专题01三角形内角和定理、等腰三角形专项训练（19大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 聚焦三角形与多边形核心知识，以20类题型为载体，构建从基础证明到综合应用的递进训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形角度|题型1-3（约15题）|内角和证明、角度计算、外角性质应用|从定理证明到性质应用，强化逻辑推理| |多边形综合|题型4-12（约25题）|概念辨析、边数/对角线/面积计算、平面镶嵌|从多边形概念到内角和外角和综合，构建知识网络| |特殊三角形|题型13-16（约20题）|等腰/等边三角形性质判定、含30°角直角三角形应用|从性质探究到作图计数，提升空间观念| |综合应用|题型17-19+分层精练（约30题）|反证法、角度综合、动态几何问题|整合三角形与多边形知识，培养综合解题能力|

专题01三角形内角和定理、等腰三角形专项训练 题型梳理归纳 题型1.三角形内角和定理的证明 题型2.三角形内角和定理应用 题型3.三角形外角性质及应用 题型4.多边形与正多边形概念辨析 题型5.多边形边数问题 题型6.多边形周长与面积计算 题型7.多边形对角线相关计算 题型8.多边形内角和计算 题型9.复杂图形内角和计算 题型10.多边形外角和计算与实际应用 题型11.多边形内角和与外角和综合 题型12.平面镶嵌问题 题型13.等腰三角形性质与判定综合 题型14.等腰三角形作图与计数问题 题型15.等边三角形性质与判定应用 题型16.含30°角直角三角形性质应用 题型17.反证法证明命题 题型18.三角形与多边形角度综合题 题型19.特殊三角形综合证明计算题 题型20.分层精练14道题 核心题型精讲 题型1.三角形内角和定理的证明 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C. D． 2．如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 3．如图，，垂足分别为D、F． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型2.三角形内角和定理应用 1．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，若，则的度数为__________． 3．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 题型3.三角形外角性质及应用 1．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则___________度． 3．已知，、交于，． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，若，平分，求的值； (3)如图3，若，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论． 题型4.多边形与正多边形概念辨析 1．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．从n边形一个顶点出发，可以引__________条对角线，它们将此n边形分为__________个三角形，所以n边形内角和为__________． 3．如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 题型5.多边形边数问题 1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 题型6.多边形周长与面积计算 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 2．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是_______． 3．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 题型7.多边形对角线相关计算 1．下列说法错误的个数是（    ） ①对于边形一个顶点的对角线有条 ②以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作三个平行四边形 ③每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 ④过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是七边形 A．1 B．2 C．3 D． 2．一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 3．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 题型8.多边形内角和计算 1．如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是__________边形． 3．小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 题型9.复杂图形内角和计算 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，的度数为___________． 3．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 题型10.多边形外角和计算与实际应用 1．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 2．如图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则_____． 3．求下列图中x的值． 题型11.多边形内角和与外角和综合 1．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 2．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 3．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的每个内角度数与边数n． 题型12.平面镶嵌问题 1．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（     ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 2．公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，如图是拼铺图案的一部分，如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于______． 3．阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．对于n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，根据多边形内角和度数，可求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下： 正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 正多边形内角的度数 任务一：探究同一种正多边形的密铺． (1)问题①：如图，通过拼图发现用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是_______； A．内角都是整十数度数        B．边数都是3的整数倍 C．内角整除        D．内角整除 (2)问题②：除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形_______． (3)问题③：你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究多种正n多边形的密铺． (4)问题④：已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围密铺，A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．试分别确定A，B是什么正多边形； (5)问题⑤：用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是_______ 题型13.等腰三角形性质与判定综合 1．如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 3．如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 题型14.等腰三角形作图与计数问题 1．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是__________． 3．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 题型15.等边三角形性质与判定应用 1．如图，点在内，与关于对称，与关于对称，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 3．【问题情境】如图，在中，，是的中点，点，分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）在；是的高线；既是的角平分线又是的高线，能使为等边三角形的条件是___________； （3）已知的周长为，，若与全等，求出的长（用含，的式子表示）； 【拓展探究】 （4）当点，分别在射线，射线上（不与点，重合），且满足时，若，，直接写出的度数． 题型16.含30°角直角三角形性质应用 1．如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，D、E分别在边上，，连接交于点F，过点A作，交延长线于点G，若，，则的长度为________． 3．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 题型17.反证法证明命题 1．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 3．用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 题型18.三角形与多边形角度综合题 1．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，若，则_______ 度；将图1纸带继续沿折叠成图2，则_______ 度． 3．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若的周长为12，的周长为4，求的长． 题型19.特殊三角形综合证明计算题 1．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2．如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 3．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 分层精练 一、单选题 1．若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 2．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 3．如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在射线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中，正确的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是______． 8．若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 9．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 10．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 三、解答题 11．一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和． 12．如图，在和中，延长交于．，，． (1)求证：． (2)若，，求和． 13．如图，在四边形中，，与互为补角，点在上，将沿折叠，得到．若，平分， (1)求的度数， (2)求的度数． 14．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理、等腰三角形专项训练 题型梳理归纳 题型1.三角形内角和定理的证明 题型2.三角形内角和定理应用 题型3.三角形外角性质及应用 题型4.多边形与正多边形概念辨析 题型5.多边形边数问题 题型6.多边形周长与面积计算 题型7.多边形对角线相关计算 题型8.多边形内角和计算 题型9.复杂图形内角和计算 题型10.多边形外角和计算与实际应用 题型11.多边形内角和与外角和综合 题型12.平面镶嵌问题 题型13.等腰三角形性质与判定综合 题型14.等腰三角形作图与计数问题 题型15.等边三角形性质与判定应用 题型16.含30°角直角三角形性质应用 题型17.反证法证明命题 题型18.三角形与多边形角度综合题 题型19.特殊三角形综合证明计算题 题型20分层精练14道题 核心题型精讲 题型1.三角形内角和定理的证明 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C. D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 2．如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 【答案】50 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，垂足分别为D、F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行进行解答即可； （2）先推导出，可得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ． 题型2.三角形内角和定理应用 1．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和为代入已知角度求解即可． 【详解】解：在中，，，则． 2．如图，在中，，平分，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义得，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又，且， ∴． 3．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠得出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，即可求解； （2）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，推得，故，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，交于点，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，，推得，即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， 在中，， 即； （2）解：， 理由：根据折叠的性质可得，，， ∵， 故， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 理由：根据折叠的性质可得， 交于点，如图： 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 题型3.三角形外角性质及应用 1．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 2．如图，已知，，，则___________度． 【答案】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得，再根据外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ． ， ． 3．已知，、交于，． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，若，平分，求的值； (3)如图3，若，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由三角形的外角定理求解即可； （2）由，，平分可得，再根据可得，由此求解的值即可； （3）设，，根据，平分，平分和三角形的内角和定理以及等量代换可得，从而有，由，可得，再次运用三角形内角和定理可得出，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， 则的值为； （2）解：， ， ，平分， ， ， ， ， ， 则的值为0； （3），证明如下： 如图： 设，， ，平分，平分， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ． 题型4.多边形与正多边形概念辨析 1．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：A． 2．从n边形一个顶点出发，可以引__________条对角线，它们将此n边形分为__________个三角形，所以n边形内角和为__________． 【答案】 【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．根据多边形内角和定理，可得n边形内角和． 【详解】解：从n边形的一个顶点出发可以引（n−3）条对角线，它们将n边形分成（n−2）个三角形，这些三角形的内角和等于多边形内角和即n边形内角和为． 故答案为：①，②，③． 【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n−3）条对角线，一共有 条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n−2）个三角形．这些规律需要学生牢记．同时考查了多边形内角和定理． 3．如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)，理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 题型5.多边形边数问题 1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 题型6.多边形周长与面积计算 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 2．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是_______． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可．解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， 该六边形的周长比原五边形的周长小， ①的说法错误，②的说法正确； 多边形的外角和与边数无关，都是， ③的说法错误； 五边形的边数增加了1， 根据多边形内角和定理可知内角和增加了， ④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故答案为：②④． 3．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 题型7.多边形对角线相关计算 1．下列说法错误的个数是（    ） ①对于边形一个顶点的对角线有条 ②以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作三个平行四边形 ③每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 ④过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是七边形 A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】只需逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数即可得到结果． 【详解】解：① 对于任意边形，过一个顶点，除去自身和相邻两个顶点，剩余可连接对角线的顶点数为，因此过一个顶点的对角线条数为，不是，故①错误； ② 不共线三点可构成一个三角形，分别以三角形的三条边作为平行四边形的对角线，可作出个不同的平行四边形，故②正确； ③ 正多边形的定义就是各边相等且各内角相等的多边形，该说法符合定义，故③正确； ④ 过边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，令，解得，因此这个多边形是七边形，故④正确； 综上，错误的说法共个， 故选：A． 2．一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 【答案】十一 【分析】从n边形的一个顶点出发有条对角线，根据题意列方程即可求解多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形是十一边形． 3．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【详解】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． 题型8.多边形内角和计算 1．如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是__________边形． 【答案】十三/13 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则0<x<180， 则， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． 又∵n为正整数， ∴． 故答案是：十三． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0，并且小于180°． 3．小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】13或14或15 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为14， 则多边形的边数是13或14或15． 题型9.复杂图形内角和计算 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型10.多边形外角和计算与实际应用 1．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 2．如图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则_____． 【答案】/360度 【分析】观察图形可知，，，，，恰好是五边形的五个外角，根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：由图可知，，，，，是五边形的五个外角， 由多边形的外角和定理，任意多边形的外角和等于， ∴． 3．求下列图中x的值． 【答案】图1中x的值为95，图2中x的值为60 【分析】根据五边形内角和与四边形外角和列方程求解即可． 【详解】在图1中，由五边形内角和可知， 解得：， 在图2中，由四边形外角和可知：， 解得：， 答：图1中x的值为95，图2中x的值为60． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记公式是解题的关键． 题型11.多边形内角和与外角和综合 1．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 【答案】A 【分析】根据边形内角和公式为，任意多边形外角和恒为是解题关键，计算边数增加1后内角和的变化即可判断选项． 【详解】解：设原多边形为边形， 边形内角和为，边数增加后变为边形， 新多边形内角和为， 内角和增加的度数为， 故A选项正确； 又任意多边形的外角和恒为，边数增加时外角和不变， B、C、D选项错误． 2．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7/七 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 3．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的每个内角度数与边数n． 【答案】每个内角度数为，边数 【分析】根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 每个内角度数为（度）． 题型12.平面镶嵌问题 1．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（     ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】密铺的核心条件是围绕一点拼接的多边形内角和恰好等于，即正多边形的单个内角度数能整除时，才可单独密铺，计算各选项内角度数即可判断． 【详解】解：A. 正三角形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； B. 正四边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； C. 正六边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； D. 正八边形每个内角为 ， ，不是整数，不能整除， 不能单独密铺，符合题意． 2．公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，如图是拼铺图案的一部分，如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于______． 【答案】/120度 【分析】由图中可以看出，这3个内角放在同一顶点处，可组成一个周角，由此即可求出答案． 【详解】解：因为3个内角放在同一顶点处，组成一个周角， 所以每个内角为：． 3．阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．对于n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，根据多边形内角和度数，可求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下： 正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 正多边形内角的度数 任务一：探究同一种正多边形的密铺． (1)问题①：如图，通过拼图发现用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是_______； A．内角都是整十数度数        B．边数都是3的整数倍 C．内角整除        D．内角整除 (2)问题②：除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形_______． (3)问题③：你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究多种正n多边形的密铺． (4)问题④：已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围密铺，A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．试分别确定A，B是什么正多边形； (5)问题⑤：用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是_______ 【答案】(1)C (2)正六边形 (3)不可以，理由见解析 (4)正多边形是正四边形，正多边形是正三角形 (5) 【分析】（1）平面密铺要求拼接点处所有内角和恰好为，据此解答即可； （2）结合（1）的结论，根据正六边形每个内角的度数解答即可； （3）正五边形每个内角的度数为，不能整除，由此即可得； （4）设正多边形每个内角的度数为，则正多边形每个内角的度数为，建立方程，解方程即可； （5）根据平面密铺要求拼接点处所有内角和恰好为列式化简即可． 【详解】（1）解：∵平面密铺要求拼接点处所有内角和恰好为， ∴用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是：内角整除． （2）解：∵正六边形每个内角的度数为，且， ∴正六边形可以进行平面密铺． （3）解：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形每个内角的度数为，不能整除， ∴若干个正五边形的内角无法在拼接点恰好凑成，会出现空隙或重叠，即正五边形不能进行密铺． （4）解：设正多边形每个内角的度数为，则正多边形每个内角的度数为， 由题意得：， 解得， ∴， ∴由材料中的表格数据可知，正多边形是正四边形，正多边形是正三角形． （5）解：∵正三角形每个内角的度数为，正六边形每个内角的度数为， ∴， ∴． 题型13.等腰三角形性质与判定综合 1．如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，可得是等腰三角形，，再由，可得，即是等腰三角形，最后根据平分，，可得是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中有3个等腰三角形． 2．在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 【答案】22 【分析】利用平行和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，所以的周长即为，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴ ， 即的周长为22， 3．如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）由三角形内角和可得，然后根据（1）可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：． 题型14.等腰三角形作图与计数问题 1．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 2．如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查了概率的运算，等腰三角形的判定，熟悉掌握概率的运算方法是解题的关键． 根据等腰三角形的判定方法找出所有的点位置，即可运算概率． 【详解】解：由题意可得：点的位置如图标注数字所示： ∵不包含，两点的网格点的总数为， 恰好能使构成等腰三角形的概率是：； 故答案为：． 3．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)7 【分析】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案． 【详解】（1）如图所示：和即为所求, （2）(2)如上图所示：作的对称点，连接和与轴的交点即可，点即为所求； （3）如图所示：即为所求，共个点 故答案为. 【点睛】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键． 题型15.等边三角形性质与判定应用 1．如图，点在内，与关于对称，与关于对称，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对称性判断角与边的关系，得出是等边三角形，即可确定的度数． 【详解】解：∵与关于对称，与关于对称， ， 又， ， 是等边三角形， ， ． 2．如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 3．【问题情境】如图，在中，，是的中点，点，分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）在；是的高线；既是的角平分线又是的高线，能使为等边三角形的条件是___________； （3）已知的周长为，，若与全等，求出的长（用含，的式子表示）； 【拓展探究】 （4）当点，分别在射线，射线上（不与点，重合），且满足时，若，，直接写出的度数． 【答案】（）；（）；（）的长为 或；（）的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等腰三角形性质可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定方法即可求解； （）分当时，当时，两种情况求解即可； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时，两种情况求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴是等边三角形，符合题意； 如图， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形，符合题意； 如图， 由既是的角平分线又是的高线，不能证明为等边三角形，不符合题意； 故答案为：； （）∵的周长为，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴， ∴， 综上可得：的长为 或； （）∵，， ∴， 如图，当在线段上时， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在线段延长线上时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 综上可得：的度数为或． 题型16.含30°角直角三角形性质应用 1．如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、是等边三角形， ， ， ，， ，， ， ，，， 以此类推，的边长为， 的边长为， 故选：D． 2．如图，在等边中，D、E分别在边上，，连接交于点F，过点A作，交延长线于点G，若，，则的长度为________． 【答案】5 【分析】证明，得到，，求出，根据得到，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 3．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中，， ； （2）解：由（1）可知：， ，， ，， ， 又， ， ， ． 题型17.反证法证明命题 1．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例．根据反证法，可证明①②③正确． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法②正确； ③若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法③正确． 故选：D． 2．用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 【答案】，同位角相等，两直线平行，；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据反证法证明的基本思路，平行线的判定和性质，求解即可． 【详解】解：证明：假设，过点M作直线，使得， 根据同位角相等，两直线平行，可得到， 又因为，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾， 故假设不成立，所以． 3．用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 题型18.三角形与多边形角度综合题 1．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得，再由平角的定义得，再根据三角形内角和定理得，代入即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 则． 2．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，若，则_______ 度；将图1纸带继续沿折叠成图2，则_______ 度． 【答案】 35 75 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出即可； （2）由对顶角相等求得，由折叠的性质得，利用平行线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图1， ， ，， 又， ， 又， ， 又， ， ； （2）如图2， ∵， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若的周长为12，的周长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数； （3）根据题意可知，，根据折叠的性质得到，，进而得到，求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ∴； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ； （3）解：∵的周长为12，的周长为4， ∴，， ∵将沿直线折叠后，点C落到点E处， ∴，， ∴即， 解得：． 题型19.特殊三角形综合证明计算题 1．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证，由此可得阴影部分的面积为等边三角形的面积． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积的变化情况是一直不变 ． 2．如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】6 【分析】连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为线段上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为，即线段的最小值为． 3．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 分层精练 一、单选题 1．若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【答案】A 【分析】根据n边形中从一个顶点出发引出条对角线解答即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线， ∴由题意得， 解得， ∴这个多边形是十二边形． 2．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 3．如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，根据对顶角的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴． 4．下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】∵不含90°内角的菱形四边都相等，但其不是正四边形， ∴①不正确； ∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角， ∴②正确； ∵三角形的角平分线是线段， ∴③不正确； ∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点， ∴④不正确． ∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线， ∴⑤正确； ∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴⑥正确； 综上，可得正确的命题有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 6．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在射线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中，正确的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤，共4个． 二、填空题 7．一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是______． 【答案】8/八 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n， 则 ∵n为正整数， ∴当n=8，去掉的角的度数为， ∴多边形的边数为8， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0度，并且小于180度． 8．若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的内角与外角的关系以及多边形外角和定理，设该正多边形的每个外角为，可得方程，再根据多边形外角和为，计算得到正多边形的边数． 【详解】设该正多边形的每个外角为，则每个内角为. 由邻补角的性质，可得 解得 因为任意多边形的外角和为， 所以该正多边形的边数． 9．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 【答案】288 【分析】首先根据邻补角的性质求出 的外角，然后利用多边形的外角和定理，用减去 的外角，即可得到 的度数． 【详解】解：∵， ∴ 的外角为， ∵ 五边形的外角和为 ， ∴． 10．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 三、解答题 11．一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和． 【答案】该正多边形边数为8，内角和为. 【分析】先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数，再根据多边形内角和定理求出内角和即可． 【详解】解：设多边形的每个外角的度数为，则内角为， ， 解得， 即这个多边形的边数是：． 这个多边形的内角和是：． 12．如图，在和中，延长交于．，，． (1)求证：． (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由可得，根据即可求证； （2）由（1）可知，，根据全等三角形的性质可得，再由，可求出，最后由对顶角相等可证得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）如图： 由（1）可知，， ， ，， ， ， ． 13．如图，在四边形中，，与互为补角，点在上，将沿折叠，得到．若，平分， (1)求的度数， (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补角的定义求出的度数，再由角平分线的定义和折叠的性质可得，据此可得答案； （2）由平行线的性质求出的度数，则由折叠的性质可得的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据四边形内角和为360度可得答案． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，与互为补角， ∴， ∵平分， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 14．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】(1)；理由见解析 (2)小丽距地面的高为 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $