精品解析：广东中山市小榄中学2025-2026学年上学期1月高三年级学业水平阶段性调研卷数学试题

2026年1月广东省中山市小榄中学高三年级学业水平阶段性调研卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】识别出集合表示的是奇数集，然后再找出同时属于两个集合的元素即可. 【详解】因为，集合表示奇数集，即找出同时属于两个集合的元素， 也就是在内的奇数，所以. 故选：A 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解. 【详解】由题意得， 所以， 故选：B. 3. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式计算即可. 【详解】 故选：D. 4. 已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量求得，进而求夹角余弦值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 所以，所以， 故选：D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算法则可得，继而利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由题意得，，且，. 因为，所以， 所以，则,当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C 6. 统计学中算术平均数､几何平均数､调和平均数､加权平均数是数据分析中的重要工具.已知正数的调和平均数，则数据的调和平均数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用调和平均数的定义求解即可. 【详解】，所以. 故选：B. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数具有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得． 故选：B． 8. 已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，分别作出函数、和的图象，易得点，关于直线对称，进而得到；对于B，联立，结合零点存在定理得到，结合图象得到，结合的单调性及放缩法证明即可；对于C，利用基本不等式证明即可；对于D，联系，结合零点存在定理得到，构造函数，结合导数与单调性证明即可. 【详解】对于A，作出函数、和的图象， 因为和互为反函数，所以它们的图象关于直线对称. 直线与垂直，即关于直线对称， 所以交点，关于直线对称，所以，， 又在直线上，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，设，则单调递增， 因为，，所以由零点存在定理知，的零点在上， 所以，所以. 结合图象可知，，则，. 所以，故B错误. 对于C，易知，所以，故C正确； 对于D，由，得，设，， 则在上单调递增， 又，，所以. 因为，设，，则， 所以在上单调递增，所以，故D正确. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 设，则当取得最大值时， D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合三角函数的基本关系式与辅助角公式即可得解. 【详解】A，若，则，即，故A正确； B，若，则，所以，故B错误； C，，其中，， 故当时，取得最大值， 此时，故C正确； D，因为， 所以 ， 则的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由判断； 由两点分布的定义判断； 由正态曲线的对称性判断； 由二项分布的定义判断 【详解】若，则，故错误； 若随机变量Y服从两点分布，则，故, ，故正确； 若随机变量ξ服从正态分布，，则 ，， 故正确； 若随机变量η服从二项分布，则 故错误. 故选：. 11. 在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则（ ） A. 三棱柱的侧面积为 B. 三棱柱外接球的表面积为 C. ∥平面 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接求解侧面面积即可，对于B，判断出为直角三角形，然后根据已知直接求解外接球的半径，从而可求出其表面积，对于C，由棱柱的性质和线面平行的判定分析判断，对于D，由题意可证得平面，由，再由勾股定理的逆定理可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】对于A，因为在直三棱柱中，，，， 所以三棱柱的侧面积为 ，所以A错误， 对于B，因为，，所以， 所以为以为直角顶点的等腰直角三角形， 所以三棱柱的外接球半径， 所以外接球的表面积为，所以B正确， 对于C，因为∥，平面，平面，所以∥平面，所以C正确， 对于D，由已知得，又是的中点，所以， 因为侧棱平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以， 则，所以. 因为，平面， 所以平面，所以D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得，进而得，从而有，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为等差数列的前项和为，且， 所以，解得， 又等比数列的首项为，且，所以，解得，所以， 则， 故答案为：. 13. 若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解. 【详解】由，得. 因为，所以，则，则. 由，得，则，解得. 故答案为：. 14. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，内角所对的边长分别为，是1和的等差中项． （1）求角； （2）若的平分线交于点，且，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据是1和的等差中项得到，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到求解； （2）由和求得b，c的关系，再结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得， 因为， 所以， 所以； （2）由正弦定理得， 又， 即， 由余弦定理得， 所以，所以． 【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 16. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上． （1）求圆柱的表面积与体积； （2）求三棱锥的体积； （3）若D是的中点，求的最小值． 【答案】（1）表面积，体积 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合圆柱的表面积和体积公式，即可求解； （2）根据题意，得到为直角三角形，且，结合棱锥的体积公式，即可求解； （3）将平面绕旋转到和平面共面，得到点在的延长线上，设为点，当三点共线时，取最小值，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 圆柱的底面直径，故半径，且高， 可得圆柱的表面积为， 圆柱的体积为． 【小问2详解】 因为点是圆柱底面圆周上靠近点的三等分点，且， 而为直角三角形， 从而，得，， 所以． 【小问3详解】 解：将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上， 设为点，可得， 即当三点共线时，取最小值， 由题意，， 所以， 故的最小值为． 17. 已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束． （1）求比赛四局结束的概率； （2）在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）分甲获胜和乙获胜两种情况求解即可； （2）由题意可得的可能取值为，并求出相应的概率，进而求解其分布列及数学期望． 【小问1详解】 当比赛四局结束时，若甲获胜，则甲第四场胜，前三场胜两场输一场， 则甲获胜的概率为； 当比赛四局结束时，若乙获胜，则乙第四场胜，前三场胜两场输一场， 则乙获胜的概率为， 故比赛四局结束的概率为. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为， 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两局，甲胜最后一局， 则； 所以的分布列为 1 2 3 故． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）设的导函数为，证明：存在唯一零点. （3）求的最大值. 【答案】（1） （2）证明：由（1），其定义域为， 设， 则， 所以在上单调递减， 由， ， 根据零点存在性定理可知在上存在唯一零点， 即存在唯一零点. （3） 【解析】 【分析】（1）求得切点坐标，利用导数求得斜率即可； （2）利用导数考察的单调性，结合零点存在性定理即可证明； （3）考察的单调性，设出最大值点为，利用，化简条件，进一步计算即可. 【小问1详解】 已知， 则， ， 则， 所以切线方程为， 即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 且存在唯一零点，使得， 当时，， 在上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 所以的最大值为. 因为， 所以， 即， 化简为。 则， 而 ， 故的最大值为 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. 19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时， （3）若数列满足，对于，证明：． 【答案】（1） （2）证明：设，， 则， 所以在上单调递增，则， 即，即当时，. （3）证明：由（2）可知当时，， 令，则， 所以， 所以， 令， 则， 所以 ， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用累加法计算可得； （2）设，利用导数说明函数的单调性，即可得证； （3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 根据题意，， 则有， 当时， ， 又也满足，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月广东省中山市小榄中学高三年级学业水平阶段性调研卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 4. 已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 6. 统计学中算术平均数､几何平均数､调和平均数､加权平均数是数据分析中的重要工具.已知正数的调和平均数，则数据的调和平均数（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（   ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 设，则当取得最大值时， D. 的最大值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 11. 在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则（ ） A. 三棱柱的侧面积为 B. 三棱柱外接球的表面积为 C. ∥平面 D. 平面 三、填空题 12. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____． 13. 若，且，则__________. 14. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 四、解答题 15. 在中，内角所对的边长分别为，是1和的等差中项． （1）求角； （2）若的平分线交于点，且，求的面积． 16. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上． （1）求圆柱的表面积与体积； （2）求三棱锥的体积； （3）若D是的中点，求的最小值． 17. 已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束． （1）求比赛四局结束的概率； （2）在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）设的导函数为，证明：存在唯一零点. （3）求的最大值. 19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时， （3）若数列满足，对于，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $