期末复习：垂直平分线的性质、角平分线的性质、垂直平分线与角平分线的作图问题专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦垂直平分线与角平分线性质及作图，以"性质理解-应用计算-作图操作"逻辑链串联，覆盖期末高频考点，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直平分线的性质|4例+4变式|选择/填空，结合等腰三角形、周长计算|从线段垂直平分线性质（到两端点距离相等）到三角形中线段转化| |角平分线的性质|4例+4变式|选择/填空，涉及面积计算、最短距离|从角平分线性质（到两边距离相等）到面积关系应用| |作图问题|3例+3变式|尺规作图，含性质综合应用|融合性质与作图原理，体现几何操作中的逻辑推理|

期末复习：垂直平分线的性质、角平分线的性质、垂直平分线与角平分线的作图问题专项训练 期末复习：垂直平分线的性质、角平分线的性质、垂直平分线与角平分线的作图问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 角平分线的性质 垂直平分线与角平分线的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是线段的中垂线．下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识．根据线段垂直平分线的性质得到，，则，即可判断选项． 【详解】解：∵是线段的中垂线． ∴，， ∴， 但无法推出，故选项D不正确， 故选：D. 例2．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：C.． 例3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 例4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，， 的周长， ， ， 故答案为： 变式1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图——基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，，然后根据三角形外角和定理以及内角和定理即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中边的垂直平分线交的平分线于F，若，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，，则，，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 变式4．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 考点二 角平分线的性质 例1．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 例2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 例3．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为：8． 例4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题知，因为平分交于， 所以点到和的距离相等． 因为于点，且， 所以点到和的距离都是， 所以 因为，， 所以 故选：A 变式2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，关键是利用角平分线的性质得到点到和的距离相等，再求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是的平分线，，，则 ________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，通过垂线段相等，构建线段比例之间的关系是解题关键．过点D分别向，作垂线，根据角平分线的性质定理，得到垂线段相等，从而利用垂线段相等，得到，再利用求解即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N， ∵是的平分线， ∴， 设点A到直线的距离为h， 则，， ∴， 即， 故答案为：． 考点三 垂直平分线与角平分线的作图问题 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】先作的角平分线，再作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为制作， ． 例2．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 【详解】解：如图，作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 例3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 变式1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：作的角平分线交于点D，连接， ∵, ∴， 则点D即为所求． 变式2．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知三角形，，．请用尺规作图法在边上求作一点，使得平分．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作一个角的角平分线：先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，在这个角的内部两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角的平分线． 【详解】解：在边上作一点，使得平分，如图所示： ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：垂直平分线的性质、角平分线的性质、垂直平分线与角平分线的作图问题专项训练 期末复习：垂直平分线的性质、角平分线的性质、垂直平分线与角平分线的作图问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 角平分线的性质 垂直平分线与角平分线的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是线段的中垂线．下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 例4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为______． 变式1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中边的垂直平分线交的平分线于F，若，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 变式4．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 考点二 角平分线的性质 例1．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 例2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 例3．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 例4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 变式1．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 变式2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．16 D．20 变式3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 变式4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是的平分线，，，则 ________． 考点三 垂直平分线与角平分线的作图问题 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 例2．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 例3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 变式1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 变式2．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 变式3．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知三角形，，．请用尺规作图法在边上求作一点，使得平分．（不写作法，保留作图痕迹） 2 学科网（北京）股份有限公司 $