期末培优：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何空间角逆向应用，通过线面角与二面角已知条件，系统训练几何量求解与位置探究，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知线面角求其他量|3例+3变式|求线段长、确定点位置、二面角正弦值|以线面角定义为起点，通过几何证明（线面垂直）与空间转化，构建角与几何量的关联，体现从空间角到多几何量的推理链| |已知二面角求其他量|3例+3变式|求线面角大小、线段长、点轨迹长度|基于二面角平面角性质，结合面面垂直证明与空间向量工具，实现二面角到线面关系及几何量的转化，培养几何直观与逻辑推理|

期末培优：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 期末培优：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.    (1)证明：平面BCM； (2)已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 例2．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． (1)求三棱台的体积； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 变式2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求. 变式3．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 考点二 已知二面角求其他量 例1．（24-25高二下·四川德阳·期末）如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 例2．（25-26高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接． (1)求证：平面； (2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长． 例3．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）如图，在边长为的菱形中，，将沿对角线折起，使点到达点的位置，连接，得到三棱锥，设二面角的大小为，且. (1)证明：. (2)若，的中点为，求的长. (3)若二面角的余弦值为，求的值. 变式1．（25-26高二下·浙江杭州·期中）如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示.    (1)证明：平面平面； (2)设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长. 变式2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是该空间几何体中过点，，的截面上的一点，且二面角的余弦值为，求点的轨迹长度. 变式3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 期末培优：已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.    (1)证明：平面BCM； (2)已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①2或；② 【分析】（1）先证平面，得，，再由线面平行的判定定理证明结论. （2）①建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由线面角的空间向量法求得值即得；②分别求出平面和平面的一个法向量，由面面角的空间向量法求解. 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面，所以，. 因为平面，平面，所以平面. （2）①以DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，    因为，所以，，，，， 设，则有，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 则， 因为与平面所成角的正弦值为是， 所以，解得或. 所以PQ的长为2或. ②因为，由①知，＝，，平面的一个法向量为. 又，，所以，， 设平面的法向量为，则，即 令，得，，所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 例2．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点为的中点 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设出点的位置，直接利用线面角的计算公式计算即可. 【详解】（1）证明：是正三角形，为的中点，． 又因为，， 所以，，又因为 所以平面，又因为平面，， ，平面，平面， 平面． （2）存在，理由如下： 取的中点，由（1）及已知得，， 点，分别为，的中点， ，，． 又，，，两两垂直． 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ．设，， ，， ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ．由已知得，即， 解得或（舍去），故，此时，则是的中点， 存在满足条件的点，点为的中点 例3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，位于的中点位置 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量坐标，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解； （3）求出平面的法向量，假设存在点，满足，利用向量夹角余弦公式构造方程，解方程求出，进而得出结论． 【详解】（1）已知是正三角形，是中点，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于方向为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ． （2），设平面的法向量为， 则，令，则； ，设平面的法向量为， 则，令，则， 二面角的余弦值为： ． （3），设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则，则， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简整理得，解得或（舍去）， 存在点，位于线段的中点位置． 变式1．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． (1)求三棱台的体积； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用台体的体积公式可求得该三棱台的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可得出的值，即可得出线段的长. 【详解】（1）由题意可知，，， 因为侧棱底面，且， 故 . （2）因为底面，且为等边三角形， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）易知点、、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， ， 由题意可得， 整理可得，解得，符合题意， 此时. 变式2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值； （2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可得出的值，即可得出线段的长. 【详解】（1）由侧棱底面ABC，且上、下底面均为正三角形， 则以为原点，以过点垂直于平面的直线为轴， ，所在直线分别为，轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 由，，，则，，，， 则， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. （2）由，得，， 设，则， . 由（1）知，， 设平面的法向量为， 则 令，得，， 故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则 ，解得. 此时，故. 故的长度为 变式3．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先证明面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设出的长度，写出点的坐标，然后计算和平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解. 【详解】（1）是正方形，， 又平面，平面，平面. 又平面平面，平面，. （2）如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是直线上的一点，设，则，，，. ，，. 记平面的法向量为. ，令，则. ，. 记直线与平面所成的角为，由题意可得： . 整理得，解得或. 即或. 考点二 已知二面角求其他量 例1．（24-25高二下·四川德阳·期末）如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线线垂直证平面，进而得证； （2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，设圆柱的高为，根据面面角的余弦值求出，所以直线与圆柱底面所成角为. 【详解】（1）平面平面，， 又为圆的直径，， 平面平面, 平面，而平面， 所以； （2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设圆柱的高为， 则 所以， 且平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则， 不妨令，则， 又平面与平面所成角为， 则， 所以，且 则直线与圆柱底面所成角为. 例2．（25-26高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接． (1)求证：平面； (2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用菱形对角线中点与三角形中位线性质，证明线线平行，进而推导线面平行； （2）先证线面垂直建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合面面角的余弦值公式列方程，解得高的长度． 【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点， 因为是的中点，所以， 又因为平面， 平面， 所以平面． （2） 因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，所以两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为菱形的边长为2，，所以，， 所以，， 设，所以，， 设为平面的一个法向量， 由，得，所以， 取，，，所以， 因为，，，平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 所以线段OP的长为． 例3．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）如图，在边长为的菱形中，，将沿对角线折起，使点到达点的位置，连接，得到三棱锥，设二面角的大小为，且. (1)证明：. (2)若，的中点为，求的长. (3)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直的判定可知平面，由线面垂直性质可得结论； （2）由二面角平面角定义可知，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可构造方程求得，进而确定的值. 【详解】（1）取的中点，连接， 四边形是菱形，，即，； ，； ，平面，平面， 平面，. （2）由（1）知：，，为二面角的平面角，即. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，以平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 在菱形中，由，得：，，， 则，，， 由得：； 当时，，， . （3）由（2）知：，， 设平面的法向量为， 则，令，解得：，， ， 轴平面，平面的一个法向量， ， ，，解得：， ，，，，则. 变式1．（25-26高二下·浙江杭州·期中）如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示.    (1)证明：平面平面； (2)设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得出，然后根据勾股定理得出，从而得到线面垂直，进而得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，通过二面角的向量法得出与的关系，进而由即可求解. 【详解】（1）如图，分别取的中点，的中点，连接， 显然，所以，又因为，，由勾股定理得， 由条件得，所以，即， 又，平面，平面， 又平面，故平面平面.    （2）由（1）知，平面，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面的一条法向量为，由得， 令，则，即， 又平面的一条法向量为，设二面角的大小为，由为锐角，得， 化简得，解得或（舍） 则， 故. 变式2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是该空间几何体中过点，，的截面上的一点，且二面角的余弦值为，求点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中点以及三角形的中位线可得线线平行，进而根据面面平行的判定可证结论； （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，可证明平面，可得为直线与平面所成的角，计算即可； （3）建立空间直角坐标系，根据面面平行的性质可得截面，设，利用坐标法求得平面的一个法向量，根据向量的夹角公式可得，进而计算可求得点轨迹的长度. 【详解】（1）因为，，的中点分别为， 所以，又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由题意可得，，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 由，，可得，又， 所以，又，所以， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）取中点，连接， 由（1）知平面平面， 由平面平面，所以，又的中点. 所以为的中点，同理可得为的中点. 则五边形为过的截面， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以平面的一个法向量为， 又因为二面角的余弦值为， 所以， 所以，两边平方得， 所以，解得或 由于，故， 当时，，当时，， 所以满足题意的点轨迹的长度为. 变式3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明； （2）以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法列式求解. 【详解】（1）连接，，O为的中点， 且. ， ， ，且，又， ，， 又，平面， 平面. （2）如图，以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，点M在棱上， ，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ， 平方化简得， 解得或（舍去），故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $