精品解析：安徽省合肥市第七中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年高一第三次质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、、，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是奇函数，且在上是增函数，，则的解集是（ ） A. B C. D. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与函数是同一个函数 C. 若幂函数在区间上单调递减，则 D. 函数的零点是 10. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，若有四个解，且满足，则下列结论正确是（ ） A. 0 B. C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，则实数的值为_______． 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 14. 已知，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知， 求的值； 若是第三象限角，求的值． 16. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为. （1）若，求点坐标； （2）若，求的值. 17. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18. 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 19 已知函数，. （1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围. （2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一第三次质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集运算求集合. 【详解】，则. 故选：C. 2. 已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即 所以弧长为，则 这个扇形的面积为 故选：B 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用必要不充分条件判断即可. 【详解】若，取，，但是无意义， 所以由“”推不出“”， 若“”，则，所以可得， 所以由“”可推出“ “， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用诱导公式进行化简计算即可得解. 【详解】 . 故选：C. 5. 已知、、，则下列结论中正确有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错； 对于B选项，因为，则，，， 则，即，B对； 对于C选项，因为，则， 则，即，C错； 对于D选项，因为，当时，，D错. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系. 【详解】，，， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题. 7. 若是奇函数，且在上是增函数，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式转化为或，两种情况来分类讨论，而函数和时x的取值范围可根据为奇函数和单调性求出. 【详解】∵是R上的奇函数，且在内是增函数.∴在内也是增函数，又 ，，.当时，；时，；或可解得或，∴不等式的解集是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，解不等式过程中运用了分类讨论的思想.题目难度较易. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与函数是同一个函数 C. 若幂函数在区间上单调递减，则 D. 函数的零点是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接写出命题“，”的否定，即可求解；对于B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对于C，利用幂函数的定义及性质，即可求解；对于D，利用函数零点的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同， 故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确， 对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减， 所以，得到，故选项C正确， 对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误， 故选：BC. 10. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数定义逐项求解判断. 【详解】由，得，解得（负值舍去），则正确. 由，得，则B，D正确. 由，得，解得，则错误. 故选：ABD 11. 已知函数，若有四个解，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 0 B. C. 的最小值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对称性和指数函数的图象和性质结合基本不等式即可求出． 【详解】 作出函数的图象， 因是方程的四个互不相等的解，则，A选项正确； 因为， 则有，是方程的两个根，必有， 因为，所以，所以，所以，B选项正确； ， 因为，且， 所以，C选项错误； ，是方程的两个不等根，则，即，所以， 整理得，，即， 于是得，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质得出，求出实数的值，然后验证函数为奇函数即可. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 由是奇函数，得，解得，即， 由于，即函数是奇函数，所以． 故答案为：. 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 14. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和将原式变形为，代入即可． 【详解】由题意得 . 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知， 求的值； 若是第三象限角，求的值． 【答案】（1）8；（2）. 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系化简结合即可得结果；由得，结合即可得结果. 【详解】因为，所以 由得， 又，故，即 因为是第三象限角，，所以． 【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换. 16. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为. （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 由条件可知，并且，，再根据诱导公式求，根据三角函数的定义求得点的坐标；（2）根据（1）的结果代入求得，并且，再根据同角三角函数关系式求. 【详解】解：因为角的终边与单位圆交于点，所以，． 因为角的终边顺时针旋转后得到角，所以， . （1）当时，因为角的终边与单位圆的交点为， 所以点的坐标为. （2）因为，，所以，即． 因为，所以． 【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数，重点考查转化，计算能力，属于基础题型. 17. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）． （1）求函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元. 【解析】 【分析】(1)结合已知条件，表示出即可；(2)利用一元二次函数的单调性和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由一元二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且 从而， 即在上的最大值为240； 当时，， 因为， 当且仅当，即时，不等式取等号， 从而， 即当时，有最大值270， 此时肥料费用. 综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元. 18. 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存，. 【解析】 【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明； （2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法； （3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可. 【详解】解：（1）证明：因为，又 ， 即， 所以为偶函数. （2）原题意等价于方程无解， 即方程无解. 令， 因为， 显然， 于是，即函数的值域是. 因此当时满足题意 所以a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则 则，. ①当时，， ，解得； ②当时， ，解得（舍去）； ③当时， ，解得（舍去）. 综上，存在，使得最小值为0. 【点睛】方法点睛： （1）对函数奇偶性的证明用定义：或； （2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 19. 已知函数，. （1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围. （2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）或或；（2）或. 【解析】 【分析】（1）求出的最大值，可知恒成立，可得，，进而构造函数，只需，求解即可； （2）可求得在上的值域为，可知，且对任意，总存在唯一，使得成立，进而分，和三种情况分别讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，，故， 要使对任意，，不等式恒成立，只需， 所以，即. 记，因为，所以只需，即， 解得或或. 故的取值范围为或或. （2）当时，； 当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以， 所以函数在上的值域为. 因为对任意，总存在唯一，使得成立. 故，且对任意，总存在唯一，使得成立， 以下分三种情况讨论： ①当，即时，则，解得； ②当，即时，则，解得； ③当，即时，或， 所以， 综上，的取值范围为或. 【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查不等式恒成立问题，考查方程存在解问题，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $