第7讲　函数的单调性与最值课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最值”专题，依据高考评价体系梳理了单调性定义、复合函数性质、最值求法三大核心考点，通过教材经典题改编与2021全国甲卷、2024新高考Ⅰ卷等真题分析，明确单调性应用（解不等式、参数范围）占60%、最值求法占30%的高频考点分布，构建了“定义判断-区间求解-综合应用”的完整复习体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的备考策略，如以2024新高考Ⅰ卷分段函数单调性题为例，提炼“定义域优先-分段判断-端点衔接”三步法，培养学生的数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）素养。特设“易错警示”（单调区间不能用并集）和“方法库”（换元法、判别式法求最值），助力学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第二章 第7讲　函数的单调性与最值 基本初等函数 1 1．(教材经典题改编)已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为 (　　) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] B 2．(教材经典题改编)(多选)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是 (　　　) A．f(x)＝－2x＋1　 B．f(x)＝x2＋1 【解析】 　　　　对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误； 对于B，因为f(x)＝x2＋1的对称轴为y轴，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故B正确； BCD A．f(x)的最大值为2，最小值为0.4 B．f(x)的最大值为2，没有最小值 C．f(x)没有最大值，最小值为0.4 D．f(x)的最大值与最小值都没有 C 4．(教材经典题)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为___________________________． 【解析】 (－∞，40]∪[160，＋∞) 5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集为____________________． 【解析】 (－1，0)∪(0，3) 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义   增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有_____________，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1＜x2时，都有_______________，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是__________ 自左向右看，图象是__________ f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 上升的 下降的 (2) 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：____________． 同增异减 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有________的单调性． (2) f(x)与－f(x)的单调性________． (3) 当a＞0时，af(x)与f(x)的单调性________； 当a＜0时，af(x)与f(x)的单调性________． 相同 相反 相同 相反 (6) f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)： 简记为：①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘； ③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘． 相同 相反 相同 3．函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1) 对于任意x∈D，都有_________； (2) 存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3) 对于任意x∈D，都有_________； (4) 存在x0∈D，使得____________ 几何 意义 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M 注意：函数最值存在的两条结论：①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；②开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值． 目标 1 判断函数的单调性 视角1　函数单调性的判定 　　　　　(2021·全国甲卷文)下列函数是增函数的为 (　　) 1－1 【解析】 【答案】 D 视角2　定义法证明函数单调性 【解答】 1－2 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 　　　　　(2) 定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)，且当x＞1时，f(x)＜0，试用单调性定义证明函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 【解答】 1－2 对于抽象函数，若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为：f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 视角3　求函数的单调区间 A．[0，3]　 B．(－∞，3] C．[3，6]　 D．[3，＋∞) 【解析】 1－3 C 　　　　　(2) 函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为_____________； 函数g(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是_____________． 【解析】 1－3 由x2－2x－8＞0，得g(x)的定义域为{x|x＞4或x＜－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数g(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数g(x)的单调递增区间为(4，＋∞)． [2，＋∞) (4，＋∞) (1) 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2) 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 视角1　比大小和解不等式 　　　　　(1) 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立．设a＝f(－2)，b＝f(2)，c＝f(e)(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．c＞a＞b　 B．c＞b＞a C．a＞c＞b　 D．b＞c＞a 【解析】 　　　　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－2)＝f(4)．又因为当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为2＜e＜4，所以f(2)＞f(e)＞f(4)，所以b＞c＞a． 2－1 D 目标 1 函数单调性的应用 　　　　　(2) 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增．若当x∈[0，1]时，f(ax)＜f(x－1)恒成立，则实数a的取值范围为_________． 【解析】 　　　　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的对称轴为x＝1．因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小．又因为x∈[0，1]时，f(ax)＜f(x－1)恒成立，即|ax－1|＜|(x－1)－1|＝2－x恒成立，所以x∈[0，1]时，x－2＜ax－1＜2－x恒成立．当x＝0时，－2＜－1＜2显然成立； 2－1 (0，2) 变式2－1　(2025·佛山模拟)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f(2a－1)＜f(2－a)，则实数a的取值范围是 (　　) A．(1，2)　 B．(－∞，1) C．(0，1)　 D．(1，＋∞) 【解析】 C 视角2　求参数的取值范围 2－2 A．[－3，2)　 B．[－3，2]　 C．(－3，2)　 D．[－2，3] 【解析】 【答案】 B 【解析】 2－2 (－∞，－3] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1) 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2) 若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． A．(－∞，0]　 B．[－1，0] C．[－1，1]　 D．[0，＋∞) 【解析】 B 目标 3 函数的最值(值域) 3 【解析】 　　　(2) 定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f(x)＝min{2x＋3，x2＋1，5－3x}，则f(x)的最大值是_____． 【解析】 3 2 【解析】 3 【解析】 3 【解析】 3 求函数值域的主要方法 (1) 配方法：对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域问题，可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域(第9讲会涉及)． (2) 单调性法：根据函数的单调性直接求最值． (3) 分离常数法：分子、分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解． (4) 基本不等式法：第5讲已有涉及． (6) 判别式法：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用判别式求出y的取值范围或最值． 【解析】 7或－1 微探究 对勾函数与飘带函数 4 【解析】 (0，2) 4 【解析】 【答案】 －6 【解析】 1 1．(2026·太原期初)函数y＝lg(10x－x2)的单调递增区间是 (　　) A．(0，5)　 B．(－∞，5) C．(5，10)　 D．(5，＋∞) A 2．已知函数f(x)的定义域为[－3，4]，且在定义域内是增函数，若f(2m－1)－f(1－m)＞0，则m的取值范围是 (　　) C 【解析】 C A．(－∞，2)　 B．(－∞，7) C．(2，7)　 D．(7，＋∞) 【解析】 A 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，则a的取值范围是 (　　) A．[－4，1)　 B．(1，4] C．(1，2]　 D．(1，＋∞) 【解析】 　　　　因为函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，所以－4≤a＋1＜2a≤4，解得1＜a≤2． C 2．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为 (　　) 【解析】 B 3．已知函数y＝f(x)在R上单调递减，则函数y＝f(|x＋2|)的单调递减区间是 (　　) A．(－∞，＋∞)　 B．(－∞，－2] C．[－2，＋∞)　 D．[2，＋∞) 【解析】 　　　　令h(x)＝|x＋2|，则h(x)＝|x＋2|在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数．又函数y＝f(x)在R上单调递减，则根据复合函数同增异减原则得y＝f(|x＋2|)的单调递减区间为[－2，＋∞)． C 【解析】 D A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】 B 二、多项选择题 6．对于定义域为D的函数f(x)，如果存在区间[a，b]⊆D，使得f(x)在区间[a，b]上单调，且在区间[a，b]上值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数f(x)的一个“优美区间”，则下列函数中不存在“优美区间”的是 (　　　) C．f(x)＝2－|x|　 D．f(x)＝x2＋1 【解析】 　　　　由区间定义知a＜b，假设各函数存在“优美区间”[a，b]．A中，f(x)在R上单调递增，f(a)＝a，f(b)＝b，得a＝b＝－1，不合题意，则不存在“优美区间”． B中，当x＜0时，函数f(x)单调递增，f(a)＝a，f(b)＝b，即a2＝－1，b2＝－1，无解；当x＞0时，函数f(x)单调递增，同理f(a)＝a，f(b)＝b无解，不存在“优美区间”． D中，显然f(x)＝x2＋1≥1，所以a≥1，所以f(x)在[a，b]上单调递增，因为f(a)＝a2＋1＝a无解，所以不存在“优美区间”． 【答案】 ABD A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0] C．函数f(x)的值域为(－∞，1] D．关于a的不等式f(a－1)＜f(2a＋1)的解集为(－2，1) 【解析】 【答案】 ABD 【解析】 由f(x)的对称性及单调性知f(0)＝f(4)＜f(3)，C错误； 若f(m)＞f(－1)，则|m－2|＜|2－(－1)|，解得－1＜m＜5，D正确． 【答案】 ABD 【解析】 　　　　由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)． [5，＋∞) 【解析】 [1，2) 【解析】 【解答】 【解答】 当0＜a≤1时，(x1－a)(x2－a)＞0，所以0＜a≤1．综上所述，实数a的取值范围为(0，1]． 13．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1． (1) 求证：f(x)是R上的增函数； 【解答】 　　　　设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，即f(x2－x1)＞1，则f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． 13．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1． (2) 若f(2)＝2，解不等式f(x2)＋f(－3x)≤4． 【解答】 　　　　因为f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，f(2)＝2，取a＝2，b＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝3，则f(x2)＋f(－3x)≤4等价于f[x(x－3)]＋1≤4，即f[x(x－3)]≤f(4)． 由(1)知f(x)是R上的增函数，所以x(x－3)≤4，解得－1≤x≤4，所以原不等式的解集为[－1，4]． B组　创新题体验 14．已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M＞0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M为f(x)的限定值． (1) 若函数f(x)＝－x2＋2x＋m在[0，3]上是限定值为8的受限函数，求m的最大值． 【解答】 　　　　因为x∈[0，3]，所以f(x)＝－x2＋2x＋m＝－(x－1)2＋m＋1∈[m－3，m＋1]．因为f(x)在[0，3]上是限定值为8的受限函数，所以m＋1≤8，解得m≤7，则m的最大值为7． 14．已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M＞0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M为f(x)的限定值． 【解答】 14．已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M＞0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M为f(x)的限定值． 【解答】 B 2．(2025·驻马店期末)设函数f(x)＝log3(x2－ax＋3)在区间(0，1)上单调递减，则a的最大值为 (　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】 　　　　令u(x)＝x2－ax＋3，g(x)＝log3u(x)，则f(x)可视为由u(x)和g(x)构成的复合函数．由对数函数性质得g(x)在区间(0，1)上单调递增，又f(x)在区间(0，1)上单调递减，所以由复合函数性质得u(x)在区间(0，1)上单调递减． C A．(0，1)　 B．(1，4] C．(1，8]　 D．(1，16] 【解析】 B 【解析】 C A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】 【答案】 B 二、多项选择题 A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 【解析】 【答案】 BCD 【解析】 　　　　作出f(x)与g(x)的图象如图所示，所以F(x)的图象如图中实线部分所示，易得F(x)有最大值，无最小值，故A错误． 【答案】 BC 【解析】 【答案】ABD 三、填空题 【解析】 【解析】 11．(2025·绍兴质检)设函数f(x)＝min{2x，y＝16－x，y＝x2－8x＋16}(x≥0)，其中min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则f(x)的最大值为_____． 【解析】 　　　　如图，画出y＝2x，y＝16－x，y＝x2－8x＋16的图象，观察图象可知，当x＜2时，f(x)＝2x；当2≤x≤7时，f(x)＝x2－8x＋16；当x＞7时，f(x)＝16－x，所以f(x)的最大值在x＝7时取得，且为9． 9 四、解答题 12．已知函数f(x)＝x|x－a|． (1) 当a＝2时，求f(x)的单调递增区间； 【解答】 12．已知函数f(x)＝x|x－a|． (2) 若∀x1，x2∈[0，2]，都有| f(x1)－f(x2)|≤2，求实数a的取值范围． 【解答】 　　　　因为对∀x1，x2∈[0，2]，都有| f(x1)－f(x2)|≤2，故| f(x1)－f(x2)|max≤2，所以f(x)max－f(x)min≤2． 13．设函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[ma，mb](其中m∈(0，1])，则称f(x)为区间[a，b]上的“m倍缩函数”． 【解答】 13．设函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[ma，mb](其中m∈(0，1])，则称f(x)为区间[a，b]上的“m倍缩函数”． 【解答】 　　　　因为函数u＝2x＋t在R上单调递增，当u＞0时，函数y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝log2(2x＋t)是定义域上的增函数． 10．已知函数y＝，x∈(m，n]的最小值为8，则实数m的取值范围是_______． $