福建省龙岩市上杭县第一中学2024届高三下学期5月数学模拟试题

上杭一中五月数学模拟考 命题人 罗洪样 审核 林满连 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ） A． B．5 C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．288 B．144 C．96 D．25 3．已知随机事件满足，则下列说法错误的是（ ） A．不可能事件与事件互斥 B．必然事件与事件相互独立 C． D．若，则 4．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高．已知该奵笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积为（取） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．设为函数在区间的两个然点，则（ ） A． B． C． D． 7．复数（是虚数单位）在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数为的反函数，若的图象与直线交点的横坐标分别为，则下列说法正确的为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性回归直线一定过样本点中心 C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10．已知正方体的棱长为3，在棱上，为的中点，则（ ） A．当时，到平面的距离为 B．当时，平面 C．三棱锥的体积不为定值 D．与平面所成角的正弦值的取值范围是 11．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．若，则在上递增 B．若为奇函数，则 C．若是的极值点，则 D．若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，已知，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是_________． 13．点为圆上的动点，则的取值范围为_________． 14．已知正方形的边长为，两个点（两点不重合）都在直线的同侧（但与在直线的异侧），关于直线对称，若，则面积的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数其中为常数． （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值． 16．（本小题满分15分） 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额． （1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率： （2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望． 17．（本小题满分15分） 如图，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为． （1）求证：； （2）若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 己知点是圆上的动点，是线段上一点，且，设点的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为．平面上一点满足，连接交于点．（点在线段上且不与端点重合）．试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由． 19．（本小题满分17分） 数列满足，则称数列为下凸数列． （1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； （2）设，其中分别是公比为的两个正项等比数列，且，证明是下凸数列且不是等比数列； （3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$