广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高考考前适应性考试数学试卷

**基本信息** 聚焦高考模拟预测，覆盖集合、函数、几何等主干知识，通过农家乐园抽奖等真实情境和数域概念辨析等创新题型，考查数学眼光、思维与语言，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、函数奇偶性、向量投影|第8题以数域概念辨析考查创新意识| |多选题|3题|数列性质、三角函数、圆锥截面|第11题结合圆锥截面图形考查几何直观| |填空题|3题|导数几何意义、解三角形、条件概率|第14题以辩论大赛选拔为背景考查数据意识| |解答题|5题|数列、导数应用、立体几何、概率统计、解析几何|第18题农家乐园抽奖模型考查模型观念，第19题双曲线综合题考查逻辑推理|

2025-2026学年度第二学期高考考前适应性考试 数学试卷参考答案 1．C 【详解】集合中元素是非负实数，而集合中元素是直线上的点，所以. 2．A 【详解】， ． 故选：A． 3．C 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以, 当时，，则, 则, 所以。 4．D 【详解】向量在向量上的投影向量为， 因为，所以，代入可得： ，所以， 则. 5．B 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 6．A 【详解】令则①， 令则②， ②-①得：． 7．B 【详解】由表格可知，分数段的占比为，分数段的占比为，该区间的分数范围是分. 110分与90分的差值为分，因此分在的占比为：. 将低于分的占比与分在区间内的占比相加，即110分对应的百分位数为第百分位数. 8．A 【详解】当，且时，， 所以0是任何数域的元素，故①正确； 当，且时，由数域的定义知， 所以，故②正确； 当时，，故③错误； 如果，那么，且当时，，所以有理数集是一个数域，故④正确． 故选：A. 9．BC 【详解】选项A：，解得，，故A错误. 选项B：，，计算得：，，数列为常数列，常数列是公差为的等差数列，故B正确. 选项C：等比数列前项和公式：，代入得：，化简：，，解得，，则，故C正确. 选项D：若数列的公比，则，矛盾，故， 由已知，解得，，故D错误. 10．AC 【详解】根据三角函数定义得，，故A正确； 由二倍角公式得，故B错误； 由，故C正确； 因为角的终边过点，所以， 解得， 当时，，此时，， 由两角和的正弦公式得，故D错误. 11．AD 【详解】由题意底面半径为1，圆锥高， 对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为， 为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误. 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得，解得， 所以，故双曲线的离心率为，D正确. 12．5 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，即切点为 所以将代入直线方程得，解得． 13．3 【详解】在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为：3． 14． 【详解】设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”,事件“两名去年参赛的都被选中”, 则， 则，即所求概率为. 故答案为：． 15．【详解】（1）由已知得， 显然，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即. （2）由题意知， 所以 ． 16．【详解】（1）依题意，有． 令，得，得， 令，得，得． 因此单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）易知，记． 由题意知，则， 从而． 当时，，，则， 因此，在区间上单调递减，． 当时，． 17．【详解】（1）思路一： 由BC是直径可知，则是等腰直角三角形，故， 由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面，则平面， 而平面，则， 因为，则，所以， ， 所以， 所以，即， 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面. 思路二：因为，则，，， 所以， 所以，即， 同理可证， 在二面角中且， 所以为二面角的平面角， 由思路一知，所以二面角为直二面角，即平面平面 （2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 由（1）知平面，故平面的一个法向量是， 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得 设平面与平面夹角为， 所以， 则平面与平面夹角的大小为. 18．【详解】（1）设“第1次取出红球”为事件 ，则 ， 设“第2次取出红球”为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 19．【详解】（1）双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上， 则，所以； （2）设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上， 所以， （i）因为P，Q在双曲线E上，所以， 作差可得，即， 因为M是的重心，所以，即，， 又因为直线PQ的斜率为2，所以，即， 代入解得， 所以双曲线E的方程为； （ii）因为，当直线PQ不垂直于y轴，设直线PQ的方程为， 代入，化简得， 所以， 因为，所以，即， 即， 化简得， 所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切； 当直线PQ垂直于y轴，易得，直线PQ也与该圆相切； 所以存在定圆与直线PQ相切. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年度第二学期高考考前适应性考试 数 学 试 卷 一、单选题 1．已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（    ） A． B．1 C． D．3 4．已知向量 ，且向量在向量上的投影向量为 ，则（    ） A． B． C．5 D．10 5．已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（    ） A．40%分位数 B．60%分位数 C．75%分位数 D．85%分位数 8．当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 二、多选题 9．设数列的前n项和为．下列说法正确的是（ ） A．若是等差数列，且，，则公差为2 B．若，，则数列是等差数列 C．若是等比数列，且，公比，，则 D．若是等比数列，且，则公比为 10．已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 三、填空题 12．若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 13．在中，，，，则__________. 14．某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛．现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是__________. 四、解答题 15．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设函数，求． 16．已知函数，为的导函数． (1)求的单调区间； (2)记，．当时，证明：． 17．如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 18．某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动．抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元． (1)求顾客第2次取出红球的概率； (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X)； (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答2个问题，最多回答3个问题，若前2个问题至少回答正确1个，则不再回答第3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第3个问题，且第1个问题回答正确奖励6元，第2个和第3个问题回答正确均奖励12元．已知顾客甲正确回答这3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立．为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案？请说明理由． 19．已知双曲线E的方程为，是一个定点． (1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率； (2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点． （i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程； （ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切． 学科网（北京）股份有限公司 $