第8讲 函数的单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性”核心考点，依据高考评价体系梳理了单调性判断、定义证明及单调区间求解三大考查要求，通过典型例题分析明确判断（如二次函数、复合函数）和单调区间（如分段函数、分式函数）为高频考点，归纳选择、解答题常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“方法总结+真题训练+素养提升”，如例2用定义法证明分式函数单调性，培养数学思维中的推理能力，例3结合“同增异减”分析复合函数区间，强化数学语言表达。特设易错点提示（单调区间不用“∪”），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第8讲 函数的单调性 考点一　函数单调性的判断 [例1]　(1)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得 <0”的是(　　) A.f(x)=-x2-2x+1　 B.f(x)=x- C.f(x)=x+1 D.f(x)=log2(2x)+1 A [解析]　根据题意,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得<0”,则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数. 对于A,f(x)=-x2-2x+1为二次函数,其对称轴为x=-1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意; 对于B,f(x)=x-,其导数f'(x)=1+>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 对于C,f(x)=x+1为一次函数,且在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 对于D,由复合函数单调性“同增异减”知,f(x)=log2(2x)+1在(0,+∞)上单调递增,不符合题意. (2)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增 B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增 C.函数y=x2f(x)在R上单调递增 D.函数y=在(0,+∞)上单调递增 C [解析]　因为y=f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,所以y=f(x)在 (-∞,0)上也单调递增. 不妨令f(x)=x,y=f(x)+x2=x+x2=(x+)2-,所以y=f(x)+x2在(-∞ ,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,故A错误; 不妨令f(x)=x,y=f(x)-x2=x-x2=-(x-)2+,所以y=f(x)-x2在(-∞ ,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故B错误; y=x2f(x),其定义域为R,又(-x)2f(-x)=-x2f(x),所以y=x2f(x)是奇函数,任取0<x1<x2,则0<<,0<f(x1)<f(x2),故f(x1)<f(x2),所以y1-y2=f(x1) -f(x2)<0,则函数y=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=x2f(x)在(-∞,0)上也单调递增,且当x=0时,y=x2f(x)=0, 所以y=x2f(x)在R上单调递增,故C正确; 不妨令f(x)=x,y===,x≠0,由反比例函数的单调性可知y=在 (-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故D错误. 方法总结 确定函数单调性的方法:定义法、导数法、图象法和性质法. 跟踪训练 1.(多选)下列说法中,正确的是(　 　) A.函数y=-在(-∞,0)上单调递减 B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)=f(x)+g(x)也是R上的增函数 C.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1) D.函数f(x)=的单调递增区间为(1,+∞) ABC 解析:在(-∞,0)上函数y=e-x与y=-都单调递减,所以y=e-x-在(-∞,0)上单调递减,故A正确; 两个增函数的和为增函数,故B正确; 作出函数y=2|x+1|的图象,如图所示, 由图象可知,函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1),故C正确; 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(-∞,1),故D错误. 考点二　利用定义证明函数的单调性 [例2]　讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. [解]　设-1<x1<x2<1, 因为f(x)=a·=a(1+), 所以f(x1)-f(x2) =a(1+)-a(1+) =, 由于-1<x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 方法总结 利用定义法证明函数单调性的步骤 1.取值并规定大小. 2.作差变形. 3.定号. 4.得出结论. 跟踪训练 2.已知函数f(x)=,判断函数y=f(x)在区间[1,+∞)上的单调性,并根据定义证明. 解:f(x)在[1,+∞)上单调递减,证明如下: 任取x1,x2∈[1,+∞)且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- ==. 因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0,x1x2-1>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在[1,+∞)上单调递减. 考点三　求函数的单调区间 [例3]　(1)函数y=的单调递减区间是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(2,+∞) D [解析]　要使函数y=有意义,则x2-2x>0, 即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,∴函数定义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 令t=x2-2x,则y=(t>0),y=在(0,+∞)上单调递减, t=x2-2x图象的对称轴为x=1,开口向上, 在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 根据复合函数“同增异减”原则,可知y=的单调递减区间是(2,+∞). (2)函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为(　　) A.(-∞,) B.(,1) C.(1,+∞) D.(-∞,)∪(1,+∞) [解析]　g(x)=x|x-1|+1= 画出函数图象,如图可知,函数的单调递减区间为(,1). B 方法总结 一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 跟踪训练 3.函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为　 　　　.  解析:因为y=x2-3|x|+1= 由此画出函数y=x2-3|x|+1的图象如图所示, 由图可知,函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为(-∞,-),(0,). (-∞,-),(0,) 4.函数f(x)=的单调递增区间为　 　　　.  解析:f(x)===2-, 由2x+3≠0,得x≠-, 当x∈(-∞,-)时,y=单调递减,f(x)单调递增; 当x∈(-,+∞)时,y=单调递减,f(x)单调递增, 所以f(x)的单调增区间为(-∞,-),(-,+∞). (-∞,-),(-,+∞) $