期末培优：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦三角函数核心公式应用，通过分层例题与变式训练，系统强化和差公式、倍角公式的运算能力及给值求值问题的推理意识，构建从公式到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |和差公式|6例+6变式|公式直接应用、角的拆分与组合|以和差公式为基础，构建角的变换与求值逻辑| |倍角公式|6例+6变式|二倍角公式正用、逆用及与单位圆结合|由和差公式推导倍角公式，强化公式变形能力| |给值求值问题|6例+6变式|已知三角函数值求目标值，涉及角范围判断|综合应用前两模块公式，培养推理与运算综合能力|

期末培优：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 期末培优：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 考点目录 和差公式 倍角公式 给值求值问题 考点一 和差公式 例1．（24-25高一下·江苏南通·期中）若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为 所以可化为， 所以 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 例3．（25-26高一下·江苏淮安·期中）（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 . 例4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）___________． 【答案】1 【分析】运用正弦的和角公式即可求解. 【详解】. 例5．（25-26高一下·江苏扬州·期中）写出一个同时满足下列条件①，②的的值__________. ①；② 【答案】（答案不唯一） 【分析】由以及化简可以得到，再由两角差的余弦公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，即， 所以，即，所以的值可以为. 例6．（25-26高一下·江苏泰州·期中）__________. 【答案】 【详解】 所以分子. 又， 故原式. 变式1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用两角差的正弦公式化简计算． 【详解】 变式2．（2026·江苏扬州·三模）已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】将条件变形为，根据两角和差的余弦公式，结合同角三角函数的关系，即可求得答案. 【详解】由，得， 所以， 则， 所以，因为， 所以. 变式3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知角和，求角，利用构造角，求即可利用两角差的余弦公式进行计算． 【详解】因为，且，则； 又，则；又，则， 则； 因为 代入可得：，故． 变式4．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则__________. 【答案】-3 【详解】由， 则. 变式5．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为__________． 【答案】 【详解】， ， ， 又， ， ． 变式6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）__________.. 【答案】 【分析】根据，结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以 所以 考点二 倍角公式 例1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用余弦差角公式求得，再通过余弦和角公式计算，最后用余弦二倍角公式求出的值. 【详解】由，可得，解得， 由，可得。 所以. 例2．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以，所以. 例3．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， ，， 例4．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）计算_____. 【答案】1 【分析】用诱导公式化“大角”为“小角”（锐角），然后切化弦，通分后逆用两角差的正弦公式，再结合二倍角公式和诱导公式求解． 【详解】 ． 例5．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知为锐角，且，则______. 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系求出和的值，根据正切的二倍角公式代入求解即可. 【详解】因为为锐角，且， 所以，则， 所以. 例6．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知角满足，则________． 【答案】 【详解】, . 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以. 变式2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，进而根据二倍角公式，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 . 变式3．（25-26高三下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 . 变式4．（25-26高一下·江苏连云港·期中）若，则_____. 【答案】 【详解】. 变式5．（2026·江苏扬州·模拟预测）设，是方程的两个不同的解，且（），则________． 【答案】 【分析】，利用两角和与差的正余弦公式可求得，进而可求得，利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为，是方程的两个不同的解， 所以，， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 又因为（），所以（），所以， 所以，所以， 所以. 变式6．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】先应用二倍角正弦公式计算化简得出，再应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】因为， 所以，所以，所以， 则. 考点三 给值求值问题 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式， 且，得， 根据正弦和角公式. 例2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和的正切公式得，再通过二倍角公式及齐次式计算可得. 【详解】由三角恒等变换可知，解得， 原式. 例3．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，而，可得， 所以. 例4．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则的最大值为________. 【答案】 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【详解】由，得， 则， 则. 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 从而， 此时， 又因为， 所以当取得最大值时，也取得最大值， 此时，平方得：， 解得：，又因为，所以. 故最大值为. 故答案为： 例5．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，，则______________. 【答案】 【分析】根据正切函数化成正弦函数除以余弦函数，结合正弦两角差公式化简求解即可. 【详解】 故答案为：. 例6．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】将变形结合两角和与差的正弦公式得到的关系，进而可求. 【详解】由得， ①，②， 即，， ∴ ∵， ∴. 故答案为：. 变式1．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式以及积化和差公式求解即可. 【详解】. 根据积化和差公式，. 因此. 变式2．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知，为锐角，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将其与已知的分别平方，把两个平方后的式子相加，求解，结合为锐角的条件确定的符号，得到最终结果. 【详解】设，已知. ， 即：，， 因此：，解得. 因为为锐角，所以，， 故，因此. 故选：D 变式3．（25-26高三上·福建漳州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法表示，再 由二倍角公式计算可得. 【详解】令，，， ， 由题可知，， 所以. 故选：C. 变式4．（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）已知，则________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式整理原式，再将所求角转化为已知角的形式，最后结合诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】根据题意得. 由已知得，即， 故 . 变式5．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知，且，则__________. 【答案】 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 所以. 故答案为： 变式6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则________. 【答案】 【分析】将已知条件化为，再由诱导公式、二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由，即， 所以，则， 所以，而 . 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 期末培优：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 考点目录 和差公式 倍角公式 给值求值问题 考点一 和差公式 例1．（24-25高一下·江苏南通·期中）若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 例3．（25-26高一下·江苏淮安·期中）（    ） A．0 B． C．2 D． 例4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）___________． 例5．（25-26高一下·江苏扬州·期中）写出一个同时满足下列条件①，②的的值__________. ①；② 例6．（25-26高一下·江苏泰州·期中）__________. 变式1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·江苏扬州·三模）已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 变式3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则__________. 变式5．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为__________． 变式6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）__________.. 考点二 倍角公式 例1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）计算_____. 例5．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知为锐角，且，则______. 例6．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知角满足，则________． 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·江苏连云港·期中）若，则_____. 变式5．（2026·江苏扬州·模拟预测）设，是方程的两个不同的解，且（），则________． 变式6．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知，则______． 考点三 给值求值问题 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则的最大值为________. 例5．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，，则______________. 例6．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则______． 变式1．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知，为锐角，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·福建漳州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）已知，则________. 变式5．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知，且，则__________. 变式6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $