精品解析：福建德化第二中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题

2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则＝（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数，若为实数，则（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 1 3. 已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量与的夹角为 A. 45° B. 90° C. 30° D. 60° 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A. B. C. D. 6. 设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 0 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 10. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 平面与平面的夹角为 C. 与所成角的大小为 D. 直线到平面的距离为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点P，Q，下列说法正确的有（ ） A. 当点C为线段的中点时，直线l的斜率为 B. 若，则 C. （O为坐标原点） D. 若直线l的斜率为，且，则 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______． 13. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________. 14. 已知曲线，给出下列四个结论： ①对任意，曲线C关于x轴、y轴、原点对称； ②当时，曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形； ③当时，曲线C上任意两点距离的最大值为； ④当时，曲线C围成的区域面积最小值为4. 其中所有正确结论的序号是____________. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． （1）求点的轨迹方程； （2）直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程． 16. 某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 （1）经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，. 17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若的面积为，求B； （3）若b＝2，当角A最大时，求的面积． 18. 已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）证明：，； （3）若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：． 19. 已知三棱锥的体积为，在中，，Q是内一点，，记. （1）若，，，到平面的距离为，求； （2）若Q是的重心，且对任意，均有. （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意，均有，若，求的值. （参考公式：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，结合并集“取所有属于或属于的元素”的定义，合并两个集合的取值范围，最终得到. 2. 已知复数，若为实数，则（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出复数，进而求出其模. 【详解】由复数为实数，得，即，则， 所以. 故选：C 3. 已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量与的夹角为 A. 45° B. 90° C. 30° D. 60° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以，故选D. 考点：1.空间向量的坐标运算；2.向量夹角定义与求法. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 5. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 6. 设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的几何意义，通过数形结合即可得解. 【详解】表示点到点距离的平方， 该距离的最小值为点到直线的距离，即， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 8. 设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先将代入，化简可得，由三次函数的图象性质及零点存在性定理得，，从而得到，最后利用导数计算极小值即可. 【详解】由可得， ， 由于等式对任意都成立，则项系数必须为0， 即，所以， 令，可得或， 由三次函数图象性质易得为函数的唯一变号零点， 由任意，都有， 可得，时，总有， 所以为函数的变号零点，所以，则， 此时，求导得， 令，得或2，当或时，；当时，. 故为极小值点，极小值. 故选：A. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，所以，则是等比数列， 根据题意得， 所以数列为等比数列，利用累加法求出， 再利用分组求和法得到. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为2，公比为1的等比数列，故B正确； 所以，故C正确；，故D正确. 故选：BCD 10. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 平面与平面的夹角为 C. 与所成角的大小为 D. 直线到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】ABC用空间向量法求线面角，二面角及异面直线所成角判断，D求点到平面距离来进行判断. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， ，,设平面的法向量为， 则，故可设. 对于A选项，，设直线与平面所成角为 ，A选项错误. 对于B选项，设平面的法向量为，设平面与平面的夹角为 ，B选项正确. 对于C选项，，，所以，C选项错误. ，所以到平面的距离即直线到平面的距离为，D选项正确. 故选：BD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点P，Q，下列说法正确的有（ ） A. 当点C为线段的中点时，直线l的斜率为 B. 若，则 C. （O为坐标原点） D. 若直线l的斜率为，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，出现圆锥曲线中点条件，使用点差法即可求得直线方程，但与双曲线联立后判别式小于0，故不成立，对于B，利用双曲线方程推导出，再结合角度范围确定相等，对于C，利用双曲线定义表示和，结合在双曲线上的坐标关系，将与作差，判断差值符号即可证明大小关系，对于D，利用双曲线定义将问题转化为，即证明直线应是线段的中垂线，由此求解即可. 【详解】对于A，设， 由C为线段的中点，可得，即， 又因P，Q在双曲线上，有， 两式相减得，即， 即， 将代入上式，得， 即直线l的斜率为，故其方程为，即， 联立，整理得， 因，直线与双曲线无交点，故A错误. 对于B，由题意得，点为左顶点， 设为双曲线右支上一点，满足，即，且， 设，则， 当时，为锐角，则， 当时，为钝角，正切值为负，则， 即，且， 将代入上式得， 因，则可得，故B正确； 对于C，在双曲线的左支上，则可得， 设，则，则， 而（*）， 又因为， 因为在左支上，则，所以，即， 代入（*），得， 由，可得，故C正确； 对于D，因为直线过点且斜率为， 则的方程为，整理得， 因为在左支，在右支上，则可得， 则， 则等式 成立，等价于直线是线段的中垂线， 下面证明直线是线段的中垂线. 由题意得，则线段的中点坐标为在直线上， 且直线的斜率为，与满足， 所以是线段的中垂线，故D正确. 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据古典概型的概率计算公式，求得，再求，由即可得解. 【详解】设红蓝两颗骰子的点数分别为，，基本事件用表示， 共有种情况， 事件包含基本事件，，，，，，共6种， 则， 事件和事件同时发生的基本事件为，，，，，共5种， 则， 故事件发生的条件下事件发生的概率． 故答案为：． 13. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________. 【答案】1012 【解析】 【分析】根据等差数列结合已知条件得出，结合已知集合及新定义得出数列个数. 【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足， 知，消去，并整理得，所以（舍去），， 于是有.在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数数列， 所以必为2的倍数，且．故这样的数组共1012组. 故答案为：1012. 14. 已知曲线，给出下列四个结论： ①对任意，曲线C关于x轴、y轴、原点对称； ②当时，曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形； ③当时，曲线C上任意两点距离的最大值为； ④当时，曲线C围成的区域面积最小值为4. 其中所有正确结论的序号是____________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，将代入曲线方程中即可判断；对于②③，将的值代入曲线方程中，作出函数图象即可判断；对于④，先研究曲线在第一象限的图象，再由对称性得到曲线C的完整图象，从而由图象结构特征得恒成立即可求解. 【详解】对于①，因为曲线， 所以将代入曲线方程中，方程不变， 所以对于任意，曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①正确； 对于②，当时，曲线，整理为， 即或， 作出和的图象即该曲线C的图象如图所示： 所以当时，曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形，故②正确； 对于③，当时，曲线，即， 则曲线， 作出该曲线C图象如下图所示： 此时曲线C上两点的距离最大值即为， 所以当时，曲线C上任意两点距离的最大值为，故③正确； 对于④，当时，曲线C：，即， 若，则时曲线为中心是，长轴长为，短轴长为的椭圆在第一象限的部分， 因为曲线C关于x轴、y轴、原点对称， 所以时作出曲线C完整图象形状如图所示： 时，曲线C完整图象为③中所示图象； 时，曲线在第一象限图象为中心是，长轴长为，短轴长为的椭圆在第一象限的部分. 所以综上由对称性曲线C围成的区域面积恒成立， 令，则恒成立，所以， 所以当时，曲线C围成的区域面积最小值不可能为4，故④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是先研究曲线在第一象限的图象，再利用曲线的对称性得到曲线完整图象，再由图象研究曲线性质即可，树形结合简化了问题的难度. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． （1）求点的轨迹方程； （2）直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到点的距离等于它到直线：的距离，再结合抛物线的定义求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程可得，结合，利用坐标运算即可. 【小问1详解】 由点到点的距离比它到直线：的距离大1， 则点到点的距离等于它到直线：的距离， 由抛物线定义知， 点的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为． 【小问2详解】 直线过点，由已知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，设，，所以，． 因为，可得，所以， 因为点在第一象限，所以，， 则，解得， 所以直线的方程为. 16. 某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 （1）经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，. 【答案】（1）；208 （2）90 【解析】 【分析】（1）先根据所给数据计算，，，再根据所给公式计算和，可得线性回归方程，再将代入方程，可以预测2025年的报考人数. （2）根据正态分布的性质，先求和，再根据全概率公式预测2025年报考该专业考生中被录取的人数. 【小问1详解】 因为，， . 所以，. 所以. 当时，，即预测2025年的报考人数为. 【小问2详解】 因为. . 所以预测2025年报考该专业考生中被录取的人数约为： 人. 17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若的面积为，求B； （3）若b＝2，当角A最大时，求的面积． 【答案】（1）0； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出； （2）由三角形的面积可得，结合正弦定理和三角恒等变换可得，结合（1）可求； （3）由余弦定理可得，进而得，利用基本不等式可求角的最大值，进而可求△ABC的面积. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得：， ∴， ∴， 两边同时除以cosBcosC， 可得：； 【小问2详解】 因为，则， 结合正弦定理得，， 在△ABC中，， 即， 整理可得， 所以， 即， 解得，又， ∴． 【小问3详解】 ， ∴ ， ， ∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时A取到最大值， ∵，∴当A最大时， 此时． 18. 已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）证明：，； （3）若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析； （3）a的取值范围，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分别在，，条件下判断函数的单调性，确定函数的极值点； （2）由（1）取可得当时，，取，，相加证明结论； （3）条件可转化为方程有两个解不同的实数解，设，利用导数分析函数的的单调性，由此可求a的取值范围，设，令，结合零点定义可得 ，，结合（1）证明，由此可得结论. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， 当，由可得， 函数在上单调递增，函数没有极值点， 令，可得， 方程的判别式， 当时，，， 函数在上单调递增，函数没有极值点， 当时，由可得，所以， 故，函数在上单调递增，函数没有极值点， 当时，方程有两个不同的根， 设其根为， 因为，所以，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在时，取极大值，当时，取极小值， 综上，当时，函数没有极值点， 当时，函数有两个极值点，为其极大值点，为其极小值点； 【小问2详解】 由（1）当时，函数在上单调递增， 所以当时，， 取可得，，即， 所以，，，， 所以， 所以，； 【小问3详解】 因为， 所以方程可化为， 所以， 由已知方程有两个解不同的实数解， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 又，，当时，， 函数的大致图象如下: 所以，故， 所以a的取值范围， 不妨设，则，故， 由已知， ， 所以，， 所以， 所以 ， 令，则， 所以， 由（1）当时，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，故， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 已知三棱锥的体积为，在中，，Q是内一点，，记. （1）若，，，到平面的距离为，求； （2）若Q是的重心，且对任意，均有. （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意，均有，若，求的值. （参考公式：，，） 【答案】（1） （2）（i）；（ii）120 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，以及勾股定理解三角形，求得三棱锥的底面积，再由体积公式，求出三棱锥的体积之和. （2）（i）由三角形的重心关系，化简式子得出三棱锥的高，由余弦定理和基本不等式求出三角形的面积的最大值，从而解出体积的最大值. （ii）由（i）得，根据题目所给条件进行化简即可. 【小问1详解】 由题意，，，， 故在中，， 由正弦定理，，则， 在的中，，故； 设三棱锥的顶点到底面的距离为, 则，由到平面的距离为， 故， 故. 【小问2详解】 （i）因为为的重心，则有， ，，， 则， 则，故点到底面的距离， ； 在的中，由余弦定理, ，故， ，, 则，当时，等号成立. 故最大值为. （ii）由（i）可知时，最大， ，则， 而，; 又，，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $