期末培优：空间几何体的表面积、空间几何体的体积 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何体表面积与体积，通过典型例题与变式题，系统覆盖柱锥台球及组合体的计算，突出外接球、二面角等综合几何关系应用，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体的表面积|7例+7变式|结合二面角、外接球、旋转体等，考查公式应用与几何关系转化|从基本几何体到组合体，由公式直接应用到结合位置关系的推理计算，形成递进逻辑| |空间几何体的体积|7例+7变式|涉及组合体体积、体积比、最值问题，强调空间分割与体积公式综合运用|从单一几何体体积到复杂几何体体积比及最值，渗透转化与化归思想，深化空间想象|

期末培优：空间几何体的表面积、空间几何体的体积专项训练 期末培优：空间几何体的表面积、空间几何体的体积专项训练 考点目录 空间几何体的表面积 空间几何体的体积 考点一 空间几何体的表面积 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图象，取AB中点为C，连接OC，即为二面角的平面角，为60°，根据几何关系求出OB和PB即可求圆锥的侧面积. 【详解】如图， 作，则C为中点， ∵PB＝PA，∴， ∴为二面角的平面角， ∴. 在中，，， ∴. 在直角中，，， ∴. 在中，. ∴圆锥的侧面积为. 例2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆台的母线，高，再根据几何体的外接问题求解即可. 【详解】设圆台的上底面的半径为，下底面半径为，母线长为，则， 因为圆台的侧面积为， 所以，解得 所以圆台的高为， 设圆台的外接球的半径为，则球心到圆台两底面的距离分别为， 因为圆台外接球的球心可能在上、下底面圆心所连的线段上，也可能在其延长线上 所以或， 方程得，平方整理得，解得， 同理解方程得该方程无解， 所以圆台的外接球的半径为， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 例3．（25-26高一下·江苏泰州·月考）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令正四面体的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比. 【详解】取正四面体各棱中点，如图， 可得平面平面，且，作平面于点，交平面于， 则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6， ，，， 而，因此球的半径， 所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为. 故选：C. 例4．（25-26高三上·江苏南通·期中）某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为，则大约需要___________的材料．若A型材料的价格为200元，根据需求气球半径要增加，则所需费用需增加___________元．（的近似值取3.14） 【答案】 ； 【分析】由球表面积公式结合题意可得答案. 【详解】第一空，因半径为，则需要的材料； 第二空，由题新气球需要的材料有：， 则增加材料有：，则所需费用增加元. 故答案为：；. 例5．（25-26高三上·江苏·期中）已知一个圆柱的底面半径为，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为_______． 【答案】 【分析】先根据圆柱的体积求出圆柱的高，再利用圆柱与球的几何关系求出球的半径，最后根据球的表面积公式计算球的表面积即可. 【详解】设一个圆柱的高为， 一个圆柱的底面半径为，体积为， ，解得， 又该圆柱的底面圆周都在球的球面上， 设球的半径为，则， 故球的表面积为. 故答案为：. 例6．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 例7．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）（1）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．若E，F分别是PD和BC的中点，求证：平面PAB； （2）如图，在四边形ABCD中，，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）取的中点，连接，.根据点，分别是和的中点可得 ，且，进而可证四边形为平行四边形，故.利用线面平行的判定定理即可证明； （2）根据四边形绕旋转一周所成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥，根据圆锥和圆台的表面积及体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示. 在四棱锥中， ∵点，分别是和的中点，∴，且. 又∵点是的中点，∴. ∵底面为平行四边形，∴，且. ∴，且，∴四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. （2）由题意可知四边形绕直线旋转一周所成几何体如图： 该几何体是一个圆台挖去一个圆锥，设圆台上底面圆心为，连接与， ∵，，∴，， ∴该几何体是一个上底半径为，下底半径为，高为的圆台挖去一个底面半径为，高为的圆锥， 设其表面积为，则， ∴所求表面积为. 变式1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出圆锥的母线长和底面半径，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由， 设圆锥的底面半径为，则， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 变式2．（25-26高一下·江苏南京·月考）一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥侧面积公式及扇形圆心角公式即可求解. 【详解】设母线长为，底面半径为， ∴底面周长，底面面积，侧面面积， ∵侧面积是底面积的3倍，. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 【答案】C 【分析】设它们底面圆半径为，母线长为，计算其表面积后可得比例关系. 【详解】设它们底面圆半径为，母线长为， 记圆柱的表面积为，则， 记圆锥的表面积为，则， 所以圆柱与圆锥表面积之比. 故选：C 变式4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）一个正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则该正三棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】 【详解】由题设，正三棱柱底面正三角形的边长为2，则其外接圆半径， 正三棱柱的侧棱长为3，若正三棱柱的外接球的半径为，则， 所以其表面积为. 变式5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 变式6．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 变式7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示． (1)该山的高度为多少千米？ (2)已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度； （2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可. 【详解】（1）由题意可知， ∴，在中，由正弦定理，， 所以，即， 又∵N点观测A时仰角的正切值为，， 所以该山的高度为千米． （2）设的外接圆为圆O，∵，， 又由题意可知，所以， 所以， 所以， 所以根据圆的性质，，，M，N四点共圆， 在中，由正弦定理圆O直径为， 在中，由正弦定理， 延长与圆台交于C点，由题意下底面圆半径为km， 圆台的母线长BC可在直角中由勾股定理得： ． 圆台的侧面积， 圆台的上底面面积， 所以侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米． 考点二 空间几何体的体积 例1．（2026·江苏泰州·模拟预测）正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】剩余几何体体积等于正六棱柱体积减去挖去的正六棱锥体积，分别计算体积相减即得. 【详解】因正六棱柱的底面正六边形是由6个边长为6的全等正三角形组成， 故其面积为，其体积为， 挖去的正六棱锥底面与棱柱下底面重合，高等于棱柱的高4， 故其体积为， 故剩余几何体的体积. 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 例3．（25-26高一下·江苏·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线长为2，圆台的高为，该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 圆台的轴截面是等腰梯形，设圆台上底半径为，下底半径为，母线长，高， 根据轴截面周长列方程： ， 圆台的高满足，代入得 ， 化简得：， 联立，解得， 则圆台体积公式. 例4．（2026·江苏镇江·模拟预测）圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 【答案】 【分析】首先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图，   ，过作的垂线，垂足为，则， 由勾股定理知，即圆台的高为3， 所以圆台的体积为， 故答案为：. 例5．（25-26高三上·江苏徐州·期中）一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理求出上、下底面外接圆的半径，设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为，利用勾股定理得到，即可得到，再由基本不等式求出，最后由体积公式计算可得. 【详解】因为正三棱台的上､下底面边长分别为1和2， 所以上底面外接圆的半径， 下底面外接圆的半径， 设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为， 则，则， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以外接球体积的最小值为. 故答案为： 例6．（24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，有一长方体密封容器用于装水，底面为边长为2的正方形，高为4，因不慎在顶点和棱的中点，处各破损了一个小孔（小孔大小和容器厚度忽略不计）.若该容器可以任意放置，则该容器可装水的最大体积为________.    【答案】12 【分析】根据平面确定定理，三点共面，正方体被平面截成两部分，由此求出较大一部分体积；截面过时，设与交于点，与相交于，通过计算三棱台的最小值即可确定该容器可装水的最大体积. 【详解】连接，    在正方体中，分别是棱的中点， ，又， 所以，即共面， 又平面平面， 所以与相交于一点，即多面体为棱台， ， 则另一部分体积， 此时该容器可装水的最大体积为. 截面过时，设与交于点，与相交于，设，    在长方体中，易得为三棱台，则，即， ， 当，即时取等，此时，另一部分的体积， 此时该容器可装水的最大体积为12. 综上，该容器可装水的最大体积为12. 故答案为：12. 例7．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1） 连接，可证四边形是平行四边形，从而得到，   利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 变式1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 变式2．（2026·江苏南京·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该圆锥的底面半径为，根据轴截面性质求得圆锥的高，进而求得圆锥的体积，由勾股定理求得外接球的半径，进而求得球的体积，即可得解. 【详解】设该圆锥的底面半径为，因为该圆锥的轴截面为直角三角形， 所以该圆锥的高为，则该圆锥的体积． 设球的半径为R，则， 解得，则球的体积为． 所以该圆锥与球的体积之比为. 变式3．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出组合体的轴截面，根据圆台的母线、高和两底面圆的半径差的关系，列出方程，求得，即，化简，结合基本不等式，求得的值，再由圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，画出组合体的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为， 内切球的球心为，圆台的上、下底面圆的半径为， 可得圆台的母线长为，高为， 在直角中，可得，即， 整理得，即，且， 则圆台的上下底面面积分别为，所以， 因为代入得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以圆台的体积为. 故选：B. 变式4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 【答案】/ 【分析】设，则，又，求出，得到对应线段的比，设到底面的距离分别为，得到，进而得到体积. 【详解】如图，假设，连接， 则， 如图，在中，连接，设， 所以， 又， 所以，解得，即，同理， 则，则， 设到底面的距离分别为，则， 又，所以，所以， 所以， 变式5．（25-26高一下·江苏徐州·期中）在直三棱柱中，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】由题意可得该直三棱柱可补形为以、、为棱的长方体，即可计算出该长方体外接球半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】由，结合直三棱柱性质可得、、两两垂直， 故该直三棱柱可补形为以、、为棱的长方体， 该长方体的外接球即为直三棱柱的外接球， 且该长方体的外接球半径， 故该直三棱柱的外接球的表面积为. 变式6．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知在一正方体ABCD-OPQR 中，其顶点A 位于一个平面之内，且其余顶点位于该平面同一侧，已知点O，点C，点B到该平面的距离的平方分别为9，4，1，则该正方体ABCD-OPQR的体积为____. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长与顶点坐标，利用点到平面的距离公式，结合已知距离平方列方程，解方程得出棱长，从而计算正方体体积. 【详解】设正方体棱长为，以为原点， 分别以，，所在直线轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 各顶点坐标为：，，，， 已知平面过，设平面的单位法向量为，满足， 由于其余顶点都在平面同侧，任意点到平面的距离为， 距离的平方为，根据题意：到平面距离平方为： ，记，得， 到平面距离平方为： ，记，得， 到平面距离平方为： ，记，得， 由，两边乘得：， 由于所有顶点都在平面同侧，， 因此：，，得，， 所以：，即， 所以正方体体积. 变式7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知棱长为的正方体中，分别为的中点． (1)求证：四点共面； (2)若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（不需说明理由）； ②求截得的两部分的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2)① 是台体；② 【分析】（1）结合正方体性质可证得，即可得四点共面； （2）①利用棱台定义：上下底面平行且相似、各侧棱延长后交于一点判断即可得；②借助棱台体积公式计算可得几何体体积，再求出正方体体积后作差可得剩余部分体积，即可得截得的两部分的体积之比. 【详解】（1）连接AC，由正方体的性质可知：， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，分别是，的中点，∴，且， ∴，∴四点共面； （2）①几何体是台体，理由如下： 由四点共面，且， 故可延长、使得，则、， 又平面、平面， 且平面平面，故， 故、、三线共点， 由，分别是，的中点， 则，且， 故与相似， 又由正方体性质可得平面平面， 故几何体是台体； ② ， ，， 则， 即两部分的体积比为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：空间几何体的表面积、空间几何体的体积专项训练 期末培优：空间几何体的表面积、空间几何体的体积专项训练 考点目录 空间几何体的表面积 空间几何体的体积 考点一 空间几何体的表面积 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·江苏泰州·月考）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·江苏南通·期中）某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为，则大约需要___________的材料．若A型材料的价格为200元，根据需求气球半径要增加，则所需费用需增加___________元．（的近似值取3.14） 例5．（25-26高三上·江苏·期中）已知一个圆柱的底面半径为，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为_______． 例6．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 例7．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）（1）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．若E，F分别是PD和BC的中点，求证：平面PAB； （2）如图，在四边形ABCD中，，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积． 变式1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·江苏南京·月考）一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角大小为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 变式4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）一个正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则该正三棱柱的外接球的表面积为______. 变式5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 变式6．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 变式7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示． (1)该山的高度为多少千米？ (2)已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？ 考点二 空间几何体的体积 例1．（2026·江苏泰州·模拟预测）正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·江苏·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线长为2，圆台的高为，该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·江苏镇江·模拟预测）圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 例5．（25-26高三上·江苏徐州·期中）一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 例6．（24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，有一长方体密封容器用于装水，底面为边长为2的正方形，高为4，因不慎在顶点和棱的中点，处各破损了一个小孔（小孔大小和容器厚度忽略不计）.若该容器可以任意放置，则该容器可装水的最大体积为________.    例7．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 变式1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·江苏南京·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 变式5．（25-26高一下·江苏徐州·期中）在直三棱柱中，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为__________. 变式6．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知在一正方体ABCD-OPQR 中，其顶点A 位于一个平面之内，且其余顶点位于该平面同一侧，已知点O，点C，点B到该平面的距离的平方分别为9，4，1，则该正方体ABCD-OPQR的体积为____. 变式7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知棱长为的正方体中，分别为的中点． (1)求证：四点共面； (2)若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（不需说明理由）； ②求截得的两部分的体积之比． 2 学科网（北京）股份有限公司 $