1.4 基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理了利用基本不等式求最值、综合应用两大考查方向，通过近五年高考真题分析明确“最值求解”占60%、“条件等式转化”占35%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养渗透”策略，如2020天津卷通过“1的代换”将原式转化为对勾函数求最值，培养学生运算能力与推理意识。特设“易错警示”专栏分析等号成立条件忽略问题，帮助学生掌握变量代换等技巧，教师可据此构建高效复习课堂，助力学生高考冲刺。

1.4　基本不等式 返回目录 五年高考 考点1　利用基本不等式求最值 1.★★(2025北京,6,4分)已知a>0,b>0,则 ( ) A.a2+b2>2ab　　    B. + ≥ 　　     C.a+b> 　　    D. + ≤      C     返回目录 解析　对于A,取a=1,b=1,则a2+b2=2ab,故A错误; 对于B,取a= ,b= ,则 + < ,故B错误; 对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2 且 >0,所以2 > ,故a+b> ,故C正确; 对于D,取a=2,b=1,则 + > ,故D错误.故选C. 返回目录 2.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( ) A.x+y≤1　　     B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　　    D.x2+y2≥1     BC     解析　因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤ ,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2- (x+y)2= (x+y)2, 故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤ 得1 =x2+y2-xy≥x2+y2- ,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立,故C正确,D错误,故选BC. 返回目录 3.★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( ) A.a2+b2≥ 　　     B.2a-b> 　　     C.log2a+log2b≥-2　　    D. + ≤      ABD     返回目录 解析　由a>0,b>0,a+b=1,得 ≥ = ,即a2+b2≥ ,当且仅当a=b= 时取等号, 故A正确; 由a>0,b>0,a+b=1,得a-b=2a-1>-1,故2a-b> ,故B正确; log2a+log2b=log2(ab)≤log2 =log2 =-2,当且仅当a=b= 时,等号成立,故C错误; ( + )2=a+b+2 =1+2 ≤1+a+b=2,得 + ≤ ,当且仅当a=b= 时,等号成立, 故D正确. 返回目录 4.★★(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是__________. 解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2= ,∴x2+y2= +y2= = + ≥2 = ,当 且仅当 = ,即y2= ,x2= 时取“=”. 故x2+y2的最小值为 . 解题导引　根据题设条件可得x2= ,消去x,可得x2+y2= +y2= + ,利用基本 不等式即可求解. 返回目录 5.★★★(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为__________.     4　     解析     + + = + = + ≥2 =4,当且仅当 = ,即 (a+b)2=16,亦即a+b=4时取等号. 又∵ab=1,∴ 或 时取等号,∴ + + 的最小值为4. 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届山东多校联考,3)  的最小值为 ( ) A.-6　　    B.-4　　     C.2　　     D.16     B     解析      =x2+ -10≥2 -10=-4,当且仅当x2= ,即x=± 时,等号成立.所以   的最小值为-4.故选B. 返回目录 2.★★(2026届江西赣州二十四校期中联考,4)已知a>0,b>0且4a·8b=4,则 + 的最小值为  ( ) A.2 　　    B. + 　　     C.3 　　    D.3+      B     解析　由4a·8b=4得22a·23b=22,则2a+3b=2,又a>0,b>0, 因此 + =  = + + ≥ + ,当且仅当 = 时等号成立,因此 + 的最 小值为 + .故选B. 返回目录 3.★★(2026届广东湛江调研,6)已知正数a,b满足a+b=1,则a+ + 的最小值为  ( ) A. 　　 B.1　　     C.2　　    D.      C 解析　由题意可得a+ + = + = + ≥2 =2,当且仅当 = ,即a=b= 时,等 号成立,所以a+ + 的最小值为2.故选C. 返回目录 4.★★(2026届重庆一中月考,6)已知a>0,且a2-2ab+6=0,则b+ 的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　     C.2　　     D.3     D     解析　因为a>0,所以b= = + ,故b+ = + + = + ≥2 =3,当且仅当 =  ,即a=2时取等,所以b+ 的最小值为3.故选D. 返回目录 5.★★(2026届河南省部分学校联考,5)若|x|+|y|=1(xy≠0),则 + 的最小值为  ( ) A.8　　     B.6+2 　　     C.10　　    D.5+2      B 解析　由题意|x|>0,|y|>0,|x|+|y|=1,故 + = (|x|+|y|)=5+1+ + ≥6+2  =6+2 ,当且仅当 = 且|x|+|y|=1,即|x|= ,|y|= 时等号成立,所以  + 的最小值为6+2 .故选B. 返回目录 6.★★(2025届安徽合肥三模,5)已知正数a,b满足 + =1,则a+2b的最小值为 ( ) A.4　　    B.6　　    C.8　　    D.9     D     解析　由题意得a+2b=(a+2b)· =1+ + +4≥5+2 =9, 当且仅当 即a=3,b=3时等号成立,故a+2b的最小值为9.故选D. 返回目录 7.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,5)已知x>0,y>0,2x+y=2,则 的最大值为  ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.      D     解析　因为x>0,y>0,2x+y=2, = = = ≤ =  ,当且仅当x=y= 时等号成立,则 的最大值为 .故选D. 返回目录 8.★★★(2026届安徽六校测试,7)已知a>1,b>1且ab3=8,则loga4+logb2的最小值为  ( ) A.5+2 　　     B.7+2  C. (5+2 )　　    D. (7+2 )     C 解析　由已知得log2a+3log2b=3,令m=log2a,n=log2b,则m+3n=3,m>0,n>0,所以loga4+logb2 = + = + = (m+3n) =  ≥  = (5+2 ),当且仅 当m=3 -6,n=3- 时取等,则loga4+logb2的最小值为 (5+2 ),故选C. 返回目录 9.★★★(2026届安徽皖豫名校联盟月考,8)已知实数a,b,c满足5a2+b2+c2=4,则a(2b+c)的 最大值为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.8     B     解析　由重要不等式可得a(2b+c)=2ab+ac≤ + = =2, 当且仅当2a=b,a=c,即a=c= ,b= 时等号成立,所以a(2b+c)的最大值为2.故选B. 返回目录 10.★★(多选)(2026届河南联考质量检测,9)设a,b均为正数,满足a+2b=2,则 ( ) A.ab≤ 　　     B.a2+4b2≥4 C.3a+9b≥9　　    D.a2+b2≥      AD     解析　由基本不等式得 ≤ ≤ ,当且仅当a=1,b= 时取等,把a+2b=2 代入,解得ab≤ ,a2+4b2≥2,A正确,B错误; 3a+9b≥2 =2 =6,当且仅当a=1,b= 时取等,C错误; a2+b2=(2-2b)2+b2=5 + ≥ ,D正确.故选AD. 返回目录 11.★★★★(2026届河北衡水调研,14)已知ab>0,满足2a-b+ - =1,则2a-b的取值范围是 ______________.     [-1,2]     解析　由题意知1-(2a-b)= - , 故(2a-b)-(2a-b)2=(2a-b)[1-(2a-b)]=(2a-b) = + -10, 因为ab>0,故 >0, >0,故 + ≥2 =8,当且仅当 = ,即a= ,b=2或a=-1,b=-4 时等号成立, 故 + -10≥-2,即(2a-b)-(2a-b)2≥-2,解得-1≤2a-b≤2, 当a= ,b=2时,2a-b=-1;当a=-1,b=-4时,2a-b=2, 故2a-b的取值范围是[-1,2]. 返回目录 考点2　基本不等式的综合应用 三年模拟 1.★★(2026届湖南九校联盟联考,2)已知x>0,y>0,x,a,b,y依次成等差数列,x,c,d,y依次成 等比数列,则 的最小值是 ( ) A.2　　    B.2 　　    C.4　　    D.8     A     解析　∵x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,∴a+b=x+y,cd=xy, 则 = ≥ =2,当且仅当x=y时取“=”. 故 的最小值是2. 返回目录 2.★★(2026届广东广州花都调研,4)已知实数a,b,若b是a,1的等差中项,则eb-a+eb+1的最小 值为 ( ) A.2e2　　    B.2e　　    C.2 　　    D.2     B     解析　因为b是a,1的等差中项,所以2b=a+1,得b-a=1-b, 则eb-a+eb+1=e1-b+eb+1≥2 =2e,当且仅当e1-b=eb+1,即b=0,a=-1时取等,则eb-a+eb+1的最小 值为2e,故选B. 返回目录 3.★★(数学文化)(2025届贵州遵义适应考(一),4)如图所示的“大方图”称为赵爽 弦图,它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给 出的一种几何平面图.用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b,斜边 为c(a,b,c均为正数),则(a+b)2=4ab+(b-a)2,(a+b)2=2c2-(b-a)2”.某同学读到此书中的“赵 爽弦图”时,出于好奇,想用软钢丝制作此图,他用一段长6 cm的软钢丝作为a+b的长度 (制作其他边长的软钢丝足够用),请你给他算一算,他能制作出来的“赵爽弦图”的最 小面积为 ( )     B     A.9 cm2　　     B.18 cm2　　     C.27 cm2　　    D.36 cm2 返回目录 解析　由题可知a+b=6,a>0,b>0,则a+b≥2 ,即6≥2 ,所以ab≤9,当且仅当a=b=3 时,等号成立.又“赵爽弦图”的面积为c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=36-2ab≥36-2×9=18,所以当 a=b=3时,“赵爽弦图”的面积最小,为18 cm2.故选B. 返回目录 4.★★★(2026届江苏镇江一中开学考,6)已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线, 且 =x +y - (x>0,y>0),若M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,则 + 的最小值为  ( ) A.4　　    B.5　　    C. 　　    D.9     C     返回目录 解析　因为M,A,B,C四点共面, =x +y - (x>0,y>0), 所以由空间向量基本定理可得x+y-1=1,即x+y=2,因为x>0,y>0, 所以 + =  (x+y)=  ≥  5+2  = ,当且仅当 = ,即x= ,y=  时,等号成立, 所以 + 的最小值为 .故选C. 返回目录 5.★★★(2026届福建龙岩期中,7)已知点A在线段BC上(不含端点),O为直线BC外一点, 且满足 -a -2b =0,若不等式 + ≥-x2+4x+12-m对任意实数x恒成立,则实数m的 取值范围是( ) A.[6,+∞)　　    B.(-∞,6]　　    C.(-∞,7]　　    D.[7,+∞)     D     返回目录 解析　由已知可得a+2b=1,且a,b都是正数, 所以 + =(a+2b) =5+ + ≥5+2 =9,当且仅当 = ,即a=b= 时,等号 成立. 因为不等式 + ≥-x2+4x+12-m对任意实数x恒成立,即 ≥-x2+4x+12-m恒成立, 所以9≥-x2+4x+12-m,即m≥-x2+4x+3对任意实数x恒成立.因为y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7≤7, 所以m≥7. 返回目录 6.★★★(2026届安徽六安月考,6)已知m>0,n>0,直线y= +m+1与曲线y=ln x-n+3相切,则  + 的最小值为 ( ) A.16　　    B.12　　    C.9　　    D.8     D     解析　设切点为(t,ln t-n+3),则 = ⇒t=e⇒切点为(e,4-n),由切点在切线上得4-n=2+m⇒ m+n=2,又m>0,n>0,所以 + = · =5+ + ≥5+2 =8,当且仅当 =  ,即n=3m时等号成立.故 + 的最小值为8. 返回目录 7.★★★(2026届安徽名校阶段检测,4)若f(x)=ln (a>0,b>0)为奇函数,则 + 的最 小值为 ( ) A.2 -3　　    B.2 +3　　     C. +3　　     D. -3     B     返回目录 解析　由题意有:f(x)+f(-x)=ln +ln =ln =0, 所以 =1,所以a2=(1-b)2, 又 >0,所以(x+a)(x+b-1)<0,由奇函数的定义域关于原点对称,得a=1-b,即a+b=1, 因为a>0,b>0,所以 + = (a+b)= + +3≥2 +3, 当且仅当 即 时,等号成立.故选B. 返回目录 8.★★★(2026届江苏镇江一中阶段测试,6)已知正实数x,y满足 + ≤1时,有x+y≥m恒 成立,则m的最大值为 ( ) A.14　　    B.15　　     C.16　　    D.17     C     返回目录 解析　因为正实数x,y满足 + ≤1, 所以x+y=(x+y)×1≥(x+y) =10+ + ≥10+2 =16, 当且仅当 即x=4,y=12时,等号成立, 因为正实数x,y满足 + ≤1时,有x+y≥m恒成立,所以(x+y)min≥m,即m≤16,所以m的最大 值为16.故选C. 返回目录 9.★★★(2026届山东省实验中学期中,7)若两个正实数x,y满足x+y=1且不等式 + <m2- 3m有解,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-1,4)　　    B.(-∞,-4)∪(1,+∞) C.(-4,1)　　    D.(-∞,-1)∪(4,+∞)     D     返回目录 解析　因为正实数x,y满足x+y=1, 所以 + =(x+y) =2+ + ≥2+2 =4, 当且仅当 即 时,等号成立,故 + 的最小值为4. 因为不等式 + <m2-3m有解,所以m2-3m>4,即m2-3m-4>0,即(m-4)(m+1)>0,解得m<-1 或m>4.故选D. 返回目录 10.★★(2026届上海位育中学期中,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x>0)上 的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_________.     4     解析　设P ,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d= =  ≥4,当 且仅当x0= ,即x0= 时取“=”,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 返回目录 11.★★★(2026届天津开发区第一中学开学考,12)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解 集为{x|x<1或x>b}(b>1),当m>0,n>0且满足 + =1时,2m+n≥k2+k+2恒成立,则k的取值 范围为______________.     [-3,2]     解析　由不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1), 得1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a>0,则 解得  于是 + =1,因为m>0,n>0,所以2m+n=(2m+n) =4+ + ≥4+2 =8,当且 仅当 = ,即n=2m=4时取等号, 依题意,得k2+k+2≤8,解得-3≤k≤2,所以k的取值范围为[-3,2]. 返回目录 12.★★★(2026届广东六校联盟第一次联考,14)两次购买同一种物品,现采用两种不同 的策略进行购买,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二 种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定,则购物方式比较经济 的是第______种,针对上述现象,对于任意两个正实数a,b,可得到的不等关系是_____ ___________________. ≥  ,a,b∈R+     　二     返回目录 解析　第一种方式,设第一次购买的价格为x1,第二次购买的价格为x2,x1≠x2, 则第一种方式购买的平均价格为 ; 第二种方式,设每次购买所花的钱数为s,则购买的平均价格为 = = ,因 为 < = , 所以选第二种方式比较经济. 不等关系是 ≥ ,a,b∈R+, 当且仅当a=b时等号成立. 返回目录 $