期末高频考点专练2025-2026学年人教版（五四制）数学八年级下册（32考点）

**基本信息** 聚焦八年级下册32个高频考点，以题载法构建“概念理解-技巧应用-综合突破”三阶训练体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|16考点|勾股定理分类讨论、四边形性质判定综合、折叠与最短路径模型|从直角三角形到特殊四边形，构建“性质-判定-应用”逻辑链| |函数与方程|16考点|一次函数解析式求法、与不等式综合应用、一元二次方程根的判别式及应用|从常量变量到函数建模，形成“概念-图象-应用”递进关系|

期末高频考点专练2025-2026学年人教版（五四制） 八年级下册（32考点） 考点1：用勾股定理求值 1．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 2.如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 3．平面直角坐标系内，点到原点的距离是（    ） A． B．2 C． D．4 4.等腰三角形的两条边长分别为10和16，那么该等腰三角形底边上的高为 ． 5．如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．    考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.如图，在中，，，，以为边作正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是（    ） A．1 B．5 C．7 D． 3.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，分别以为边在的同侧作正方形，若四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（    ） A．36 B．24 C．48 D．72 5.如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 考点3：勾股定理与网格问题 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 3.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 　 　． 4．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 考点4：勾股数与直角三角形的判断 1.下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 2.在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 3.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．在△ABC中，若ac，bc．则△ABC为直角三角形 B．三边长的平方之比为1：2：3 C．三内角之比为3：4：5 D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1） 4.已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0． （1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　（用科学记数法表示结果）； （2）求整式A2﹣B2； （3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 考点5：勾股定理及其逆定理的应用 1．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 2.一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 3.如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（　　） A．6m B．8m C．10m D．18m 4．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 5.如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 　 　尺． 6.如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则________． 7.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 8.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 考点6：平行四边形的性质 1．以下平行四边形的性质错误的是（　　） A．对边平行 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相垂直 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　 　． 4.如图，在▱ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为 　 　． 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点7：平行四边形的判定 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC 2.下列∶∶∶的值中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．∶∶∶ B．∶∶∶ C．∶∶∶ D．∶∶∶ 3.已知A，B，C三点的坐标分别是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（    ） A．(，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，) 4.如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　　） A． B． C． D． 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 考点8：平行四边形的性质与判定综合 1.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 2.如图，已知▱ABCD，AC、BD相交于点O，延长CD到点E，使CD＝DE，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接BE，交AD于点F，连接OF，判断CE与OF的数量关系，并说明理由． 考点9：矩形的性质 1.矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 2.如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（　　） A．18° B．36° C．45° D．72° 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　 　． 5.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 考点10：矩形的判定 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC C．∠BAO＝∠OBA D．∠BOA＝90° 2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． 考点11：矩形的性质与判定综合 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝∠DBC． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠ACB＝30°，求BC的长． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积． 考点12：菱形的性质 1.下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（　　） A．6 B．8 C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向右作菱形，点D在x轴上，则点C的坐标是 ． 4．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 5.如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 考点13：菱形的判定 1.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 2．如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 4.如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 考点14：菱形的性质与判定综合 1.如图，在中，且的周长为20，对角线，则的面积为（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 2.如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 5.如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 考点15：正方形的性质 1.正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．如图，四边形为正方形，E为上一点，于点F，连接，设，若，则可表示为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 4.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 5．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 考点16：正方形的判定 1.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 2.如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 考点17：正方形的性质与判定综合 1．如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CEDF为正方形； （2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长． 考点18：常量与变量 1.下列说法不正确的是（　　） A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量 2．小强同学在超市买某种水果，下图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ）    A．重量和金额 B．单价和金额 C．重量和单价 D．重量、单价和金额 3．某地区的居民生活用电为0.52元/千瓦时，小亮家用电量为x千瓦时，所付费电费为y元，其中常量是 ，变量是 . 4．函数的自变量的取值范围是 ． 考点19：函数 1.变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列不能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D． 3.某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示： 支撑物高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（　　） A．支撑物的高度为50cm，小车下滑的时间为1.89s B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间越小 C．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同 D．若小车下滑的时间为2.5s，则支撑物的高度在20cm至30cm之间 4．某地高山上温度从山脚起每升高100米降低，已知山脚下温度是，则温度与上升高度x（米）之间关系式为　 　． 5．用如图所示的图象表示龟兔赛跑的过程，其中x轴表示时间（单位：小时），y轴表示距离（单位：千米），如果在比赛进行到小时后开始追赶，乌龟3个小时刚好跑完全程，为了不输给乌龟，兔子跑后面一段距离的速度至少为 千米/小时．    考点20：正比例函数与一次函数的概念 1.下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1 2.下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 3.一次函数y＝（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（　　） A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝1 D．m＝2且n＝1 4．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（　　） A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 考点21：正比例函数的图象与性质 1．正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2.已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 3.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 考点22：一次函数经过的图象与性质 1.关于一次函数y＝﹣x+1的描述，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（﹣2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与y轴的交点坐标是（0，1） 2.一次函数的图象与x轴交于正半轴，则k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 3.已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.在函数y＝kx（k＞0）的图象上有点A1（x1，y1），A2（x2，y2），已知x1＜x2，则下列各式中正确的是（　　） A．y1＜y2 B．y2＜y1 C．y2＝y1 D．y1＝y2＝0 5.已知kb＞0，且b＜0，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 6.若正比例函数y＝（2﹣m）x|m﹣2|，y随x的增大而减小，则m的值是　 　． 7.若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 考点23：一次函数的解析式 1.点（1，5）、（﹣1，1）均在一次函数y＝kx+b的图象上，则k和b的值分别是（　　） A．1，3 B．2，3 C．3，2 D．2，1 2.将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 3.若点P（6，﹣3）在正比例函数y＝kx的图象上，则k＝　 　． 4.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 5.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 考点24：一次函数与方程（组） 1．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3），关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） 2.在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 3.画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（　　） x ﹣3 0 1 3 4 y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4 A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3 4.如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 5.若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）﹣b＝0的解为（　　） A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5 考点25：一次函数与不等式（组） 1.如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点．直接写出的解集（    ） A． B． C． D． 3．对于一次函数y1＝3x﹣2和y2＝﹣2x+8，当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　． 4.若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＜0的解集是 　 ． 5.一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 　 　． 考点26：一次函数应用题 1.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4） 2．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 3．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润日销售量一件产品的销售利润．下列结论错误的是（　　）    A．第24天的日销售量为200件B．第12天的日销售利润是1950元 C．第30天的日销售利润是5元D．第10天销售一件产品的利润是15元 4.甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 　 　千米． 5．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： (1)该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； (2)求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； (3)若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 考点27：一次函数与几何综合 1.如图，直线y＝﹣x+3分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．则直线BC的解析式为（　　） A．y＝﹣3x+3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+3 2.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（0，4），B（3，0）．则点D的坐标为 　 　，直线AC的函数表达式为 　 　． 3．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点． (1)求函数 y1、y2的解析式． (2)求△ABC的面积． (3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 考点28：一元二次方程的概念与解 1．下列是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x 3．若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a+b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 4.若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2＝0的一个根是x＝1，则代数式m+n的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 5．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 考点29：解一元二次方程 1.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 2.关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 3.一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4.已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 5.（1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 6.解方程： (1)；(2)． 考点30：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（   ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 2．方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3.关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________ ． 5.已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当时，用合适的方法求此时该方程的解． 考点31：一元二次方程的根与系数的关系 1.若一元二次方程x2﹣5x﹣7＝0有两实数根x1和x2，下列选项正确的是（    ） A．x1＋x2＝﹣5 B．x1x2＝7 C．x1＝x2 D．x1x2﹣x1﹣x2＝﹣12 2.若一元二次方程的两根为，，则的值是（    ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 3.已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1 4.若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式的值等于 　 　 ． 5.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 考点32：一元二次方程应用题 1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（        ） A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121 2．九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 个． 4．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过_________秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的． 5．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． (1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； (2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 【答案】 期末高频考点专练2025-2026学年人教版（五四制） 八年级下册（32考点） 考点1：用勾股定理求值 1．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 【答案】D 2.如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 3．平面直角坐标系内，点到原点的距离是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 4.等腰三角形的两条边长分别为10和16，那么该等腰三角形底边上的高为 ． 【答案】6或 5．如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．    【答案】9.6 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.如图，在中，，，，以为边作正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是（    ） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】C 3.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．如图，在中，，，，分别以为边在的同侧作正方形，若四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（    ） A．36 B．24 C．48 D．72 【答案】B 5.如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 考点3：勾股定理与网格问题 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 　 　． 【答案】：45°． 4．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 【答案】 考点4：勾股数与直角三角形的判断 1.下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 【答案】C 2.在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 3.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．在△ABC中，若ac，bc．则△ABC为直角三角形 B．三边长的平方之比为1：2：3 C．三内角之比为3：4：5 D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1） 【答案】C． 4.已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0． （1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　（用科学记数法表示结果）； （2）求整式A2﹣B2； （3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 【答案】解：（1）A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2， 当n＝1999时， 原式＝（1999+1）2 ＝20002 ＝4×106； 故答案为：4×106； （2）A2﹣B2＝（n2+1）2﹣（2n）2 ＝（n2）2+2n2+1﹣4n2 ＝（n2）2﹣2n2+1 ＝（n2﹣1）2； （3）嘉淇的发现正确，理由如下： ∵B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2 ＝4n2+（n2）2﹣2n2+1 ＝（n2+1）2， ∴B2+C2＝A2， ∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数． 考点5：勾股定理及其逆定理的应用 1．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 【答案】C 2.一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 【答案】C 3.如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（　　） A．6m B．8m C．10m D．18m 【答案】C． 4．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 5.如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 　 　尺． 【答案】13． 6.如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则________． 【答案】5 7.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 8.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【答案】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 考点6：平行四边形的性质 1．以下平行四边形的性质错误的是（　　） A．对边平行 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相垂直 【答案】D． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C． 3．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　 　． 【答案】14或22． 4.如图，在▱ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为 　 　． 【答案】22°． 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 考点7：平行四边形的判定 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC 【答案】B． 2.下列∶∶∶的值中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．∶∶∶ B．∶∶∶ C．∶∶∶ D．∶∶∶ 【答案】D 3.已知A，B，C三点的坐标分别是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（    ） A．(，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，) 【答案】D 4.如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 【答案】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE． 考点8：平行四边形的性质与判定综合 1.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）30°． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DCE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA， ∴ED∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF， ∵AB＝DC＝DF， ∴AB＝BE， ∴∠BEA＝∠BAC＝80°， ∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°． 2.如图，已知▱ABCD，AC、BD相交于点O，延长CD到点E，使CD＝DE，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接BE，交AD于点F，连接OF，判断CE与OF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）解：CE与OF的数量关系为：CE＝4OF，理由如下： 由（1）得：四边形ABDE是平行四边形， ∴BF＝EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OF是△BDE的中位线， ∴DE＝2OF， ∵CD＝DE， ∴CE＝2DE， ∴CE＝4OF． 考点9：矩形的性质 1.矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】A 2.如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（　　） A．18° B．36° C．45° D．72° 【答案】C 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5 【答案】D 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　 　． 【答案】4． 5.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 考点10：矩形的判定 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC C．∠BAO＝∠OBA D．∠BOA＝90° 【答案】D 2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 【答案】B． 3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【答案】DE＝FG（答案不唯一）． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝AC，OB＝BD， ∵四边形AEBO是菱形， ∴OA＝OB， ∴AC＝BD， 考点11：矩形的性质与判定综合 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝∠DBC． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠ACB＝30°，求BC的长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC， ∴BO＝CO， ∵四边形是ABCD平行四边形， ∴AC＝2OC，BD＝2OB， ∴AC＝BD， 平行四边形ABCD是矩形； （2）∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝2×2＝4， ∴． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）20． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥EB， 又∵DF＝EB， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵DE⊥AB， ∵AF平分∠DAB，DC∥AB， ∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝FD＝5， ∵AB＝CD，DF＝BE， ∴AE＝CF＝3， ∴DE＝＝4， ∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20， 即矩形BFDE的面积是20． 考点12：菱形的性质 1.下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向右作菱形，点D在x轴上，则点C的坐标是 ． 【答案】 4．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 5.如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 考点13：菱形的判定 1.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【答案】C． 2．如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 3.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 【答案】①③或③① 4.如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 考点14：菱形的性质与判定综合 1.如图，在中，且的周长为20，对角线，则的面积为（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 【答案】B 2.如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 4．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 2 5.如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 考点15：正方形的性质 1.正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【答案】B 2．如图，四边形为正方形，E为上一点，于点F，连接，设，若，则可表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 【答案】B 4.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 5．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 考点16：正方形的判定 1.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 2.如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 考点17：正方形的性质与判定综合 1．如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 3.如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CEDF为正方形； （2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴四边形FCED是矩形， 又∵∠A，∠B的平分线交于D点， ∴DF＝DE＝DN， ∴矩形FCED是正方形； （2）解：∵AC＝12，BC＝16，∠C＝90°， ∴AB20， ∵四边形CEDF为正方形， ∴DF＝DE＝DN， ∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC， 则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC， 故． 考点18：常量与变量 1.下列说法不正确的是（　　） A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量 【答案】D． 2．小强同学在超市买某种水果，下图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ）    A．重量和金额 B．单价和金额 C．重量和单价 D．重量、单价和金额 【答案】A 3．某地区的居民生活用电为0.52元/千瓦时，小亮家用电量为x千瓦时，所付费电费为y元，其中常量是 ，变量是 . 【答案】0.52 x，y 4．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 考点19：函数 1.变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 2.下列不能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】B 3.某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示： 支撑物高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（　　） A．支撑物的高度为50cm，小车下滑的时间为1.89s B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间越小 C．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同 D．若小车下滑的时间为2.5s，则支撑物的高度在20cm至30cm之间 【答案】C． 4．某地高山上温度从山脚起每升高100米降低，已知山脚下温度是，则温度与上升高度x（米）之间关系式为　 　． 【答案】 5．用如图所示的图象表示龟兔赛跑的过程，其中x轴表示时间（单位：小时），y轴表示距离（单位：千米），如果在比赛进行到小时后开始追赶，乌龟3个小时刚好跑完全程，为了不输给乌龟，兔子跑后面一段距离的速度至少为 千米/小时．    【答案】 考点20：正比例函数与一次函数的概念 1.下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1 【答案】C 2.下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 3.一次函数y＝（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（　　） A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝1 D．m＝2且n＝1 【答案】A 4．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（　　） A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 【答案】D． 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 【答案】解：（1）当m2＝1且m﹣1≠0时，y＝（m﹣1）n是一次函数， 即：m＝﹣1． 答：当m＝﹣1时，y＝（m﹣1）n是一次函数； （2）当m2＝1且m﹣1≠0，且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数， 即：m＝﹣1且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数． 考点21：正比例函数的图象与性质 1．正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 2.已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 3.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】D 考点22：一次函数经过的图象与性质 1.关于一次函数y＝﹣x+1的描述，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（﹣2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与y轴的交点坐标是（0，1） 【答案】D． 2.一次函数的图象与x轴交于正半轴，则k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 3.已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B． 4.在函数y＝kx（k＞0）的图象上有点A1（x1，y1），A2（x2，y2），已知x1＜x2，则下列各式中正确的是（　　） A．y1＜y2 B．y2＜y1 C．y2＝y1 D．y1＝y2＝0 【答案】A． 5.已知kb＞0，且b＜0，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【答案】C 6.若正比例函数y＝（2﹣m）x|m﹣2|，y随x的增大而减小，则m的值是　 　． 【答案】3． 7.若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 考点23：一次函数的解析式 1.点（1，5）、（﹣1，1）均在一次函数y＝kx+b的图象上，则k和b的值分别是（　　） A．1，3 B．2，3 C．3，2 D．2，1 【答案】B． 2.将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 【答案】D 3.若点P（6，﹣3）在正比例函数y＝kx的图象上，则k＝　 　． 【答案】﹣． 4.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 【答案】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx， ∵图象经过点（﹣3，6）， ∴﹣3k＝6， 解得k＝﹣2， 所以，此函数的关系式是y＝﹣2x； （2）把x＝﹣6代入解析式可得：y＝12； （3）把y代入解析式可得：x． 5.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 【答案】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2）， 把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2）， 解得：k＝2． 则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5； （2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5 解得m＝﹣2． 考点24：一次函数与方程（组） 1．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3），关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝0 D．不能确定 【答案】A． 2.在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 3.画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（　　） x ﹣3 0 1 3 4 y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4 A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3 【答案】D． 4.如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【答案】A． 5.若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）﹣b＝0的解为（　　） A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5 【答案】C． 考点25：一次函数与不等式（组） 1.如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点．直接写出的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．对于一次函数y1＝3x﹣2和y2＝﹣2x+8，当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　． 【答案】即x的取值范围为x＞2． 4.若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＜0的解集是 　 ． 【答案】x＞﹣2． 5.一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 　 　． 【答案】x＞5． 考点26：一次函数应用题 1.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4） 【答案】A 2．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【答案】A 3．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润日销售量一件产品的销售利润．下列结论错误的是（　　）    A．第24天的日销售量为200件B．第12天的日销售利润是1950元 C．第30天的日销售利润是5元D．第10天销售一件产品的利润是15元 【答案】C 4.甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 　 　千米． 【答案】150． 5．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： (1)该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； (2)求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； (3)若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 【答案】(1)，； (2)； (3)吨． 【详解】（1）解：∵(元吨)， ∴不超过吨时，每吨收费元， ∵(元吨)， ∴超过吨时，每吨收费元， 故答案为：，； （2）解：当时，设， 把，代入得，， 解得， ∴； 当时，设， 把，代入得， ， 解得， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； （3）解：∵ ， ∴用水量超过吨， 把代入得， ， 解得， 答：该户居民用水吨． 考点27：一次函数与几何综合 1.如图，直线y＝﹣x+3分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．则直线BC的解析式为（　　） A．y＝﹣3x+3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+3 【答案】B． 2.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（0，4），B（3，0）．则点D的坐标为 　 　，直线AC的函数表达式为 　 　． 【答案】（4，7）；y＝﹣x+4． 3．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点． (1)求函数 y1、y2的解析式． (2)求△ABC的面积． (3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3)或或或 【详解】（1）解：把A（0，3），C（3，0）代入y2＝k2x＋b2得， 解得：， 故函数y2的函数关系式y2＝−x＋3； 把A（0，3），B（1，0）代入y1＝k1x＋b1得， 解得：， 故y1的函数关系式为：y1＝−3x＋3． （2）解：， ． （3）解：∵OA＝OC＝3， ∴， ①当时，， ∴P1（−3，0）； ②当时，， ∴P2； ③当时，P在AC的垂直平分线上， ∴P与O重合， ∴P3（0，0）， ④当时，， ∴P4； 综上所述：P点坐标为：或或或． 考点28：一元二次方程的概念与解 1．下列是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x 【答案】A． 3．若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a+b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 【答案】B． 4.若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2＝0的一个根是x＝1，则代数式m+n的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【答案】C． 5．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 【答案】0． 考点29：解一元二次方程 1.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 【答案】A 2.关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 3.一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4.已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 【答案】C． 5.（1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 【答案】（1），；（2）， 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 解得，； （2）， ，，， ， ， ，． 6.解方程： (1)；(2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得，． 考点30：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（   ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 2．方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 3.关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________ ． 【答案】且 5.已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当时，用合适的方法求此时该方程的解． 【答案】（1）解：由题意得:＞0，即：，，解得：，∵该方程为一元二次方程，∴，∴当，且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当m＝2时，方程为，∵＝9＋4×2×2＝25＞0，∴，∴，． 考点31：一元二次方程的根与系数的关系 1.若一元二次方程x2﹣5x﹣7＝0有两实数根x1和x2，下列选项正确的是（    ） A．x1＋x2＝﹣5 B．x1x2＝7 C．x1＝x2 D．x1x2﹣x1﹣x2＝﹣12 【答案】D 2.若一元二次方程的两根为，，则的值是（    ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 【答案】A 3.已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1 【答案】D 4.若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式的值等于 　 　 ． 【答案】2032． 5.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m ＝m2+8m+16﹣8m ＝m2+16＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m， ∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m， ∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m， 解得m＝1或4， 即m的值为1或4． 考点32：一元二次方程应用题 1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（        ） A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121 【答案】C 2．九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 【答案】12 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 个． 【答案】8． 4．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过_________秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的． 【答案】3 5．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． (1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； (2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 【答案】(1) 设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%． (2) 设每台降价y元，则四月份可售出台， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元． 学科网（北京）股份有限公司 $