福建龙岩市上杭县第一中学2026届高三5月月考数学试题

**基本信息** 聚焦高三5月复习备考，以“六艺”文化、机器人比赛等真实情境为载体，通过分层设计全面考查数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数模、向量数量积、解三角形|第7题结合“六艺”文化考查排列组合，体现文化传承| |多选题|3/18|不等式解集、函数奇偶性与单调性、立体几何动态问题|第11题以正方体为载体考查空间轨迹，凸显几何直观| |填空题|3/15|双曲线离心率、代数式最值、解三角形应用|第12题通过焦点与渐近线关系考查双曲线性质，强调数形结合| |解答题|5/77|平面几何面积、导数与数列不等式、立体几何夹角、圆与轨迹方程、概率统计|第19题设计机器人比赛积分模型，考查数学建模与概率计算，呼应科技前沿|

2026届高三数学5月月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C C A C AC ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】由Venn图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据集合间的运算求解. 【详解】因为全集，集合，则或，且集合， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：B. 2．B 【分析】利用复数乘除法运算求出复数，得到共轭复数，再作差求解即可. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：B. 3．B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 4．C 【分析】结合角的范围，根据平方关系式及两角和的正弦公式求得结果. 【详解】∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或，又， ∴根据三角形内角和得. ∴， ∴， . 故选：C. 5．C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 6．C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 7．A 【分析】根据题意“礼”的次序一定，因此分类考虑“射”的次序排法，再考虑“数”以及“御”的次序牌法，根据分类加法计算原理可求得答案. 【详解】由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有种次序， 当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列， 此时有种次序， 故“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种， 故选：A． 8．C 【分析】根据已知得，构造函，根据单调性定义知在上单调递增，利用复合函数的单调性法则转化为：函数在上单调递增，且恒成立，然后利用指数函数的性质列不等式求解即可． 【详解】即， 即， 令，由，得，从而， 记， 由及得，在上单调递增， 令， 又在上单调递增，由复合函数单调性可知， 函数在上单调递增，且恒成立， 故，则， 故实数a的取值范围为． 故选：C. 9．AC 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确， 对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误， 对于C, ，C正确， 对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误， 故选：AC 10．ABD 【分析】根据已知等式推导出函数的表达式，再逐一分析选项即可. 【详解】令，得． 又，所以. 选项A：，，，A正确． 选项B：因为，当且仅当时，等号成立，所以B正确． 选项C：因为，所以， 该函数的图象关于直线对称，而非y轴，C错误． 选项D：因为，所以的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，则，即. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式可化为，解得或，D正确． 故选：ABD 11．ABC 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积等于0判断A项；通过证明平面判断M到平面的距离为定值即得；利用向量夹角的坐标公式求出直线与直线所成的角的余弦值表达式，由函数的单调性即可判断C项；结合图形先作出三棱锥外接球的球心，求得其半径，由题意判断点M的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，计算其周长即得. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，因，，则， 即，所以，又， 所以， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以点M在直线上， 又因为，，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，则平面， 故M到平面的距离为定值，又的面积为定值，即三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，点P为的中点，坐标为，点M的坐标为， 向量，向量， 设直线与直线所成的角为，因为， 则， 故当时，，则， 又因余弦函数在第一象限单调递减，故直线与直线所成角的最小值为45°，即C正确； 对于D，因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形， 过的中点N作平面，是三棱锥外接球的球心， 因为平面，所以，又， 所以三棱锥外接球的半径， 因为点M在平面内，又在三棱锥外接球的表面上， 所以M的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆， 又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为， 所以M的轨迹的周长为，故D错误. 12． 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 13．. 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，求出关系式，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意，可得：，， 当且仅当时取等号. 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查了对数式与指数式的互化公式，考查了数学运算能力. 14． / 【分析】将利用正弦定理边化角求得求解第一空，由题可得，平方结合数量积运算求得，利用三角形面积公式得解第二空即可. 【详解】第一空：因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以，因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以， 第二空：因为，所以， 所以，两边平方得， 即，解得， 又，所以. 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出边，即可得三边长，再由勾股定理得出为直角三角形，得出，然后得到为直角，用三角形面积公式即可得到答案. （2）由余弦定理表示出边，即可得三边长，再由余弦定理和正弦定理得到的正弦值和余弦值，先将的面积表示出来，在由三角函数和差角公式化简，由三角函数的性质得到最大值. 【详解】（1）在中， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. （2）在中， ∴， ∴， ∵， 由正弦定理可得：，解得：， ∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故求的面积的最大值为：. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得切线方程，令可得； （2）由（1）可得.方法一，利用错位相减求和可得答案；方法二，利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）因为，则， 所以，则切线方程为， 即， 令，解得，所以； （2）由（1）可得，. 方法一： 所以， 则， 两式相减得， 故 ， 所以由可得， 故； 方法二： ， 所以. . 所以由可得， 故. 17．(1)证明见解析； (2)； (3)EF在平面AFG内，理由见解析. 【分析】（1）由平面平面结合平面与平面垂直性质可完成证明； （2）由题设，如图过作平行线交于，建立以为原点的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，据此可得答案； （3）等价于判断是否存在实数，使，据此可完成判断. 【详解】（1）因平面平面，平面平面， ，平面，则平面； （2）如图过作平行线交于，由题设可得. 然后如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则.. 因，则. 则，又， 则，设平面法向量为， 则，令，可得可为. 又易得平面的法向量为. 设平面与平面夹角为，则. （3）由（2）可得，，. 则。 假设平面，则四点共面，从而存在实数，使， 则.则，即在平面内. 18．（1）；（2）①；②存在，定点为． 【分析】（1）设圆标准方程，代入三点坐标，然后解方程组即可求得结果； （2）①设，根据求得点坐标的表达式，再代入已知圆方程化简即可；②假设存在一点满足(其中为常数)，设，则：结合P在轨迹上，整理化简求得，即可得坐标． 【详解】（1）设圆C的方程为，将三点分别代入得 ， 解得， 所以圆C的方程为； （2）①设，则：， ∴， ∴， ∵点A在圆C上运动，∴， 即：∴∴， 所以点M的轨迹方程为， 它是一个以为圆心，以1为半径的圆； ②假设存在一点满足(其中为常数)， 设，则：， 整理化简得：， ∵P在轨迹上， ∴， 化简得：， 所以， 整理得， ∴， 解得：； ∴存在满足题目条件． 【点睛】求动点轨迹方程常用方法： (1)直接法；(2)定义法；(3)相关点法； 要根据已知条件选择适当方法求解． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知，棋手可能得分或分比赛终止，列出两种情况下棋手的胜负情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式可求得所求事件的概率； （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知，甲共胜局，对棋手甲分两种情况讨论：（i）棋手第局以分比赛终止；（ii）棋手第局以分比赛终止.计算出“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率，分析数列的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三5月月考数学试题 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 4．在中，，则的值为（    ） A．或 B． C． D．或 5．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 6．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育“乐”主要指美育“射”和“御”就是体育和劳动“书”指各种历史文化知识“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（     ）种 A． B． C． D． 8．已知函数，若对于任意，都有成立，则实数a的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9．已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 10．已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．的最小值是0 C．的图象关于y轴对称 D．不等式的解集是 11．如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，，则直线与直线所成角的最小值为45° D．若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12．已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 13．若，则的最小值为___________. 14．在中，所对应的边分别为，已知，，点D在线段上，且．则_______，若时，则的面积为______ 四、解答题（共5题，共77分） 15．如图，平面四边形中，，，为正三角形． (1)当时，求的面积； (2)设，求的面积的最大值． 16．已知函数的图象在点处的切线经过点. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求证：. 17．在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 18．已知圆C经过三点. （1）求圆C的方程； （2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，记点M的轨迹为. ①求的方程； ②试探究：在直线上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由. 19．某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $