2=32+22=36=62=PC2, .∴.LPEC=90°， ∴.LAPB=LBEC=45°+90°=135°. 故答案为：135°. 12.135 解：连接EE'. A o E 3 ,△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE', .∠EBE'=90°， △EBE'是直角三角形. ,由旋转性质可知，△ABE与△CBE'全等， BE=BE'=2,∠AEB=∠BE'C. .·.∠BEE'=∠BE'E=45°. EE2=22+22=8,AE=CE'=1,EC=3, .EC2=E'C2+EE"2, :△EE'C是直角三角形， ∴.∠EE'C=90°， .∠BE'C=135°. 故答案为：135. 三、解答题 13. 解：(1)如图1所示： B F G 图1 '.'AB=AD, .把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合， ,∠ADC∠B90°， .∠FDG180°，点F、D、G共线， .∠DAG∠BAE,AE=AG ∴.∠FAG∠FADH∠GAD∠FADH∠BAE-90°-45°=45°=∠EAF,即∠EAF=∠FAG. 在△EAF和△GAF中， (AF=AF ∠EAF=∠GAF, AE=AG .△AFG≌△AFE(SAS). ∴.EF=FG ∴.EF=DF+DGDF+BE,即EF=BE+DF. 故答案为：BE+FDEF; (2)DF=EF+BE. 证明：如图2所示. D 图2 .AB=AD, ∴.把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合， ,∠ADC∠ABE=90°， ∴.点C、D、G在一条直线上. .∴.EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD. 又.∠BAG+∠GAD-90°， ∴.∠EAG∠BAD=90°· .∠EAF=45°， ∴.∠FAC∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°. '.∠EAF-∠GAF 在△EAF和△GAF中， EA=GA ∠EAF=∠GAF, EF=FG ∴.△EAF≌△GAF(SAS). ∴.EF=FG. .FD=FG+DG, .'DF=EF+BE, 故答案为：DF=EF+BE; (3)把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF,则∠FAB∠CAE. D C 图3 ∠BAC-90°，∠DAE=45°， .∠BADH∠CAE=45°， 又，∠FAB∠CAE, .∠FAD∠DAE=45°， 则在△ADF和△ADE中， (AD=AD ∠FAD=∠DAE, AF=AE ∴.△ADF≌△ADE(SAS). ∴.DF=DE,∠C∠ABF=45°. ∴.∠BDF=90°. △BDF是直角三角形. .'.BD2+BF2=DE2 ∴.BDP+CE2=DE2. ∴.DEV22+42=25, ∴.BE-BD+DE=2+2√5， 故答案为：2+25. 14. 解：成立 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM, D 160 E △ABM≌△ADF,∠ABM=LD=90°，∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=DF, ∠MBE=LABM+∠ABE=180°， M、B、E三点共线， :∠MAE=∠MAB+LBAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°， .∠MAE=∠FAE, .AE=AE,AM AF, .△MAE≌△FAE(SAS), :ME EF, .EF=ME MB+BE DF BE. 15. 解：(1)证明：设BE、CD交于O, E A 图1 :△ABC,△CDE都是等腰直角三角形，CD=CE,CA=CB, :∠ACB=∠ECD=90°， :ZACB+ZBCD ZECD+ZBCD,ACD ZBCE ∴△ACD≌BCE SAS), :ZADC=ZBEC 又：LC0E=LB0D, ∠0BD=∠0CE=90°， .BE⊥AB; (2)解：作CH⊥CM,且CH=CM,连接MH,AH, H B 图 ∴△CMH为等腰直角三角形， LCMH=45°， ,△ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，CA=CB. .∠ACB+∠ACM=∠MCH+LACM,即LBCM=∠ACH, ACBM≌aCAH(SAS), :BM =AH, :LAMC=75°， .∠AMH=∠AMC+∠CMH=75°+45°=120°， :CM=32, ·MH=√2CM=6, 过A作AG⊥MH于G, ∠AMG=60°， :AM=3, GN 2 4G-3AM=33 2 ·HG=GM+MH=3 15 -2 :.AH=VAG+HG=3√万， BM=AH=3√万； (3)解：如图3中， E 图3 将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE, AP=AF,LBAF=LCAE=60°，AE=AC, △AFP是等边三角形，LEAB=90°， 在RtAEAB中，BE=VAE2+AB2=V152+102=5V3, PA+PB+PC=EF FP+PB 2 BE :PA+PB+PC≥5V13, .PA+PB+PC的最小值为5√13. 故答案为：5√13. 16. 解：(1)，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=LDAE=90°， .AB=AC,AD=AE, ∴.DE=VAD2+AE2=V2AD, ∠BAD=LBAC+∠CAD,∠CAE=∠DAE+∠CAD, ∴.LBAD=LCAE, .△ADB≌△AEC, ∴.BD=CE=CD+DE, .BD=CD+2AD, (2)解：，LABD=30°， ∴.LADB=60°， ∴.∠CDP=∠ADB=60°， 同(1)可证：△ADB≌△AEC,LACE=LABD=30°， .∴.∠DPC=180°-∠CDP-∠ACE=90°， .CD=AC-AD=AB-AD=3-1, ·Dp=3-1 2 .PC=CD:DP:=3-3 2· 17.(1)解：：aABC是等边三角形， ∠ABC=60°， :将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABP', .AP'=CP=1,BP'=BP=V3,∠PBC=∠P'BA,∠AP'B=∠BPC, :∠PBC+LABP=LABC=60°， ∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°， “△BPP'是等边三角形， PP'=V3,∠BP'P=60°， AP'=1,AP=2, AP2+PP2=AP2, ∠AP'P=90°， ∠BPC=∠AP'B=90°+60°=150°， 如图，过点B作BM⊥AP',交AP的延长线于M, M D ∠MP'B=180°-∠AP'B=30°， :.BM =1BP-3 2 2 .MP=√BP2-MB= 2 w1- 5 2 :AB=√AM2+BM2=√万， 故答案为：150°，150°，7； (2)解：①如图，将aBPC绕点B逆时针旋转90°得到aAEB, D :四边形ABCD是正方形， LABC=90°， :将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB, ·AE=PC=2,BE=BP=2V2,LBPC=LAEB,∠ABE=LPBC, :LEBP=LEBA+∠ABP=LABC=90°， ∠BEP=180°-∠EBP180°-90° 45°， 2 2 :EP=BP2+BE2 =4, :AE=2,AP=2V5,EP=4, :AE2+PE2=AP2, ∠AEP=90°， ∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°； ②过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于F, A D 分 :∠FEB=180°-∠AEB=45°， △BEF是等腰直角三角形， :EF BF, EF2+BF2=BE2, .EF BF=2, .AF=AE+EF=2+2=4, :AB=VAF2+BF2=V42+22=2V5. 18.解：(1)如图1： 图1 将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B,连接PP',则△APP为等边三角形. :P'P=PA=3,PB=4,P'B=PC=5, :P'P2+PB2=P'B2 △BPP'为直角三角形 ∠APB的度数为90°+60°=150°； (2)证明：如图2中，将aPAB绕点B逆时针旋转60°得到△TCB,连接PT. 图2 BP=BT,LPBT=60°， △PBT是等边三角形， .PT=PB,∠PTB=60°， 由旋转的性质可知：△PAB≌△TCB, ∴.∠APB=∠CTB=30°，PA=CT, .∠PTC=LPTB+LCTB=90°， ∴.PC2=PT2+CT2, .PB=PT,PA=CT, ∴.PA2+PB2=PC2. (3)如图，将aPAB绕点A顺时针选中90°，得到如图所示的△P'AB', D C(B) B AB=AC,LBAC=90°， B与点C重合， 由旋转的性质得AP=AP',CP'⊥PB,∠PAP'=90°， :AAPP'是等腰直角三角形，∠APP'=LAPB=45°， ·点P,P,B三点共线， ,PC=BC,CP'⊥PB, P是PB的中点， 设CP'=PB=2x,则PP'=BP'=x, 在Rt△PPC中，由勾股定理可得PC2=Pp2+CP2, 解得x=2(负值舍去)， 在等腰直角三角形APP中，由勾股定理可得PA=√2，