8.6.2 直线与平面垂直-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

EH,FH. 因为E是AB的中点，且AD=2, 图1 图2 8.6空间直线、平面的垂直 R C 8.6.1直线与直线垂直 所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥ BC,FH=1. 核心素养达标·夯实基础 所以∠EHF(或其补角)是异面直线 1.D2.C3.B4.D5.A6.ABD AD,BC所成的角. 7,90°8.19.90°10. 因为EF=√2，所以EH2十FH=EF, 6 所以△EFH是等腰直角三角形，EF是 11.(1)解：如图所示，连接AC,AB1. 斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成 的角是90°， 所以AD⊥BC. 核心素养培优·拓展提升 1.A2.D3.A4.C5.D6.90 由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体 7.解：(1)由题意，得V=π·OA2·AA1= 知，四边形AA1C1C为平行四边形， 4π·AA1=12π，解得AA1=3. ∴.AC∥AC1,故B,C与AC所成的角 由OA=2,∠AOP=120°，得∠BAP= 就是A1C1与B1C所成的角 30°，BP=2,AP=2√5， 在△AB1C中，由AB1=AC=B1C,可 知∠B1CA=60°， S8w=合×2X2V5=2V5, 即A1C1与B1C所成的角为60°. .三棱锥A1-APB的体积VA,APB (2)证明：如图所示，连接BD.由(1)知 AC∥A1C1, 35aB·AA:=}×23X3=2V5. (2)当，点M为AP的中，点时，异面直线 D OM与A1B所成的角的余孩值为号 证明如下： ,O,M分别为AB,AP的中点， .OM∥BP, AC与EF所成的角就是A1C1与EF ∠A1BP就是异面直线OM与A1B所 所成的角. 成的角 .EF是△ABD的中位线， AA1=3,AB=4,AA1⊥AB, ∴.EF∥BD. .AB=5. 又，AC⊥BD,∴.AC⊥EF, P在⊙O上，AB是⊙O的直径， .AC1与EF所成的角为90°，即EF⊥ AP⊥BP A1C1. AA1⊥平面PAB, 12.证明：如图所示，取BD的中点H,连接 177 .AA1⊥BP.又AP∩AA1=A, 利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂 ∴.BP⊥平面PAA1, 规 直的步骤： 又A1PC平面PAA1,∴.BP⊥A1P, 律 (1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和 cOs∠A1BP=BP=2 总 这两条直线垂直； A1B5’ 结 (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； .当点M为AP的中点时，异面直线 (3)根据判定定理得出结论. OM与A,B所成的角的余弦值为导。 12.(1)证明：连接C0, 8.(1)证明：M,N,P,Q分别为CD,BE, 由3AD=DB知，点 AE,AD的中点， D为AO的中点. 又因为AB为圆O A ∴.PQ为△ADE的中位线，MN为梯形 BCDE的中位线， 的直径， ∴.PQ∥DE,MN∥DE, 所以AC⊥CB. .PQ∥MN, 由√3AC=BC知，∠CAB=60°， .P,Q,M,N四点共面」 所以△ACO为等边三角形.故CD⊥ (2)解：由题意得，PN∥AB,BC∥DE, AO. .∠ABC(或其补角)为异面直线DE与 因为点P在圆O所在平面上的正投影 PN所成角. 为点D, .AC⊥DE, 所以PD⊥平面ABC, 又因为CD二平面ABC,所以PD .AC⊥BC. CD, 在Rt△ABC中，tan∠ABC= =3, BC 由PDC平面PAB,AOC平面PAB, .∠ABC=60°， 且PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB. 即异面直线DE与PN所成角的大小为60°. (2)解：由(1)知∠CPD是直线PC与 平面PAB所成的角， 8.6.2直线与平面垂直 又因为△AOC是边长为2的正三角 核心素养达标·夯实基础 形，所以CD=√5. 1.C2.B3.C4.B5.A6.ACD 在Rt△PCD中，PD=DB=3,CD=√3， 7.①@④8.609810.5晋 所以nCPD品9，∠CPD-0, 11.证明：（1)因为SA=SC,D是AC的 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 中点， 1,求线面角的步骤及技巧： 所以SD⊥AC (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线： 在Rt△ABC中，AD=BD,又SA= (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的 SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS 射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即 (SSS),所以SD⊥BD. 规 为所求的角； 又因为AC∩BD=D,所以SD⊥平面 律 (3)把该角归结在某个三角形中，通过解 总 三角形，求出该角. ABC. 多 2.求线面角的技巧： (2)因为AB=BC,D为AC的中点，所 在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜 以BD⊥AC. 线在平面内的射影是作角的关键，几何图 由(1)知SD⊥BD,又因为SD∩AC 形的特征是找射影的依据，射影一般都是 D,所以BD⊥平面SAC. 一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等 178 核心素养培优·拓展提升 1.B2.D3.A4.1或2 5.证明：(1)设BD与AC交于点F,连接 EF, 因为底面ABCD是正方形，所以F为 BD的中点， 又因为E为SD的中点，所以EF∥SB, 因为SB中平面ACE,EFC平面ACE, 所以SB∥平面ACE. (2)因为底面ABCD是正方形，所以 AC⊥BD, 又因为SA⊥平面ABCD,BDC平面 ABCD,所以SA⊥BD, 又AC∩SA=A,AC,SAC平面SAC, 所以BD⊥平面SAC, 因为SCC平面SAC,所以SC⊥BD. 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理。 规 律总 (3)如果两条平行直线中的一条直线垂直 于一个平面，那么另一条直线也垂直于这 个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， 、 6.解：(1)存在点M,且点M为AE的中点 时，有MO∥平面CDE. 证明如下：当点M为AE的中点时，由 于O为正方形ABCD的中心， .OM为△AEC的中位线，∴.OM∥CE. 又，OM寸平面CDE,CEC平面CDE, .OM∥平面CDE. (2)连接EO.,四边形ABCD是正方 形，∴.BD⊥AC, AF⊥平面ABCD,DE∥AF,.DE⊥AC 又，BD∩DE=D, AC⊥平面BDE, ∴∠CEO为EC与平面BDE所成的角. ∴.平面AEC⊥平面PDB. 由已知可得，EC=22,CO=√2， (2)解：设AC∩BD=O,连接OE. sin∠CE0Eg0-,∠CE0=30 由(1)知AC⊥平面PDB于O. .∠AEO为AE与平面PDB所成 即直线EC与平面BDE所成的角为 的角. 30°. O,E分别为DB,PB的中点， 8.6.3平面与平面垂直 OE∥PD,OE=PD, 核心素养达标·夯实基础 又，PD⊥底面ABCD, 1.C2.B3.A4.A5.C6.D ∴.OE底面ABCD,OE IAO. 7.①③8.79.60°10.①（或③） 11.证明：因为MA⊥平面 在R△A0E中，0E=合PD=号AB ABCD,ACC平面 AO, ABCD,则MA⊥AC, .∠AEO=45°，即AE与平面PDB所 取BC中点Q,连接 成的角的大小为45° AQ,因为AD∥BC, 6.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD, BC=2,AD=1,则CQ=AD=1,且 所以PA⊥BD CQ∥AD,可知四边形ADCQ为平行四 又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥ 边形.又因为CD⊥AD,AD=DC=1, AC. 可知四边形ADCQ为正方形，则AQ= 所以BD平面PAC BQ=1,AQ⊥BC,所以△ABQ为等腰 (2)证明：因为PA⊥平面ABCD,AEC 直角三角形，故∠BAQ=∠CAQ=45°， 平面ABCD, ∠BAC=90°，即AB⊥AC,又MA∩ 所以PA⊥AE. AB=A,MA,ABC平面MAB,可得 因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°， AC⊥平面MAB,因为ACC平面 且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以 NAC,所以平面NAC⊥平面MAB. AB⊥AE. 12.解：如图，连接BC. 所以AE⊥平面PAB. 因为BD⊥AB,直 所以平面PAB⊥平面PAE. 线AB是两个互相 (3)解：棱PB上存在点F,使得CF∥平 面PAE. 垂直的平面a和B 证明如下：取F为PB的中点，取G为 的交线，所以BD⊥a.因为BCCa,所以 PA的中点，连接CF,FG,EG. BD⊥BC.所以△CBD是直角三角形 在Rt△BAC中，BC=W32+4=5.在 则FG∥AB,且FG=2AB 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的 Rt△CBD中，CD=√52+122=13.所 中点， 以CD长为13. 核心素养培优·拓展提升 所以CE∥AB,且CE=2AB. 1.A2.D3.ABD4.60° 所以FG∥CE,且FG=CE. 5.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， 所以四边形CEGF为平行四边形.所以 AC⊥BD.,PD⊥底面ABCD, CF∥EG. ∴PD⊥AC.ACL平面PDB. 因为CF中平面PAE,EGC平面PAE, 179 所以CF∥平面PAE. 6, 所以V3a2h=a ,解得h= 3a, 所以三棱维A1-AB,D,的高为 3a. 专题集训突破练 专题2空间中的平行关系 例2证明：(1)取BD1的中点O,连接 专题1空间几何体的表面积与体积 GO,OB.图略 例1解：由题意，知S1=2π×2a×√3a十 2πX(2a)2=(4√3+8)πa2,易得挖去圆 易0c/BC,0G=B,C. 锥的母线长为2a,则 又BE/B,C,且BE=2B,C, S2=S1+πa·√(W3a)2+a2-πa2= 所以OG∥BE,且OG=BE, (4√3+9)πa,所以S1:S2=(4√3+ 所以四边形BEGO为平行四边形， 8):(4W3+9). 所以OB∥GE. 又因为OBC平面BB1D1D,GE￠平面 空间几何体的体积与表面积的计算方法. (1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它 BBDD, 的每一个面都可作为底面来处理，恰当地 所以GE∥平面BB1D1D. 进行换底等积变换便于问题的求解. (2)由正方体的性质得B1D1∥BD. (2)割补法：像求平面图形的面积一样，割 因为BD1￠平面BDF,BDC平面 补法是求几何体体积的一个重要方法， BDF, “割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、 所以BD1∥平面BDF. 锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补 连接HB,D1F. 形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补 名 法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为 易证四边形HBFD1是平行四边形， 熟悉的几何体来解决问题。 所以HD1∥BF. (3)展开法：将筒单的几何体沿一条侧棱或 又因为HD1亡平面BDF,BFC平面 母线展开成平面图形，这样便于将空间问 BDF, 题转化为平面问题，可以有效地解决简单 所以HD∥平面BDF. 空间几何体的表面积问题或侧面上（球除 因为B1D1∩HD1=D1,B1D1C平面 外)两点间的距离问题. (4)构造法：当探究某些几何体性质较困难 B1D1H,HD1C平面B1D1H, 时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何 所以平面BDF∥平面BD1H. 体中，如正方体等这些对称性比较好的几 (1)判断线面平行的两种常用方法： 何体，以此来研究所求几何体的性质. ①利用线面平行的判定定理， 跟踪训练1 ②利用面面平行的性质，即当两平面平行 解：设三棱锥A1-AB1D1的 名 时，其中一平面内的任一直线平行于另一 高为h, 点 平面. 则VAAB,D,= X(√2a)2= (2)判断面面平行的常用方法： 4 ①利用面面平行的判定定理. √5a2h ②利用线面垂直的性质定理(L⊥α，l⊥B→ 6 a∥) 2a= 又V4a=V4=aX 跟踪训练2证明：当F是PB的中点时， 180 平面AFC∥平面PMD. 证明如下：连接BD交AC于点O,连接FO 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是BD的中点. 因为F是PB的中点，所以OF∥PD. 又OF吐平面PMD,PDC二平面PMD, 所以OF∥平面PMD. 又MA∥PB,MA=2PB, 所以PF∥MA,且PF=MA, 所以四边形AFPM是平行四边形， 所以AF∥PM. 又AF平面PMD,PMC平面PMD, 所以AF∥平面PMD. 又AF∩OF=F,AFC平面AFC,OFC 平面AFC,所以平面AFC∥平面PMD. 专题3空间中的垂直关系 例3证明：(1)设BC的中点为M,连接 B M. 因为点B1在底面ABC上的射影恰好是 点M, 所以BM⊥平面ABC. 因为ACC平面ABC,所以B1M⊥AC. 因为BC⊥AC,BM∩BC=M,BCC平 面BC1CB,B1MC平面B1C1CB, 所以AC⊥平面B1C1CB. 又因为ACC平面ACC1A1, 所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB. (2)连接B1C. 因为AC⊥平面B1CCB,BCC平面 BC CB, 所以AC⊥BC1. 在斜三棱柱ABCA1B1C中， 因为BC=AA1=CC1, 所以四边形B1C1CB是菱形， 所以B1C⊥BC1. 又因为B1C∩AC=C,B1CC平面 ACB1,ACC平面ACB1,所以BC1⊥平 面ACB1. 因为AB1C平面ACB1,所以BC1⊥ AB1.、第八章立体几何初步 8.6.2直线与平面垂直 素养目标 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义； 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能够应用该定理解决线面的垂直问题； 3.了解直线与平面所成角的定义，并知道其求法； 4.培养学生逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养 核心素养达标夯实基础 一、选择题 5.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜 1.直线a与平面a斜交，那么在a内与a垂直 线，斜足分别为A,B,C,如果这些斜线与平 的直线( 面成等角，有如下结论： A.没有 ①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的 B.有一条 内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是 C.有无数条 △ABC的垂心. D.有n条(n为大于1的整数) 其中正确结论的个数是( ) 2.已知直线a,b和平面a,若a∥a,则“b⊥a”是 A.1 B.2 C.3 D.4 “b⊥a”的()条件， 6.（多选)如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中， A.充分不必要 线段BD'上有两个动点E,F,若线段EF长 B.必要不充分 度为一定值，则下列结论中正确的有() C.充分必要 D.既不充分又不必要 3.已知a,b是空间内两条不同的直线，a,β，y 是空间内三个不同的平面，则下列说法正确 的是() A.若a⊥B,aa,则a⊥B A.AC⊥BE B.若a⊥B,a⊥B,则a∥a B.BD⊥平面ABE C.若a∩B=a,a⊥Y,B⊥Y,则a⊥ C.EF∥平面ABCD D.若a⊥3，a∩B=a,b⊥a,则bLa或b⊥B D.三棱锥BAEF的体积为定值 4.已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2， 二、填空题 G为线段B1D上的动点，则点B到平面 7.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角 GAD距离的最小值为() 形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径； A.1 B.√2 ④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂 C.√3 D.2 直的是 (填序号) 72数学· 课时夯基过关练 8.若斜线段AB是它在平面α上射影长的2 (1)求证：SD⊥平面ABC; 倍，则AB与平面α所成的角的大小 (2)若AB=BC,求证：BD⊥平面SAC. 为 9.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作 △ABC所在平面a的垂线AP,连接PB, PC,过A作AD⊥BC于D,连接PD,那么 图中直角三角形的个数是 12.如图所示，已知AB为圆O的直径，且 AB=4,点D为线段AB上一点，且AD= 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1CD1中， 3DB,点C为圆O上一点，且BC=V3A( 直线AB与直线AC所成角的大小为 ;直线A1B和平面A1B1CD所 点P在圆O所在平面上的正投影为点D, 成角的大小为 PD-DB (1)求证：CD⊥平面PAB; (2)求直线PC与平面PAB所成的角. 三、解答题 11.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，D 是AC的中点，S是△ABC所在平面外一 点，且SA=SB=SC. 核心素养培优拓展提升 1.如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是 BC,CD的中点，G是EF的中点，现在沿 AE,AF,EF把这个正方形折成一个空间图 形，使B,C,D三点重合，重合后的点记为 H,则在这个空间图形中必有() A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF …数学· 73 、第八章立体几何初步 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 6.如图，在多面体EFABCD中，底面正方形 M,N分别是BB1,AB1的中点，点P在正 ABCD的两条对角线AC与BD相交于点 方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的 O,且AF⊥平面ABCD,DE∥AF,AB= 点P所形成图形的周长是( ) DE=2,AF=1. D (1)在AE上是否存在一点M,使OM∥平 面CDE?若存在，试确定点M的位置，若不 存在，请说明理由； (2)求直线EC与平面BDE所成的角. A.4 B.2+√2C.3+√3D.2+5 3.如果P是等边△ABC所在平面外一点，且 PA=PB=PC=号，△ABC边长为1，那么 PA与底面ABC所成的角是( ) A.30°B.45° C.60° D.90° 4.如图，在三棱柱ABCA1BC中，侧棱AA1⊥底 面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰三角 形，AC=2,BB=3,D是AC的中点，点F在 线段AA1上，当AF= 时，CF⊥平 面BDF 5.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，E 为SD的中点， (1)证明：SB∥平面ACE; (2)若SA⊥平面ABCD,证明：SC⊥BD, 74 ·数学·