第15讲 对数函数的图象与性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“对数函数的图象与性质”专题，依据高考评价体系梳理了图象识别、性质应用（比较大小、解不等式）、综合应用三大核心考点，通过典型例题分析明确图象辨析、参数范围求解等常考题型，构建系统复习框架，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点解析+真题训练+方法建模”的备考策略，如例1通过对数运算转化分析函数单调性，培养数学思维；例3解对数不等式展示定义域优先与分类讨论技巧，强化数学语言表达。帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第15讲 对数函数的图象与性质 考点一　对数函数的图象及应用 [例1]　(1)(2026·湖南长沙模拟)已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数f(x)=a-x与g(x)=logbx的图象可能是(　　) [解析]　由lg a+lg b=0可知,=b, 故f(x)=a-x=bx,故函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的单调性相同. B (2)已知函数f(x)=|log3x|,若a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是　　　　　　.  [解析]　f(x)=|log3x|的图象如图所示. 因为0<a<b且f(a)=f(b),所以|log3a|=|log3b|且0<a<1,b>1, 所以-log3a=log3b,所以ab=1,故a+2b=a+.因为对勾函数y=x+在(0,1)上单调递减,所以a+2b=a+>1+2=3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞). (3,+∞) 方法总结 对数函数图象的识别及应用方法 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示, 则a,b满足的关系是(　　) A.0<a-1<b<1　　　　 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析:由题图可知,f(x)为增函数,故a>1. f(x)与y轴的交点坐标为(0,logab), 由题图可知-1<logab<0,解得<b<1. 综上,0<a-1<b<1. A 2.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:问题等价于函数y=f(x)的图象与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1. (1,+∞) 考点二　对数函数的性质及应用 角度1　比较对数值的大小 [例2]　已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b D [解析]　法一(中间量法):因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e>1,所以c>a>b. 法二(图象法):lo=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,如图.由图可知c>a>b. 方法总结 比较对数值大小的方法 若底数相同,真数不同 若底数为同一常数,可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论 若底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底,再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 角度2　解对数不等式 [例3]　(1)不等式log2(x-1)<1的解集为　　　　.  [解析]　因为log2(x-1)<1,则log2(x-1)<log22,即0<x-1<2,解得1<x<3. (1,3) (2)不等式lo(2x+3)<lo(5x-6)3的解集是　　　　.  [解析]　易知lo(5x-6)3=lo(5x-6), 由lo(2x+3)<lo(5x-6)3,得lo(2x+3)<lo(5x-6). 又函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,所以<x<3,所以原不等式的解集是(,3). (,3) 方法总结 求解对数不等式的两种类型及方法 1.logax>logab:借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. 2.logax>b:需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解. 跟踪训练 3.若a=log0.30.5,b=log0.50.3,c=log217,则(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 解析:因为函数y=log0.3x,y=log0.5x都是减函数, 所以a=log0.30.5<log0.30.3=1,log0.50.5=1<b=log0.50.3<log0.50.25=2. 又c=log217=log2>log24=2,所以c>b>a. D 4.不等式log2(2-x)>log0.5的解集为(　　) A.(,1) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(,+∞) A 解析:法一:因为log0.5=log2(3x-2),所以不等式化为log2(2-x)>log2(3x-2). 又y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 所以log2(2-x)>log2(3x-2)⇒ 解得<x<1, 即原不等式的解集为(,1). 法二:当x=3时,log2(2-3)=log2(-1)无意义,排除C,D; 当x=0时,log0.5无意义,排除B. 考点三　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x. (1)求函数f(x)的解析式; [解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0. ∵当x>0时,f(x)=log2x, ∴当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-log2(-x), ∴f(x)= (2)若g(x)=f(x)·f(),x∈[1,8],求函数g(x)的值域. [解]　由题意得g(x)=log2x·log2=log2x·(log2x-2)=(log2x)2-2log2x,x∈[1,8], 令log2x=t,t∈[0,3],问题等价于求h(t)=t2-2t,t∈[0,3]的值域. ∵函数h(t)=t2-2t的图象开口向上,对称轴为直线t=1, ∴h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增. ∵h(1)=1-2=-1,h(0)=0,h(3)=9-6=3, ∴h(t)min=-1,h(t)max=3,∴函数h(t)的值域为[-1,3],即函数g(x)的值域为 [-1,3]. 方法总结 求与对数函数有关的综合问题,必须弄清三点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成. 跟踪训练 5.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f(1)=2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域; 解:∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,且a≠1), ∴a=2.由得-1<x<3, ∴函数f(x)的定义域为(-1,3). (2)求f(x)在区间[0,]上的最大值. 解:f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4], ∴当x∈[0,1]时,f(x)单调递增; 当x∈(1,]时,f(x)单调递减, 故函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=2. $