湖南长沙市麓山国际实验学校2025-2026学年高三下学期5月二模检测数学试卷

麓山国际2026届高三5月二模检测数学试卷 高三年级 数学试卷 答案与解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.C2.A3.C4.D5.B6.B7.B8.A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.AD.10.ABD.11.ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.120 人 13.5 2n+1-1 2n2+3n 14. n+1 n+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.解：(1)2 bcosC=2a-c,由正弦定理可得2 sin BcosC=2sinA-sinC, .4=-(B+C)..sin A=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C ·.2 sin BcosC=2 sin BcosC+2 cos Bsin C-sinC,化简得2 cos Bsin C=sinC, C∈0，π)·sinC≠0 Cos B= 2 Be(0),B- 3: Bsπ (2)a,bsinB,c成等比数列，且a,kb,C成等差数列， 3 4 a2+c2+3b2 a+c=2kb,.a2+c2+2ac=4k2b2, 2 =4k2b2 根据余弦定理得b=a2+c2-2acc0sB,六d+c2=6+36=b 4 4 7b36=4k2 42 ，b≠0,2=3 16, a+c=2b>0.k>03 4 16.解：(1)法一：取BC中点F,连接EF,AF, C B 因%E起C+点微F通B且R-古48 1 由直三枝挂的性质知BBAA且B,B=AA,所以EFAA1EF 又因为D是AA的中点，所以EFHIDA且EF=DA, 所以四边形ADEF为平行四边形，所以AFIIDE. 因为DE⊥平面BCCB,BCC平面BCCB,所以DE⊥BC, 结合AF∥DE,所以AF⊥BC,又因为F是BC的中点，所以AB=AC. 法二：由直三棱柱的性质知AA上平面ABC, 因为AB,ACC平面ABC,所以AA⊥AB,AA⊥AC 又因为AB⊥AC,所以AB,AC,AA两两垂直. 以A为坐标原点，AB,AC,A4所在直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系0-2】 设AB=a,AC=b,A4=c,则B(a,0,0)C(0,b,0).A(0,0,c)B(a,0,c) xn.5%44c+点.O0号层号司.正-侣9 因为DE⊥平面BCCB,所以DE⊥BC, 又因为c=(-a,60.所 DE:BC=-2干20，由Q>0,b>0解得a=b,即AB=AC 2 A B D O(A) 2)法一：在等腰直角△ABC中，因为AB=1,所以BC=2AF=BC、V2 22 由(I)知，DE⊥平面BCCB DE-AF=2 2 设B到平面BCD的距离为d,A4=h>1, 则三棱锥B-BCD的体积 又因为三棱锥D-BCB的体积 VD-BCB=3 3SAncn DEh 1 6 d= 2h 所以由'4-cn=V-C,得6“V246,解得VP+2】 √2 d 2h2 因为直线B,C与平面BCD所成角的正弦值为3，所以B,C2+? 3 所以h2-3h+2=0,因为h>1,所以h=2,即A4的长为2. 法=：因为a=b=1.所以40知6C-(←110，D-10) BG=(←1l-c)】 n.BC=-x+y=0, 设平面8CD的一个法向量为=(z),则” BD=-x+S2=0, 2取x=1,则y=1,zc. a-到 sin= BC.n 设直线B,C与平面BCD所成角为日，则 B,CH网 2 2 4 3 c2+4 即 2+22+ ，化简得 ,因为C=A4>1,所以c=2,即14的长为2. 17.解：1)当a=3时，f()=e-3x,则f()=e-3, 令f'(=0,解得x=ln3, 当x>n3时，f()>0,f()单调递增， 当x<n3时，f()<0,f(女单调递减： 所以f()单调递增区间为血3，+w）,单调递减区间为(-0,3)： (2)由f()=e-,可得f)f()=e-ar-(e'+ar)=e-e-2a 设8()=e-e-2m,则f()-f()20在(0，o)恒成立. 等价于8()20在0，+恒威立， g'(x)=e+e*-2a,又e>0,e>0, 则e*+e*≥2Vee=2,当且仅当x=0时等号成立， 所以当x>0时，e+e>2, ①当2a>2,即a>1时， 令闭c+e-20,则-e-e- e 因为x∈(0，+o）,所以e2-1>0,e>0. 则()>0，所以()在(0，+o)上单调递增， 又h(0)=e'+e'-2a=2-2a<0,当x→+o时，h()>0, 所以存在∈(0，+），使得h()=0,即8'()=0， 当0<x<时，h()=8'()<0,8()单调递减， 则8()<8(0)=0， 不满足f(f(-)≥0在(0，+0)上恒成立： ②当2a≤2，即a≤1时，g(x)=e+e-2a>2-2a≥0 g(d在(0，+o)上单调递增，又80)=e-e'-0=0, 所以8()>8(0)=0，满足/(-()20在(0，+0)上恒成立： 综上，0的取值范围为(-0，] e-c-c-2 18.解：(1)由题意得a1 ，则c=2,b=V22-1=V3, b=26 :x23y2 2当分时.双陆骏厂：-81，英M(-20).40), 因为△MA,P为等腰三角形，则 1 x=- ①当以M4,为底时，显然点P在直线2上，这与点P在第一象限矛盾，故舍去： ②当以4P为底时，MP=M4|=3 23 23 x232 x=- x=- 1 11 11 8 8√17 8V17 x=1 设P(x),则c+2y+少=9 y=- y= 联立解得 11或 11或y=0 因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； (或者由双曲线性质知MP>M4,矛盾，合去)： ③当以MP为底时，4PHM4=3,设P(,),其中5>0，%>0， (x-1)2+=9 x=2 8 ,解得，=22，即P2,2),综上所达：P2,22)。 (3)由题知4(-1,0)，4(，0) 当直线l的斜率为0时，此时4R:4P=0,不合题意，则k≠0， 则设直线：x=my-2, 设点P(,y）,(,乃），根据O延长线交双曲线『于点R, 根据双曲线对称性知R(X,少)】 x=my-2 --1→b2m-1y2-4bmy+36=0 联立( 61 R 显然二次项系数bm2-1≠0」 其中△=(-4mb2)Y2-4(b2m2-103b2=44m2+12b2>0. 4b'm 3b2 y+h=6m2-10, yy2=bm2-1②， 则4R=(x+,-).4,F=(G-山) 则4R4P=(x+1(:-)-=1,因为P(）,()在直线1上， 则=m-2,为=my,-2, 即-(m-3(my-3)-=1,即(m2+1)-(y+)3m+10=0 将①②代入有、 +小* 242m+10=0 即3沙(m+1）-3m:4bm+10(6m-=0化简得b'm2+362-10=0, 所以 ,代入到b2m2-1≠0，得10-3b2≠1，所以b2≠3， 2s10 -3≥0 b2≤10 ,又因为b>0, 0<b≤10 且 解得 e(vi 综上知 19.解：(1)设事件4：甲第i次投篮合中， 因为甲每次投篮的命中率为3，所以 因为甲投篮4次即停止投篮的概率P=P(4可A4,+4444) 2122.11224 P= 一×一X一×一十一×一×一× 所以3333333327， 所以甲投篮4次即停止投篮的概率为27， (2)由题得X的可能取值为2,3,4， (X=2)= 2x1x2x11x1x1x1-5 则 ×23×2+32×3236 5u*e+eg-点 3局结束时， 甲胜概率 cc 1,15 所 P(X=3)=g+3636, PX=4=1-P(X=2)-PK=3)- 所以 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 13 P 3 18 E00-268 5+4×3-48 361812 (3)当n=1时， E)=k号40+0水片. 4=)-2. 当n22时， E(心)=(E(化)+x子+(E(化)+1+E(化》3 3 所以 2 所以4+3=a1+) 3 9 3 所以数列{0，+3}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 … 所以 麓山国际2026届高三5月二模检测数学试卷 高三 年级 数学 试卷 总分：150分时量：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则等于（ ） A． B． C． D． 6．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A．72 B．84 C．96 D．108 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆上，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共小题，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．为评估某款“端侧芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（ ） A．样本中延迟在内的模型个数为 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟较低 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 11．已知，分别是圆：与轴的左、右交点，点在圆上，且，将圆沿直线翻折成一个二面角，使得点、点分别到达点、点的位置，该二面角的大小为，且，翻折前后点的位置始终不动．设翻折前点的坐标为，下列说法正确的是（ ） A．圆的直径为4 B．当时， C．当时， D．当时，二面角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 13．设函数，若，则的最小值为___________． 14．曲线在处的切线为，分别记在，轴上的截距为，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，成等比数列，且，，成等差数列，求的值． 16．如图，在直三棱柱中，，，分别为和的中点，平面． （1）证明：； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 17．已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 18．已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． （1）若离心率时，求的值； （2）若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； （3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 19．甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． （1）若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； （2）若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； （3）若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $