期末培优：特殊四边形与动点问题、特殊四边形与折叠问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦特殊四边形与动态问题的综合应用，通过动点运动与图形折叠的分层训练，构建从性质应用到存在性探究的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形与动点问题|3例+3变式|多动点运动、存在性判定（矩形/菱形）、等腰三角形分类|以特殊四边形性质为基础，通过运动时间参数构建线段关系，渗透分类讨论思想| |特殊四边形与折叠问题|3例+3变式|折叠后对应关系分析、图形判定（直角三角形/菱形）、最值探究|基于轴对称性质转化等量关系，结合特殊四边形判定定理推导几何量，发展空间观念|

期末培优：特殊四边形与动点问题、特殊四边形与折叠问题专项训练 期末培优：特殊四边形与动点问题、特殊四边形与折叠问题专项训练 考点目录 特殊四边形与动点问题 特殊四边形与折叠问题 考点一 特殊四边形与动点问题 例1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 例2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在矩形中，，延长至点E，使得，连接．若动点P从E点出发，以每秒的速度沿线段向B点运动；动点Q从A点出发以每秒的速度沿向D点运动，点P，Q同时出发，当点P，Q有一个到终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求t为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，______（选填“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点P的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请求出点P的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 例3．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 变式3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设动点的运动时间为秒． (1)；．用含的代数式表示 (2)①当时，四边形是矩形； ②从运动开始，需要经过多长时间，才能使； (3)连接，当线段把四边形面积分成两部分时，求的值； (4)如图②，若点是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 考点二 特殊四边形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 例2．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为． (1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程： 证明：∵沿翻折至， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴_______， ∴____________， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴_____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴； (2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； (3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长． 例3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）某数学兴趣小组研究图形折叠问题 (1)先利用矩形折叠，如图1，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______． (2)再利用平行四边形折叠，如图2，将平行四边形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接．猜想：与的数量关系，与的位置关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，请直接写出的长． 变式1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 变式2．（25-26八年级下·广西玉林·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作观察： 如图1所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则___________， （填“”，“”或“”）； (2)判断与证明： 如图2所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，请判断四边形的形状并证明： (3)迁移应用： 如图3所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 变式3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 (1)①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 (2)求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 (3)在折叠过程中，当时，__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：特殊四边形与动点问题、特殊四边形与折叠问题专项训练 期末培优：特殊四边形与动点问题、特殊四边形与折叠问题专项训练 考点目录 特殊四边形与动点问题 特殊四边形与折叠问题 考点一 特殊四边形与动点问题 例1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或 (3)的值为或 (4)的值为5或或 【分析】（1）如图所示，过点作于点G，则，得到四边形是矩形，可得，在中由勾股定理即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时；当时；结合矩形的性质列方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当时，，，；当时，，；由此列式求解即可； （4）根据题意，分类讨论：当四边形是菱形；四边形是菱形时；四边形是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P的运动时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，，若时， ∴当时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得，此时点B，Q重合； 综上所示，的值为或； （4）解：点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，设交于点F， 则，， 同理可得，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所示，的值为5或或． 例2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在矩形中，，延长至点E，使得，连接．若动点P从E点出发，以每秒的速度沿线段向B点运动；动点Q从A点出发以每秒的速度沿向D点运动，点P，Q同时出发，当点P，Q有一个到终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求t为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，______（选填“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点P的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请求出点P的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)不存在 (3)点P的速度为每秒 (4)或或 【分析】（1）根据题意可得，得到，根据时，四边形是矩形，列出方程求解即可； （2）由矩形的性质可得，得到，勾股定理求出，由（1）知，得到，当时，四边形是平行四边形，判断此时是否相等，即可判断四边形是否菱形； （3）根据正方形的性质求出点P，Q运动的时间，即可解答； （4）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵在矩形中，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 则，解得， 此时，， ∵ ∴四边形不是菱形， ∴不存在t值，使得四边形是菱形； （3）解：设点P的速度为每秒， 同理（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，则， 解得， ∴，即， 解得， ∴点P的速度为每秒； （4）解：由（1）知，由（2）知， 当时， ∵，即， ∴，即， ∴，解得； 当时， 则，解得； 当时， 在中，， ∵， ∴， 解得； 综上，t的值为或或． 例3．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 变式1．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，四边形为平行四边形，平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由见详解 (3)存在，当或时，为等腰三角形，理由见详解 【分析】（1）根据非负性得到，如图所示，过点作于点，则，可证四边形是矩形，则，由勾股定理得到，由此即可得到的长； （2）①根据题意得到，，，，，结合平行四边形的性质列式求解即可； ②根据矩形的性质列式得到，解方程即可； （3）根据点的运动，分类讨论：当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：、满足， ∵， ∴， 解得，， ∴，， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，则运动时间为秒， 点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动，则运动时间为秒， 设运动时间为秒， ∵动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止， ∴运动时间， 根据题意，，， ∴，， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∴如图所示，当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，，不符合题意， ∴不存在四边形是矩形； （3）解：存在，当或时，为等腰三角形，理由如下， 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，，， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴此时点重合，点重合，，即是等腰三角形； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 变式2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 【答案】(1)； (2)或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可表示出；过点作，证明四边形是矩形，求出，分时，点在上，时，点在上，即可表示出； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P点从A点以向B点运动，运动时间为秒， ， ， ； 过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， ∵点在上运动的时间为，且， ∴时，两点停止运动， 当时，点在上，此时； 当时，点在上，此时； 综上，； （2）解：∵直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：，，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 变式3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设动点的运动时间为秒． (1)；．用含的代数式表示 (2)①当时，四边形是矩形； ②从运动开始，需要经过多长时间，才能使； (3)连接，当线段把四边形面积分成两部分时，求的值； (4)如图②，若点是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3) (4)或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）①根据矩形的性质可得，②分两种情况讨论，当，时，即四边形是平行四边形；过点作于点，延长至，使得，当四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据梯形的面积公式分别求得四边形，的面积，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （4）分两种情况讨论当在的左边时，当在的右侧时，分别画出图形，根据菱形的性质求得的长，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设动点的运动时间为秒 ∵动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动， ∴， ∵， ∴， （2）解：①当四边形是矩形时， ∴ 解得：； ②当，时，四边形是平行四边形， ∴ ∴ 解得： 如图，过点作于点，延长至，使得，则， ∴ 当时， 四边形是平行四边形， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或时，； （3）解： 当线段把四边形面积分成两部分时， ∴四边形的面积为四边形的或 ，解得： ，解得： 综上所述， （4）解：如图，当在的左边时， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图，此时， ∴， ∴ 综上所述，或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形 考点二 特殊四边形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 例2．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为． (1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程： 证明：∵沿翻折至， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴_______， ∴____________， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴_____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴； (2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； (3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）先根据翻折的性质得，再根据平行四边形的性质得，可得，接下来结合，可得，然后根据“等边对等角”得，进而得出最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； （2）先延长与交于点M，根据平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而得，再设，可得，然后根据“角角边”证明，可得，最后结合得出方程，求出解即可； （3）当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点，可得，即可得出，再分两种情况讨论：当点在下方时，交于点O，然后根据直角三角形的性质及勾股定理求出，接下来求出，最后根据点P刚好落在的中点上得出答案；当点在上方时，直线交于点O，结合直角三角形的性质求出，再求出可得答案． 【详解】（1）证明：∵沿着翻折至， ∴． 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴； （2）解：如图所示；延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∴． ∵ ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 当时，， 当点在下方时，交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴； 当点在上方时，直线交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴， 所以的长为或． 例3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）某数学兴趣小组研究图形折叠问题 (1)先利用矩形折叠，如图1，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______． (2)再利用平行四边形折叠，如图2，将平行四边形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接．猜想：与的数量关系，与的位置关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)．证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）由矩形的性质和折叠性质可得，根据等腰三角形的判定可得，进而可得，利用等边对等角和三角形的外角性质可得，进而可证明； （2）同（1）中方法可证明，； （3）分和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠性质得，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：猜想：，， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠性质得，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， 设， ∵， ∴， 由折叠性质得，， 当时，是等腰直角三角形， ∴，则，解得， ∴， ∴； 当时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则，解得， ∴， 综上，的长为或． 变式1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3)的长为 【分析】（1）根据折叠的性质，，，矩形中，可得，代入计算得； （2）连接，结合矩形与折叠性质，先证，推导出相关角度；再通过边角关系证明，得，结合，证得是等腰直角三角形； （3）过作，由勾股定理求得，设，分别在与中用勾股定理表示，建立方程解得，最终求出． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ，，， ． 由折叠的性质得：，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ∴， ， 由折叠可得，， ， ， ∵， ∴， ， 又∵，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由折叠的性质可知，， 四边形为矩形， ，． ∵矩形，，， ； 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 设， ；；； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得， ． 在中，由勾股定理得：， ∴， ． 变式2．（25-26八年级下·广西玉林·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作观察： 如图1所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则___________， （填“”，“”或“”）； (2)判断与证明： 如图2所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，请判断四边形的形状并证明： (3)迁移应用： 如图3所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)， (2)四边形是菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由折叠得，由得，结合即可求解； （2）由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （3）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：由折叠得， ， ， 矩形中， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，证明如下： 四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （3）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 (1)①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 (2)求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 (3)在折叠过程中，当时，__________． 【答案】(1)①菱形；② (2) (3)或 【分析】（1）①由折叠的性质可得到，，，再由矩形的性质证出，即可得到四边形是菱形； ②分析出当点与重合时，最大，再利用勾股定理列式运算即可； （2）利用勾股定理求出的长，设，则，利用折叠的性质和勾股定理列式运算即可； （3）分类讨论的位置，当点在点右边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可；当点在点左边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可； 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵， ∴当最大时，菱形的面积最大， ∴当点与重合时，最大，如图所示： ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （2）∵四边形为矩形， ∴ ， 解：在中，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （3）解：如图1，当点在点右边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ， ∴ ， 设，则， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：； ②如图2，当点在点左边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴ ∴ 设，则，，， 则 ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上所述，线段的长为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $