奔驰定理与四心问题 专题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦奔驰定理及三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的向量性质，从定理证明与推论切入，延伸至四心各自的向量表达式和几何意义，构建从基础定理到具体应用的学习支架。 特色在于以向量为工具联结几何与代数，通过多样化题型（如面积比计算、四心判定）引导学生用数学眼光观察图形关系，用数学思维推理向量表达式的合理性，用数学语言精确描述几何性质。课中辅助教师清晰呈现知识脉络，课后帮助学生通过题型训练巩固理解，弥补知识盲点。

奔驰定理与四心问题 目录 题型1：奔驰定理 3 题型2：重心问题 5 题型3：外心问题 5 题型4：内心问题 6 题型5：垂心问题 6 1. 奔驰定理：为内一点，且，则、、的面积之比等于。 证明：如图，为内一点，延长交于点。 所以 又， 故 2. 奔驰定理推论：，则 ①； ②. 3. 重心：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1。 设为的重心，则 ①； ②. 4. 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。 设是的内心，则 ①； ②； ③（为平面内任意一点）； ④三角形的内心在向量所在的直线上（在的平分线所在的直线上）。 5. 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 设是的外心，则 ①； ②. 6. 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直。 设是的垂心，则 ①； ②. ③三角形的垂心在向量所在的直线上（在边上的高所在的直线上）。 题型1：奔驰定理 【例1.1.】 已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 设P为内一点，且，则________． 【例1.3.】 若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【例1.5.】 设M为内一点，且，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【例1.6.】 设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【例1.9.】 已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【例1.10.】 已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 题型2：重心问题 【例2.1.】 已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【例2.2.】 在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【例2.3.】 （多选）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型3：外心问题 【例3.1.】 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【例3.2.】 已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例3.3.】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 题型4：内心问题 【例4.1.】 在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【例4.2.】 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【例4.3.】 点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【例4.4.】 在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【例4.5.】 在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 题型5：垂心问题 【例5.1.】 如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【例5.3.】 已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例5.4.】 已知的外接圆的圆心是M，若，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【例5.5.】 已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【例5.6.】 “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 奔驰定理与四心问题 目录 题型1：奔驰定理 3 题型2：重心问题 11 题型3：外心问题 13 题型4：内心问题 14 题型5：垂心问题 18 1. 奔驰定理：为内一点，且，则、、的面积之比等于。 证明：如图，为内一点，延长交于点。 所以 又， 故 2. 奔驰定理推论：，则 ①； ②. 3. 重心：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1。 设为的重心，则 ①； ②. 4. 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。 设是的内心，则 ①； ②； ③（为平面内任意一点）； ④三角形的内心在向量所在的直线上（在的平分线所在的直线上）。 5. 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 设是的外心，则 ①； ②. 6. 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直。 设是的垂心，则 ①； ②. ③三角形的垂心在向量所在的直线上（在边上的高所在的直线上）。 题型1：奔驰定理 【例1.1.】 已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量的线性运算的几何应用 【分析】由，由“奔驰定理”：可知成立并进行证明，利用对应系数相等得到面积比，求解即可. 【详解】    如图，延长交于点，设， 易知，可得， 又，得，故， 可知， 同理，可得， 结合可得， 整理得成立， 而由题意得，故， 设即，，故，故C正确. 故选：C 【例1.2.】 设P为内一点，且，则________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】设的中点是，连接，根据平面向量线性运算法则，得到，即可求得. 【详解】设的中点是，连接，由，可得， 因为，所以，所以， 所以为的三等分点（靠近点的分点），即， 所以． 故答案为：. 【例1.3.】 若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、向量在几何中的其他应用 【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到. 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 【例1.4.】 点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【详解】方法一：由“奔驰定理”得， ， 设，则. 由，所以菱形ABCD的面积与的面积的比为. 方法二：如图，设中点为，中点为， 因为，即，则， 即， 则， 所以的面积与的面积的比值是6. 故选：B. 【例1.5.】 设M为内一点，且，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 方法一：点M是△ABC所在平面内一点，且满足， 则，即， 由“奔驰定理”得， ， 设，故. 方法二：如图所示， ∵点M是△ABC所在平面内一点，且满足， 以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，， 则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比， 所以． 故选：A 【例1.6.】 设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】将已知条件中的化简成，再利用奔驰定理即可求解. 【详解】为三角形内一点，且满足， ， ， 由奔驰定理知，， ， 故选：D． 【例1.7.】 如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：因为是边的中点，所以，即. 又,所以，即. 由“奔驰定理”得，， 设，故. 方法二：由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 【例1.8.】 已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解. 【详解】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 【例1.9.】 已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 【例1.10.】 已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量在几何中的其他应用 【分析】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 题型2：重心问题 【例2.1.】 已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形的心的向量表示、平行向量（共线向量）、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由给定条件可得，由表示出即可判断作答. 【详解】令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则， 因此，，即， 所以动点的轨迹一定通过的重心. 故选：D 【例2.2.】 在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形的心的向量表示、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 【例2.3.】 （多选）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】三角形的心的向量表示 【分析】因为G为的重心，利用重心的性质依次判断ABCD即可. 【详解】G为的重心（三角形三条中线的交点）， ，而不一定相等， 故不能推出，A错误； 如图：设的中点分别为 则，，，B正确； ，； 同理可得,，C错误； ，D正确. 故选：BD 题型3：外心问题 【例3.1.】 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心 【分析】为的中点，由得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故选：B 【例3.2.】 已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形的心的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 【例3.3.】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、用向量证明线段垂直 【分析】设的中点为，两端同时点乘，由可得答案. 【详解】设的中点为， 因为， 所以， 即，两端同时点乘， 所以 ， 所以， 所以点在的垂直平分线上，即经过的外心. 故选：B. 题型4：内心问题 【例4.1.】 在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 【例4.2.】 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、根据向量关系判断三角形的心、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 【例4.3.】 点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【难度】0.85 【知识点】三角形的心的向量表示 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 【例4.4.】 在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果. 【详解】 因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心 故选:A 【例4.5.】 在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出是的内心. 【详解】过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示， 由于， 根据奔驰定理就有： ， 即， 因此，故点是的内心，B选项正确. 故选：B    题型5：垂心问题 【例5.1.】 如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 【例5.2.】 设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形的心的向量表示 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 【例5.3.】 已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 【例5.4.】 已知的外接圆的圆心是M，若，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用 【解析】由题意画出相关示意图，、分别是、的中点，连，，，根据向量在几何图形中的应用有，即得与共线即可知P与的关系. 【详解】 如图，、分别是、的中点，连，，，则有，而， ∴，即有，有与共线， ∵的外接圆的圆心是M，有，则，同理有，， ∴P是的垂心. 故选：D. 【例5.5.】 已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心 【分析】计算的值，可得出结论. 【详解】因为， ， ，因此，点的轨迹经过的垂心， 故选：D. 【例5.6.】 “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、向量在几何中的其他应用 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $