第六章 三角形四心及奔驰定理讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“三角形四心及奔驰定理”为核心，通过知识框架图系统梳理重心、内心、外心、垂心的定义及性质，用表格对比四心的向量表达式与几何特征，构建“定理-推论-应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“题型分类+综合应用”的练习设计，如奔驰定理结合面积比计算、重心轨迹判断等问题，培养数学思维与推理能力。每个题型配多选、填空等多样题目，基础学生掌握方法，优秀学生深化应用，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

第六章 三角形四心及奔驰定理 目录 题型1：奔驰定理 3 题型2：重心定理 7 题型3：内心定理 10 题型4：外心定理 15 题型5：垂心定理 20 1. 奔驰定理 为内一点，且，则、、的面积之比等于。 2. 三角形四心与推论 (1) 重心：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1。 设为的重心，则 ①； ②. (2) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。 设是的内心，则 ①； ②； ③（为平面内任意一点）； ④三角形的内心在向量所在的直线上（在的平分线所在的直线上）. (3) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 设是的外心，则 ①； ②. (4) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直。 设是的垂心，则 ①； ②. ③三角形的垂心在向量所在的直线上（在边上的高所在的直线上）. 题型1：奔驰定理 【例1.1.】 设点在内部，且，则 __________． 【答案】/ 【难度】0.6 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】变形给定等式，作图使得，进而确定点，再利用等高的三角形面积关系求解. 【详解】由，得，在线段上取点，使得， 取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点， 因此，所以. 【例1.2.】 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】三角形面积公式及其应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【详解】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 【例1.3.】 如图，中，点满足与交于点，延长交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量的线性运算，结合三点共线的向量表示，逐个验证选项. 【详解】三点共线，设，三点共线，设， 三点共线，设， ， ， ∴，解得， 得，， 得，得，得， 因为三点共线，所以，得， 得，， 三点共线，设， 则， 得，得， 对于A项，则，故A项错误； 对于B项，则，故B项错误； 对于C项，， 得， 得，得，得，故C项错误； 对于D项，， ， 得，故D项正确． 【例1.4.】 (多选)悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（    ） A．点在的内部 B．点是的重心 C． D． 【答案】AC 【难度】0.55 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】设分别为的中点，整理可得，可知点为线段的三等分点（靠近点），进而逐项分析判断即可. 【详解】设分别为的中点， 因为，即， 则，即，可知点为线段的三等分点（靠近点）， 所以点在的内部，点不是的重心，故A正确，B错误； 不妨设，则，， 可得，，， 则，， 所以，故C正确，D错误. 题型2：重心定理 【例2.1.】 在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理的推论 【详解】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有， 又因为，，所以，. 于是可得， 又因为三点共线，所以有，得. 【例2.2.】 在中，是的重心，点满足，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】取中点，借助平面向量线性运算法则计算可得，即可得点为线段上靠近点的四等分点，从而可得. 【详解】由，则， 即，取中点，即有， 故点为线段上靠近点的四等分点，故. 【例2.3.】 已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】本题可通过向量的线性运算，将的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹经过的特殊点. 【详解】设的中点为， 则， ∵， ∴， 而， ∴三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心， 故选：C. 【例2.4.】 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】三角形的心的向量表示 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 【例2.5.】 已知，为中不同的两点，且，，则为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【详解】因为 , 如图所示,设 的中点分别为 , 因为 所以点 在 上,且 , 所以在与平行的中位线上，且是该中位线上靠近的一个三等分点. 所以有，，可得是的重心. 因此，． 题型3：内心定理 【例3.1.】 平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形的心的向量表示、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案. 【详解】由得， 由得， 根据平面向量基本定理可得，， 所以，， 延长交于，延长交于， 则，又，所以， 所以为的平分线， 同理可得是的平分线， 所以为的内心. 故选：B 【例3.2.】 点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、根据向量关系判断三角形的心 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 【例3.3.】 A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形的心的向量表示 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 【例3.4.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、平面向量基本定理的应用 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 可得，解得， 因为，所以； 如图所示，设，延长交于点， 则， 所以，同理可得， 过点作， 则 又由，所以, 所以，可得， 即， 因为为的外心，设的内切圆的半径为， 可得， 可得，即， 又因为，即，可得， 由正弦定理得, 又因为，可得，因为且，所以，可得， 所以，可得，. 故选：D. 【例3.5.】 设的内心为，而且满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、向量在几何中的其他应用 【分析】法一：将分别延长至，使，结合重心定义与面积公式可得，即可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 法二：由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】法一： 将分别延长至，使， 则有，故是的重心，则有， 亦有，， ， 即， 设的内接圆半径为，有、、， 则有， 故. 故选：D. 法二： 由内心的向量表示知：，则， 故. 故选：D. 题型4：外心定理 【例4.1.】 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、数量积的运算律 【分析】为的中点，由得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故选：B 【例4.2.】 （多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用、三角形面积公式及其应用 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【例4.3.】 已知的外心为，，则________． 【答案】 【难度】0.39 【知识点】二倍角的余弦公式、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【分析】设，根据数量积的运算律将平方可得，判断为锐角三角形，结合二倍角公式即可求得答案． 【详解】因为为的外心，又由， 平方可得：， 不妨设， 则， 故为锐角， 由于，或， 又由， 可得点在的内部，即为锐角三角形，    故，C为锐角， 即，故. 【例4.4.】 （多选）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【难度】0.43 【知识点】向量在几何中的其他应用、已知数量积求模、用定义求向量的数量积、三角形的心的向量表示 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 【例4.5.】 (多选)在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．满足，则点是的外心 B．满足，则点是的内心 C．满足，则点是的垂心 D．满足，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【难度】0.54 【知识点】三角形的心的向量表示、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】选项，根据垂直平分线的性质定理，可判断点为三角形三边垂直平分线的交点，即为外心； 选项，取边中点，根据平行四边形法则可得，结合已知条件可推出，即，可判断点为重心，而不是内心； 选项，根据已知条件结合向量减法运算，易得，，进而可得点为垂心； 选项，由单位向量的模长相等，结合和向量与数量积为，可推出三角形为等腰三角形，再由，进而求出内角，从而判断出为等边三角形. 【详解】解：对于选项，由，所以点到的三个顶点的距离相等，所以是的外心，正确； 选项，如图所示， 取边中点，连接，则， 又，则，所以，因此， 所以点是的重心，错误； 选项，由可得，即，所以； 同理可得，所以点是的垂心，正确； 选项，由，分别表示在，方向上的单位向量，则它们的和向量在的平分线上， 又，所以的角平分线垂直于，根据等腰三角形性质可得. 因为，所以根据数量积的定义， ，所以，因此为等边三角形，正确. 题型5：垂心定理 【例5.1.】 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用、向量的运算 【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为， 所以，同理，， 所以为的垂心。 因为四边形的对角互补，所以， ． 同理，， ， ． ， ． 又 ． 由奔驰定理得. 故选C． 【例5.2.】 (多选)如图，已知是内一点，三角形、、的面积分别为、、，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是（    ）    A．是的垂心 B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】由可得，同理可证所以选项A正确.利用直角三角形得到可得选项C错误. 再由选项C和利用向量的数量积公式展开可得B选项正确.由B选项正确和利用三角形面积公式代入化简可得D选项正确. 【详解】因为，所以则 同理可证得：所以是的垂心.选项A正确. 延长交于两点.    由选项A可知，所以 所以又因为所以选项C错误. 由C选项可知， 同理可得 又因为，所以 所以选项B正确. 由C可知， 同理可得 所以又因为 所以因为 所以，选项D正确. 故答案为：ABD. 【例5.3.】 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】三角形的心的向量表示、向量的线性运算的几何应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 【例5.4.】 已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、数量积的运算律 【分析】由垂心的性质得到向量的数量积，解方程组求得，最后求. 【详解】因为是的垂心，所以， 因为， 所以， ，即，即， ， ， ， 所以， . 【例5.5.】 （多选）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】向量在几何中的其他应用、数量积的运算律、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解. 【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 三角形四心及奔驰定理 目录 题型1：奔驰定理 3 题型2：重心定理 4 题型3：内心定理 5 题型4：外心定理 6 题型5：垂心定理 7 1. 奔驰定理 为内一点，且，则、、的面积之比等于。 2. 三角形四心与推论 (1) 重心：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1。 设为的重心，则 ①； ②. (2) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。 设是的内心，则 ①； ②； ③（为平面内任意一点）； ④三角形的内心在向量所在的直线上（在的平分线所在的直线上）. (3) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 设是的外心，则 ①； ②. (4) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直。 设是的垂心，则 ①； ②. ③三角形的垂心在向量所在的直线上（在边上的高所在的直线上）. 题型1：奔驰定理 【例1.1.】 设点在内部，且，则 __________． 【例1.2.】 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如图，中，点满足与交于点，延长交于点，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 (多选)悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（    ） A．点在的内部 B．点是的重心 C． D． 题型2：重心定理 【例2.1.】 在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【例2.2.】 在中，是的重心，点满足，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【例2.4.】 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【例2.5.】 已知，为中不同的两点，且，，则为________． 题型3：内心定理 【例3.1.】 平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例3.2.】 点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【例3.3.】 A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例3.4.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 设的内心为，而且满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型4：外心定理 【例4.1.】 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【例4.2.】 （多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【例4.3.】 已知的外心为，，则________． 【例4.4.】 （多选）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【例4.5.】 (多选)在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．满足，则点是的外心 B．满足，则点是的内心 C．满足，则点是的垂心 D．满足，且，则为等边三角形 题型5：垂心定理 【例5.1.】 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 (多选)如图，已知是内一点，三角形、、的面积分别为、、，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是（    ）    A．是的垂心 B． C． D． 【例5.3.】 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【例5.4.】 已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 （多选）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $