期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与全等三角形、一次函数的综合应用，通过精选典例构建从性质应用到动态探究的知识逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊平行四边形与全等三角形综合|3例+3变式|含动态旋转、中点构造、面积计算，需综合性质与判定|以正方形、平行四边形性质为基础，通过全等转化线段关系，形成"性质应用-全等证明-动态拓展"逻辑| |特殊四边形与一次函数综合|3例+3变式|涉及直线交点、平行四边形存在性、菱形判定，需数形结合|以坐标表示为桥梁，结合函数解析式与几何性质，构建"代数表达-图形性质-存在性探究"逻辑|

期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 考点目录 特殊平四边形的性质与全等三角形综合 特殊四边形与一次函数综合 考点一 特殊平四边形的性质与全等三角形综合 例1.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，已知：正方形ABCD边长为3，点P是对角线AC上一点，PQ⊥BP ,PQ交射线DC于点Q. D D B B (I)当点Q在边DC上时，求LPCQ的度数； (②)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间存在怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论： (③)当以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为一时，请直接写出PC的长是 【答案】(1)45°； (2)PB=P0; 证明：~四边形ABCD为正方形， ∠BCA=∠DCA=45°，∠BCD=90°， 如图，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, D D 月F 则PE=PF,∠PEC=∠BCD=∠PFC=∠PEB=90°， B 四边形PECF为矩形， ∠EPF=90°， PQ⊥BP, ∠BPQ=90°=∠EPF, ∠BPQ-∠EPQ=∠EPF-∠EPQ, ∴∠BPE=∠QPF, ·△BPE≌△QPF(ASA), 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 2.PB=PQ. 3)v6 3 【分析】(1)由正方形性质求解即可； (2)由正方形的性质可得LBCA=∠DCA=45°，∠BCD=90°，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,则PE=PF, 四边形PECF为矩形，证明△BPE≌△QPF(ASA),即可得解； (3)分两种情况：当点Q在线段CD上时，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F;当点Q在DC的延长线上时，作 PG⊥AB于G,延长GP交CD于H;分别求解即可. 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠PCQ=45°； （2)略 (3)解：如图，当点Q在线段CD上时，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, D 0 F B 由(2)可得LBCA=∠DCA=45°，四边形PECF为矩形，△BPE≌△QPF, ·aPEC为等腰直角三角形，SBPE=SQPr, .PE CE, “四边形PECF为正方形， ∴S四边形BrOc=S,BPE+S四边形ECQ=S,QPr+S四边形EC0=S正方形PECF, :以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为3 S方c·即PE=CE2= Pc-EcE-G于5， 当点Q在DC的延长线上时，作PG⊥AB于G,延长GP交CD于H, 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 D D ~四边形ABCD为正方形， ∠ABC=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°， ∠ABC=∠BCD=∠HGB=90°， 四边形GBCH为矩形， ∠GHC=90°，BG=CH,BC=GH=3, ·CHP为等腰直角三角形， :.HC=PH BG, PQ⊥BP, .∠GBP+∠BPG=∠BPG+∠HPQ=90°， ∠GBP=∠HPQ, ∴△BPG≌△PQH(ASA, :.BP=PO,GP=OH, 设BG=PH=CH=a,则QH=GP=3-a, ©以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为； 1.5aaw-5nwo-5.w-5.m(+33x 1 3, 解得a=25 9 当点P运动到4C中点时，PC=专AC=要≈212<孕，故此楷况不存在， PC的长是V6 例2.(25-26八年级下·北京·期中)已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF.连接CE、CF. 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 GD B E B 图1 图2 图3 (I)点P为线段CF的中点，连接DP ①如图1所示，当点E、F分别在边AB、AD上时，请直接写出DP与CE之间的关系： ②将△AEF绕点A旋转到图2的位置，请写出LPDC与∠ACE之间的数量关系并证明； (2)将△AEF绕点A旋转到图3的位置，作FG⊥CD于点G,设FC、EC的长分别为m、n,则DG·DC的值是_（用 含m,的式子表示). 【答案】(I)①DP⊥CB,DP=CE: ②∠PDC=∠ACE+45· 证明：如图，过点A作AP⊥AC交CD的延长线于点M,连接MF, M B A 图2 ∠CAM=∠EAF=90°， ∴LCAE=∠MAF ~四边形ABCD是正方形， ∴LADC=90°，∠DAC=45°，DA=DC ∴.∠DAM=45° :.DA=DM ∴DC=DM :.AC=AM 又AE=AF AACE≌△AMF(SAS ∴∠ACE=∠AMF 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 ~点P为线段CF的中点，DC=DM ∴DP∥FM ∴∠PDC=∠FMC=∠AMF+LAMC=LACE+45°，即∠PDC=∠ACE+45° (2n2-m2 4 【分析】(I)①证明△DCF≌aBCE(SAS),得出CF=CE,LDCF=∠BCE,根据直角三角形中斜边上的中线等于 斜边的一半，得出PD=PC=CF,进而可得DP=CE:延长DP交EC于点M,设∠PCD=LPDC=a,则 LDCF=LBCE=a,得出∠ECD+∠CDM=90°，即可证明PD⊥CE; ②过点A作AP⊥AC交CD的延长线于点M,连接MF,证明△ACE≌△AMF(SAS)得出LACE=LAMF,进而证明 DP是△AFM的中位线，可得DP∥FM,根据平行线的性质，进而可得结论； (2)连接DF,BE,过点E作EH⊥AB于点H,证明△DAF≌△BAE(SAS)得出∠FDA=∠EBA,DF=BE,进而证 明△FGD≌△EHB(AAS),得出GD=BH,FG=HE,设GD=BH=a,FG=HE=c,CG=b,进而根据勾股定理表 示出m,n,得出a+b=-m,即可求解. 4 【详解】(1)解：①~四边形ABCD是正方形， ∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=AD ~等腰直角三角形AEF ∴AE=AF ∴BE=DF ADCF≌△BCE(SAS CF=CE,∠DCF=LBCE ~点P为线段CF的中点， 3PD-PC-CF “DP=CE PC=PD ∴∠PCD=∠PDC 如图，延长DP交EC于点M, 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 E 图1 设∠PCD=LPDC=a,则∠DCF=∠BCE=a, ∴∠ECD=90°-∠BCE=90°-a, ∠ECD+∠CDM=90°， PD⊥CE; ②略 (2)解：如图，连接DF,BE,过点E作EH⊥AB于点H, G D 图3 ~四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90° 又·等腰直角三角形AEF ·AE=AF,∠FAE=90 ∴.∠DAF=∠BAE=90°-∠FAB ∴△DAF≌△BAE(SAS】 ·∠FDA=∠EBA,DF=BE ∴.90°-∠FDA=90°-∠EBA 即∠GDF=LHBE 又FG⊥CD,HE⊥BH, ∠FGD=∠EHB=90° △FGD≌△EHB(AAS :.GD=BH,FG=HE 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 GD=BH=a,FG=HE =c,CG=b,CH=CB+BH CD+BH =a+b+a=2a+b 在Rt△CGF中，CF2=FG2+CG2,即m2=b2+c2 在Rt0CHE中，CE2=CH+HE2,即n2=(2a+b)2+c2=4a2+4ab+b2+c2=4a2+4ab+m2 a'+ab=-m2 4 DG.DC=a(a+b)=a2+ab= 例3.(25-26八年级下·辽宁营口阶段检测)如图，在口ABCD中，CE⊥AD于点E,F是CD的中点，连接EF, BF,BE,且∠EBC=2∠ECD,BF平分∠EBC. 图1 图2 (I)求∠EFB的度数； (2)若AE=4,DE=2,求BF的长； (3)如图2，连接AF,若CE=2DE,求∠DAF的度数. 【答案】(1)90° (2)214 (3)45° 【分析】(I)不妨设CE交BF于点H,先通过角平分线证明LEBF=∠CBF=LECD,再通过直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半，得到EF=CD=FC,推出LFEC=∠ECD,接着证明∠FBC+∠BHC=90°，继而可得 LFEC+LEHF=90°，即得出∠EFB的度数： (2)延长EF交BC的延长线于点G,证明△DEF≌aCGF(ASA),再证BF垂直平分EG,在RtaBCE中，利用勾 股定理求出CE,在RtaCED中，利用勾股定理求出CD,最后在RtAEFB中，利用勾股定理求出BF的长； (3)延长EF交BC的延长线于点G,先证明BE=BG=BC+DE,设DE=Q,则CE=2a,在RIABCE中，由勾 理解得BCa,AD=BCa,4AE三D-DE)0:取DE中点H,连接FH,证明AH=a,再 △AHF为等腰直角三角形，从而得出∠DAF. 【详解】(1)解：不妨设CE交BF于点H, > 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 D H BF平分∠EBC, ÷∠EBF=∠CBF= ∠EBC, 2 又∠EBC=2∠ECD, ∠EBF=∠CBF=∠ECD, ~CE⊥AD,F是CD的中点， ÷在RtaEDC中，EF=CD=FC, ·∠FEC=∠ECD, ~∠EBF=∠CBF=∠ECD, ∴∠FEC=LCBF, ~四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC, CE⊥AD, CE⊥BC, 在RtABCH中，∠FBC+∠BHC=90°， 又∠BHC=∠EHF,∠FEC=∠CBF, .∠FEC+∠EHF=90°， .∠EFB=180°-（∠FEC+∠EHF)=180°-90°=90°. (2)解：延长EF交BC的延长线于点G, D 四边形ABCD是平行四边形， :ADI BC, 8 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 LEDF=∠GCF, 又F是CD的中点， .DF=CF, 在ADEF和△CGF中， ∠EDF=∠GCF DF=CF, I∠DFE=∠CFG ∴△DEF≌CGF(ASA), ∴CG=DE=2,EF=FG, 由(1)知LEFB=90°，即BF⊥EG, 又EF=FG,即F为EG的中点， .BF垂直平分EG, BE=BG=BC+CG=6+2=8, 在RtABCE中，BC=6,BE=8, ∴CE=VBE2-BC2=V82-62=V28=2√7， 在RtACED中，DE=2,CE=2√万， CD=DE2+CE2=V22+(2V7=V32=42, ~F为CD的中点，∠CED=90°， EF-CD-22, 在RtAEFB中，BE=8,EF=2√2， ∴BF=√BE2-EF2=V64-8=V56=214, (3)解：延长EF交BC的延长线于点G, 由(2)知aDEF≌a△CGF, B G ∴CG=DE,EF=FG, 由(1)知LEFB=90°，故BF垂直平分EG, ∴BE=BG=BC+CG=BC+DE, 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 设DE=a,由CE=2DE得CE=2a, 在RtA BCE中，BE2=BC2+CE2,代入得(BC+a=BC2+4a2, 3 解得BC=20, 四边形ABCD是平行四边形， AD-BC-24 3 又AD=AE+DE, AE=AD-DE-74: 1 取DE中点H,连接FH,如图， E H D B G ~F为CD中点，H为DE中点， ∴FH‖CE且FH=、CE=a, 2 ~CE⊥AD FH⊥AD, 又DH=2 1 20, 20 11 :.AH=AE+EH 2aa, 在Rt AHF中，AH=FH=a, ·△AHF为等腰直角三角形， ∠DAF=∠HAF=45°. 变式1.(25-26八年级下·辽宁大连·期中)如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别是边BC,CD上的点，连 接AF,作EH⊥AF于点H,延长EH交边AD于点G. D A f B E H E 图1 图2 备用图 o 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 (I)判断∠AFD与LGEC的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若CE=CF,连接CH,判断线段EH,FH,CH的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，若AG=2,DG=1,则CH的长为-· 【答案】(I)LAFD=LGEC,理由见解析 (2)EH+FH=√2CH,理由见解析 3)v5 5 【分析】(1)由正方形的性质可得LD=90°，AD∥BC,从而得到LAFD+∠DAF=90°，∠AGE=∠GEC,由 EH⊥AF,得到∠AGE+∠DAF=90°，从而得到∠AFD=∠AGE进而得出∠AFD=∠GEC; (2)作MC⊥CH交HE延长线于M,则∠MCH=90°，从而得到∠MCE+∠HCE=90°，由正方形的性质可得 ∠HCF+∠HCE=90°，从而得到∠MCE=LHCF,由四边形的内角和定理可得HEC+∠HFC=180°，由 ∠HEC+∠MEC=180°，可得∠MEC=∠HFC,通过证明△MEC≌△HFC,可得CM=CH,EM=FH,再由勾股 定理可得CH2+CM2=HM,从而即可得到答案； (3)作EK⊥AD于点K,连接GF,由AG=2,DG=1得，AB=CD=BC=AD=AG+DG=2+1=3,再 EK=AB=AD,进而证明△EKG≌△ADF,得KG=DF,EG=AF,由BE=DF,得AK=DF=KG,可求得 DF=1,则EG=AP=VAD+DP=0,FG=DF+DG=2,由×Vi0GH=)×2x1=Sm,求得 GH=i0,则EH=4D,FH:VFG-GH_20,所以EH+FH=60，于是得VCH=6D，,即可求 5 5 5 5 5 得CH=65,于是得到间题的答案。 【详解】(1)解：LAFD=∠GEC, 理由如下： 如图， G D H :四边形ABCD是正方形， B E 图1 :∠D=90°，AD∥BC, :∠AFD+∠DAF=90°，LAGE=∠GEC, :EH⊥AF, :∠AHG=90°， :∠AGE+∠DAF=90°. 11 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 :∠AFD=LAGE, :LAFD=∠GEC; (2)解：EH+FH=V2CH, 作MC⊥CH交HE延长线于M, G D :∠MCH=90°， B 图2 .∠MCE+∠HCE=90°， :四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°， :∠HCF+∠HCE=90°， :∠MCE=LHCF, :EH⊥AF, ：∠EHF=90°， :∠HEC+∠HFC=360°-∠EHF-∠BCD=360°-90°-90°=180°， :∠HEC+∠MEC=180°， :∠MEC=∠HFC, CE =CF, :△MEC≌△HFC(ASA, :CM =CH,EM=FH, 在Rt△HCM中，根据勾股定理得，CH+CM2=HM2, :2CH2=(EH+EM)2, :2CH2=(EH+FH)2, :EH+FH=√2CH; (3)解：如图，作EK⊥AD于点K,连接GF, 12 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 G E 则∠EKG=∠D=∠AHG=90°， ∠KEG=LDAF=90°-∠AGH, :AG=2,DG=1, .AB=CD=BC=AD=AG+DG=2+1=3, :∠AKE=LBAK=LB=90°， :四边形ABEK是矩形， :BE AK,EK AB=AD 在△EKG和△ADF中， ∠EKG=∠D EK=AD ∠KEG=∠DAF .aEKG≌△ADF(ASA, ∴.KG=DF,EG=AF, BC=CD,CE=CF, :BC-CE CD-CF, .:BE =DF :AK DF=KG, :AK +KG=AG=2, :.DF+DF=2, .DF=1, EG=AF=√AD2+DF2=V32+1P=√0， FG=DF2+DG2=+12=2 :2x0GH=x2×1=S4o, 21 2 .GH=10 5 13 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 EH =EG-GH=0 FH-VFG2-GH3 10 210 :EH+FH=4i0+21而60 一十 5 5 5 EH+FH=√2CH, .2CH=6v 5 ..CH=65 5 变式2.(25-26八年级下·广东汕头期中)四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE. 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E是线段AC的中点时，以DE,EC为邻边作矩形DECG,求证：矩形DECG是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段AC的中点时，过点E作EF⊥DE,交线段BC或BC的延长线于点F,以DE, EF为邻边作矩形DEFG,四边形DEFG还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明 理由； (3)在(2)的条件下，连接CG,试探究CG,EC,CD的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)见解析 (②)是，证明见解析 (3)CG+EC=√2CD,理由见解析 【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形DECG是正方形； (2)当点F在边BC上时，作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,证明△EQF≌AEPD(ASA,得到EF=ED,根据正 方形的判定定理证明即可； 当点F在BC的延长线上时，过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,同样根据正方形的判定即可得证； (3)结合正方形的性质可证明△ADE≌△CDG(SAS),得出AE=CG,根据勾股定理求出AC=√2CD,即可得出结 论 【详解】(1)证明：~四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC中点， ÷DE=CE=AC, 2 ~四边形DECG是矩形， 14 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 ∴四边形DECG是正方形： (2)证明：当点F在边BC上时， 过点E作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,如图1， D ---p G~四边形ABCD为正方形， B F 图1 ∠DCA=∠BCA=45°， ~EP⊥CD,EQ⊥BC, ∠QEC=∠PEC=45°，EQ=EP. ∴四边形EQCP为正方形， ∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=90°-∠PEC=45°， .∠QEF=∠PED. 「∠QEF=∠PED 在△EQF和△EPD中， EO=EP, ∠EQF=∠EPD △EQF≌△EPD(ASA, ·EF=ED, 矩形DEFG是正方形： 当点F在BC的延长线上时， 如图，过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N, D G ~四边形ABCD是正方形， E LBCD=90°，LECN=∠ECM=45°， .∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°， :.NE=ME, 四边形EMCN为正方形， .∠MEN=90°， 15 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 四边形DEFG是矩形， ∠DEF=90°， ∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°， .∠DEN=LFEM, 「∠DNE=∠FME=90° 在△DEN和△FEM中， EN=EM ∠DEN=∠FEM ∴aDEN≌AFEM(ASA, ∴ED=EF, 矩形DEFG为正方形； (3)解：CG+EC=V2CD 理由如下： 由(2)可知，矩形EFGD是正方形， ED=DG,∠EDG=90°， ~四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADC=90°， ·LADE=LCDG,AC=V2CD △ADE≌ACDG(SAS), .AE =CG. AE+EC=AC, ∴.CG+EC=V2CD. 变式3.(25-26八年级下·重庆渝北期中)已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=AC. 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=60°，AB=6,求BD的长； (2)如图2，AB⊥AC,点E、F在线段BD上，△AEF为等腰直角三角形且LEAF=90°，连接CF,求证： 0B=2CF+0F. (③)如图3，若LBAC=60°，AB=8,点P是线段BD上的一个动点，连接AP,以线段AP为边在AP下方构造等边三 16 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 角形APP',连接DP',当AP'+DP'的值最小时，请直接写出△ADP的面积. 【答案】(I)BD=6√5 (2)见解析 3)16v5 3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等 边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键， (1)证明ABC是等边三角形，进而得四边形ABCD是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； (2)过点A作AH⊥BD,垂足为H,证明△ABE≌aACF(SAS)和△AOH≌△COF(AAS),再根据全等三角形的性 质求解即可； (3)连接BP,CP,证明△ABP'≌△ACP(SAS),ABC是等边三角形，四边形ABCD是菱形，△ADP≌aCDP(SAS) ，进而得出当点P在线段BD上时，AP'+DP'的值最小，再根据Sm=2DP,AO求解即可. 【详解】(1)解：~AB=AC,∠BAC=60°， ·ABC是等边三角形， ×AB=6, ..AB=BC=AC=6, 平行四边形ABCD是菱形， ÷BD=20B,0A=AC=3,AC⊥BD, ∠A0B=90°， 六0B=VAB2-0A2=3V5, BD=63: (2)证明：如图，过点A作AH⊥BD,垂足为H, D HO B ∠AH0=90°， AB⊥AC, ∠BAC=90°， ~∠EAF=90°=∠BAC, 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 ∠BAC-∠EAO=∠EAF-∠EAO,即∠BAE=∠CAF, ~△AEF为等腰直角三角形， AE=AF,∠AEF=45°， ∠AEH=∠EAH=45°， ∴AH=EH, AB=AC, ÷AABE≌△ACF(SAS), BE=CF,∠ABE=∠ACF, ∠A0B=∠C0F, ∠BA0=∠CF0=90°， .∠AHO=∠CFO, ~四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C, ∴△AOH≌△COF(AAS), .AH CF,OH=OF, ∴CF=EH, :.0B=BE+EH+0H=CF+CF+0F=2CF+0F (3)解：连接BP,CP, “△APP是等边三角形， AP=AP',∠PAP'=60°， ∠BAC=60°， ∠BAC-LP'AC=∠PAP'-∠P'AC,即∠BAP'=∠CAP, AB=AC=8, ·△ABP'≌△4CP(SAS),ABC是等边三角形， :BP=CP,AB BC, 四边形ABCD是菱形， 18 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 AD-CD,∠AD0=∠CD04C1BD,01=4C=4, 0B=VAB2-0A2=43=0D' DP=DP, ÷△ADP≌aCDP(SAS), ∴AP=CP, AP=CP=BP=AP ·AP'+DP'=BP'+DP'≥BD,即当点P在线段BD上时，AP'+DP'的值最小， 如图， D B <0P=PP=300r-0p. PP=20P=AP, 0A2+0P2=AP2, 0P-9=0p DP=0D-0P=45.9=9, SADP=DPA0=支×5x4= 3 19 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 考点二 特殊四边形与一次函数综合 例1.(25-26八年级下·河南信阳阶段检测)如图，直线1：y=- 2x+2分别与x轴、y轴交于A、8两点，与 直线2：y=x-3交于点C(2,1. y A 备用图 (1)点A坐标为 (2)在直线BC上有一点E,过点E作y轴的平行线交直线于点F,设点E的横坐标为m,当m为何值时，以O、 B、E、F为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线4上有一点P,使△A0P的面积为8，直接写出点P的坐标 【答案】(1)4,0) ②m-4或m=号 6 5 (3)(-4,4)或12，-4) 【分析】(1)先根据点C(2,)求出直线的解析式，再求出y=0时，x的值，由此即可得： (2)先根据直线的解析式求出OB=2,再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点E,F的坐标，则 可得EF的长，然后根据平行四边形的判定可得EF=OB,据此建立方程，解方程即可得： (3)设点P的坐标为(x,).由点P在直线（上，求出y=4或y=-4.再求出相应的x的值，即可得出答案. 【详解】D解：将y=0代入一次函数)=x+2得：宁+2=0，解得=4 :点A坐标为(4,0)： 故答案为：(4,0)： (2)解：将x=0代入直线：y=-2x+2得：y=2, ·B(0,2), :0B=2, 20 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 将点C(2,1)代入直线l2:y=kx-3得： 2k-3=1, 解得k=2, :直线的解析式为y=2x-3, 由题意得：点E的坐标为E(m, 2m+2),点F的坐标为F(m,2m-3), E--3- :EF∥OB, :要使以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形，则EF=OB, 5m-=2, 5 4或m 6 解得m= 5 5’ 或号时，以0、4、￡、下为顶点四边形是平行四道形， “当m为4 5 (3)解：设点P的坐标为(x,y). ~点P在直线上， y*2 04-y 7×4x少上8 解得引y=4, 即y=4或y=-4. 当E4时，一)+2=4，解得x三-4，此时点P坐标为(4④ 1 当y=4时，-7x+2=4,解得x=12,此时点P坐标为02,4). 所以点P的坐标为(4,4)或(12,4) 例2.(25-26八年级下·上海青浦期中)如图1，直线y=-√3x+V3图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、 D分别是射线OA、射线BA上一动点（点C与点A不重合)，且CD=DA. 21 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 B趴 D A OC A A\ 图1 图2 备用图 (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段OA、AB上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为(m,0),△0CD的面积为S,用含m的 代数式表示S,并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标. 【答案】（①）A1,0),B0,5 4m(0<m<1 3)(5-1,0或(2,0)或0，) 【分析】(1)分别令x=0,y=0求解即可； (2)取AB的中点T,连接OT,证明△AOT为等边三角形，则LBA0=60°，即可得到△ACD为等边三角形，那么 AD=CD=AC=A0-OC=1-m,过点D作DH⊥A0于点H,然后根据30°直角三角形的性质以及勾股定理求出 DH-1-小，建立两数关系式 (3)当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则△BD0为等腰三角形，再分类讨论求解即可. 【详解】(1)解：对于y=-√3x+V3, 当x=0时，y=V3: 当y=0时，-V5x+√5=0，解得x=1 ∴A1,0),B0,5: (2)解：A1,0),B0,V5 ∴0A=1,0B=3 AB=OA2+OB2=2 取AB的中点T,连接OT, 22 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 7 则OT=4r-号48= ∴.0A=OT=AT=1 ∴△AOT为等边三角形， ·LBA0=60°， CD=DA, ÷a△ACD为等边三角形， ∴AD=CD=AC=A0-OC=1-m 过点D作DH⊥AO于点H ∠ADH=90°-60°=30 *AH=14D=(1-m) 2 2 DH=AD-AH() 2 m(1-m) 即5=-5m2+5m0<m<1: 4 4 (3)解：当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则△BD0为等腰三角形， 当BD=BO=√5时，则AD=AC=AB-BD=2-√3， 0C=0A-AC=1-(2-V5)=V5-1' c(5-1,0) 23 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 B 当DB=DO时， C)OA 六∠DB0=∠D0B=90°-∠BA0=30· 六∠D0A=90°-∠DOB=60°=∠BA0 △4DO为等边三角形， ~△ACD为等边三角形，且点C在射线OA上 “点C,O重合， ∴C(0,0): 当OB=OD时，连接OE交BD于点H, ∴根据菱形可得，BH=DH,OE⊥BD ∠AB0=30° 0H=}0B=5 2 "BH=V30H= 24 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 BD=2BH=3 AD=AC=BD-BA=3-2=1 .C2,0, 综上：点C的坐标为√3-1,0或(2,0)或(0,0). 例3.(25-26八年级下·辽宁大连·期中)如图，直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于点A,点B,直线BC与x 轴相交于点C(-4,0). (I)求直线BC的解析式： (2)点P在直线AB上，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q,当以点O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形 时，求点P的坐标； (3)点D在直线AB上，若LACD=LAB0,求点D的坐标. 【答案】(1)y=x+4 (2)点P的坐标为 9》 44 同点D的坐际为）碳4， 【分析】(1)先由y=-2x+4确定与y轴交点B的坐标，再用待定系数法求解析式： (2)由条件知PQ∥OB,根据平行四边形的判定方法，再添加PQ=OB,以点O,B,P,Q为顶点的四边形就 是平行四边形，所以根据解析式设出点P、Q的坐标，根据点P的位置分情况表示线段PQ长度，再根据PQ=OB列 方程求解，最终确定点P的坐标； (3)根据点D在直线AB上的位置进行分类讨论，结合∠ACD=∠ABO,构造全等三角形，确定线段长，进而确定 点G(或H)的坐标，表示直线CD解析式，直线CD和直线AB两个解析式联立求点D的坐标. 【详解】(1)解：~直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于点A,点B, :当x=0时，y=4, B(0,4. 设直线BC的解析式为y=c+4,代入C(-4,0), 0=-4k+4,解得k=1, 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 ∴直线BC的解析式为y=x+4; (2):PQ∥y轴，.PQ∥OB,当PQ=OB时，以点O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形， 设点Pm,-2m+4, ∴Qm,m+4),当x>0时，P2=m+4-(-2m+4=3m, 0B=4, .3m=4, m23 4 当m号时，-2m十4=号+4=号 p44) (33月 当x<0时，PQ=-2m+4-(m+4)=-3m, :0B=4, ∴.-3m=4, 4 当m=- ，2+4=2》4 3, 9》 综上所途，当以0，，P,Q为顶点的四边形是平行周边形时、点P的坐标为传)或台罗》 (3)在y=-2x+4中，当y=0时，-2x+4=0,x=2, A2,0). 如图1，当点D在x轴上方时，设CD交y轴于点G, :∠ACD=∠AB0,0C=0B=4,∠C0G=∠B0A, ∴.△OCG=△OBA(ASA, :0G=0A=2, G(0,2. 设直线CG的解析式为y=mx+2,代入C(-4,0), 1 a-4m+2=0,解得m=2 26 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 4 33 x= 直线CG的解析式为y= +2,联立 y= 5 ,解得 y=-2x+4 12 ly=5 .D 412 55 y B A C H D (图1) (图2) 如图2，当点D在x轴下方时，设CD交y轴于点H,同理可得a0CH兰a0BA(ASA)，÷OH=OA=2, .H0,-2). 设直线CH的解析式为y=x-2,代入C(-4,0), ÷-4n-2=0, 1 .n= 2 直线CH的解析式为y=- 2-2,联立 =- 2-2,解得 x=4 y=-2x+4 y=-41 D(4,-4). 综上所述，点D的坐标为亏5 412 或(4，-4 变式1.(25-26八年级下·江苏无锡期中)如图1矩形0ABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴 上，OA=6,OC=4,过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P,且点P不与点B、C重合，过点P作 ∠CPD=∠APB,PD交x轴于点D,交y轴于点E. 27 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 D E 图1 图2 (1)若△APD为等腰直角三角形. ①直线AP的函数解析式为：， ②在x轴上另有一点G的坐标为(4,0).请在直线AP上找一点M，使△GEM的周长最小，并求出此时点M的坐标 和△GEM的周长的最小值。 (②)如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F,若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线PE 的解析式。 【答案】(1)①y=-x+6;②点M的坐标为4,2)；△GEM的周长的最小值为6+2V5 (2)y=2x-4 【分析】(1)①根据矩形的性质和平行线的性质可证明∠PDA=∠CPD,∠PAD=∠APB,则可证明 ∠PDA=∠PAD,得到PD=PA,故∠APD=90°，据此可证明△ABP是等腰直角三角形，得到BP=AB=4,则 CP=BC-BP=2,可推出P(2,4,再利用待定系数法求解即可；②可证明△CPE是等腰直角三角形，则 CE=CP=2,可求出EG=2√5；作点E关于直线AP的对称点T,连接TM,TG,则TM=EM,可证明当T、M、 G三点共线时，TM+GM有最小值，即此时△GEM的周长有最小值；证明点P为ET的中点，求出点T的坐标为 (4,6),据此可得答案； (2)作PH⊥AD于点H,证明四边形PCOH是矩形，得到PH=OC=4,证明△PDH≌△EDO(AAS),得到 DH=D0,PH=E0=4,则可求出OD=DH=HA=OA=2,E0,-4,则P(4,4),再利用待定系数法求解即可. 【详解】(1)解：①~四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA,∠B=90°，AB=0C=4,BC=0A=6,BC⊥0C, ∠PDA=∠CPD,∠PAD=∠APB, ∠CPD=∠APB, 28 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 ∠PDA=∠PAD, ∴PD=PA, ∴当△APD为等腰直角三角形时，∠APD=90°， ∠CPD=∠APB=180°-90°=45°， 2 ∴AABP是等腰直角三角形， :BP =AB=4, ∴CP=BC-BP=2, P(2,4), 设直线AP的解析式为y=x+b, [2k+b=4 由题意得，A(6,0),则 6k+b=0' k=-1 b=6’ ∴直线AP的解析式为y=-x+6; ②由(1)①可知△CPE是等腰直角三角形，则CE=CP=2, ∴0E=0C-CE=2; G4,0), …0G=4, 六EG=V0E2+0G2=2V5: 如图所示，作点E关于直线AP的对称点T,连接TM,TG,则TM=EM, B ∴△GEM的周长=EM+GM+EG=TM+GM+2V5, ∴当T、M、G三点共线时，TM+GM有最小值，即此时△GEM的周长有最小值； 由(1)①得∠APE=90°， 由轴对称的性质可得ET⊥AP, 29 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 E、P、T三点共线，即点P为ET的中点， 点T的坐标为2×2-0,4×2-2)，即(4,6)， TG=6, “△GEM的周长的最小值为6+25： TG⊥x轴， ∴点M的横坐标为4， 在y=-x+6中，当x=4时，y=2, 此时点M的坐标为4,2) (2)解：如图，作PH⊥AD于点H, D H E 图2 ∠PHD=∠E0D=90°，∠PH0=∠PHA=90°， 四边形OABC是矩形， ∠0CB=∠A0C=90°， 四边形PCOH是矩形， ∴PH=0C=4, 同理可证明PD=PA, ∴DH=AH, ~四边形PAEF是平行四边形， ∴PD=ED, 在△PDH和△EDO中， ∠PHID=∠EOD ∠PDH=∠EDO, PD=ED 30 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 △PDH≌△EDO(AAS), .DH =D0,PH=EO=4, k0D=DH=H=o1=2.E0-4 0H=4, P(4,4, 设直线PE的解析式y=mx+, ,%=-4 4m+n=4' m=2 (%=-41 ∴直线PE的解析式y=2x-4. 变式2.(25-26八年级下·上海阶段检测)如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别相交于点A、B, 若OA=8,OB=16,点C的坐标为0,6) (I)求直线AB的表达式 (②)若点E在直线AC上，使得SBE= 3m,求点E的坐标 (3)点P是直线AB上一个动点，点Q是坐标平面内一个动点，如果以点A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请 直接写出点Q的坐标 【答案】(1)y=-2x+16 g810或3或-25.6+45或256-45 【分析】(1)首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； 3 (2)先求出S.0B=64,S.c=40,由题意求出SE=16,求出直线AC的解析式为y= x+6,设 31 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 3 Eee+6,分点E在CA延长线上，点E在线段4C上和点E在AC延长线上三种情况讨论，利用三角形面积差 建立方程求解即可； (3)设P(P,-2p+16),Q9,s,分以AQ,CP为对角线的四边形ACOP是菱形，以AC,QP为对角线的四边形 APCQ是菱形，以AP,CQ为对角线的四边形ACP2是菱形，三种情况，利用菱形的性质建立方程（组）求解即可. 【详解】(1)解：0A=8, .A80), 0B=16, ∴.B(0,16), 设直线AB的解析式为y=+b, 将A、B点代入y=+b, 8k+b=0 b=16 k=-2 解得 b=16’ :直线AB的表达式为y=-2x+16; (2)解： 0A=8,0B=16,∠A0B=90°， S408=)0A0B=64, 2 八54版=4x64=16, ×C(0,6),即0C=6, BC=0B-0C=10, .S.ABC=OABC=40 设直线AC的解析式为y=mx+6, 则0=8m+6,解得m=-3 4 直线AC的解析式为y=- 4+6, 3 设Ee4e+6 当点E在CA延长线上时，如图， 32 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 珠 B C A不N 则SABE=SBCE-SABe=16, 8C:-40=16,即×10xe-40=16,解得e=56 2 此时，子+6=号即(号》 当点E在线段AC上时，如图， B 0 A 则S.4E=S4Bc-SBCE=16, 40-8C。=16,即40-×10xe=16,解得e-24 2 此时， -06 ，即E2412 12 (55 当点E在AC延长线上时，如图， E 则S4BE>SABC,即SABE>40, 故，不存在此种情况： 33 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 综上，点E的坐标为 5612)成2412 9,5)或35 (3)解：由(1)知直线AB的表达式为y=-2x+16, 设P(p,-2p+16),Q(9,s, 当以AQ,CP为对角线的四边形ACQP是菱形时，如图， B C A O O Q [8+9_0+2 22 则 0+s6+(-2p+16) 且AC=AP, 02 2 q=p-8 s=22-2p 且V82+6=Vp-8)2+(-2p+162，即p2-16p+44=0, 9=p-8 s=22-2p 且p=8+2W5或p=8-2V5, 当=s+25.期is即el56-4月 19=-25 当p=8-2V5时，则 -6+45'即-25,6+4w5: 当以AC,OP为对角线的四边形APCQ是菱形时，如图， B 34 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 8+0-p+9 22 则 且CP=AP, 0+6s+(-2p+16) (2 701l2p16-可-r12n1,0p=2. 9=8-p (s=2p-10 5 =1 当以AP,CQ为对角线的四边形ACPQ是菱形时，如图， B(P) A [8+2=0+9 22 则 且AC=CP, 0+(-2p+16)6+s 2 2 g=+8n且8+6=产+-2p+10-6可，即p-8p=0. s=10-2p 9=p+8 且p=0或p=8(与点A重合，舍去)， s=10-2p 则/98 s=10’即0(8,10)： 综上，点0的坐标为10)安钊-256+456-4】 变式3.(24-25八年级下·湖南永州期中)如图，矩形ABC0中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是 (-3,4),矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与y轴、x轴分别交于点D、F. 35 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 ' D (1)B0=-: (2)求点D的坐标； (③)若点M在x轴上，则在直线BD上是否存在点N,使得以M、N、A、D为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)5 (3)存在， 引引》 2, 【分析】此题主要考查四边形综合问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用 勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论平行四边形的边及对角线的情况。 (1)由B(-3,4)可得0C=3,BC=4,进而根据勾股定理求得BO,即可求解. (2)由折叠的性质可得BE=AB=6,DE=AD,故OE=B0-BE=4,∠OED=90°，设D(0,1,则由题意可得： ∠DE0=90°，DE=DA=4-1,BE=BA=3,E0=2,在Rt△E0D中，由勾股定理得到方程即可求出a的值； (3)分①当AM、DN为ADMN的对角线时；②当AN、DM为口ADNM的对角线时；③当AD、MN为 口AMDV的对角线时；3种情况进行讨论，分别求出N的坐标. 【详解】(1)解：由B(-3,4)可得0C=3,BC=4. :四边形ABCO是矩形， ∴LBC0=90°， 由勾股定理可得：B0=VBC2+0C2=V42+32=5, 故答案为：5： (2)设D(0,),则由题意可得：∠DE0=90°，DE=DA=4-1,BE=BA=3,E0=2. 在Rt△DEO中，由勾股定理可得：OE2+DE2=DO, 即22+(4-t)2=t2, 解得1=2’ 5 36 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 (3)存在符合条件的点N2或多或(8号).理由如下： 2 由(2)知：DE=DA=4-b,b=2, 5 AD=4-5=3 22 设直线BD的解析式为y=+b, :-3,4,D0,. -3k+b=4 5 b=2 1 k=- 2 b=S 2 直线BD的解析式为：y=)x+了 :点M在x轴上，点N在直线BD上， 15 :设M(m,0),Nm2n+2 5 又A0,4,D0,2, 当AM、DN为口ADMN的对角线时，AM与DN的中点重合， m+0=n+0 15.5, 0+4=-二n+。+ 2”22 m=2 解得： n=2 2, 当AN、DM为口ADNM的对角线时，AN与DM的中点重合， n+0=m+0 15 5, 4-n+ -=0+ 22 2 m=8 解得： (n=8' 8. 当AD、MN为口AMDN的对角线时，AD与MN的中点重合， 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 m+n=0+0 1 5, 0 524 0-2+ 2 m=8 解得： n=-8' N-8,5): 2 2)成&8号) 38期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 期末培优：特殊平四边形的性质与全等三角形综合、特殊四边形与一次函数综合专项训练 考点目录 特殊平四边形的性质与全等三角形综合 特殊四边形与一次函数综合 考点一 特殊平四边形的性质与全等三角形综合 例1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，已知：正方形边长为3，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，求的度数； (2)当点在边上时，线段与线段之间存在怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是_______． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和等腰直角三角形．连接、． (1)点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； (2)将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 例3．（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，在中，于点E，F是的中点，连接，，，且，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接，若，求的度数． 变式1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图1，四边形是正方形，，分别是边，上的点，连接，作于点，延长交边于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，，则的长为 ． 变式2．（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 变式3．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 考点二 特殊四边形与一次函数综合 例1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 例2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 例3．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 变式1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 变式2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 变式3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、． (1) ； (2)求点的坐标； (3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $