吉林长春市十一高中2025-2026学年高二下学期第二学程考试数学试题

2025-2026学年度高二下学期第二学程考试 数学答案 一、单选题（每题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B C A B A D D D 、 多选题（每题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BD ABD BD 三、填空题（每题5分，共15分）. 12.26 13.4 14. 1 四、解答题（供77分） 15.(13分) 解：(1)对函数求导，得f'(x)=3x2+2ax+b, f()=1+a+b+2=0 由函数在x=1处取得极值0，可得 f'()=3+2a+b=0? a+b=-3 联立整理得 2a+b=-3-- 4分 解得a=0,b=-3 检验：将a=0,b=-3代入，f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 当x<-1时，f'(x)>0;当-1<x<1时，f'(x)<0; 当x>1时，'(x)>0,x=1处导数由负变正，为极小值点，符合题意.-分 (2)由(1)得f(x)=x-3x+2,f'(x)=3(x-1)(x+1). 令f'(x)=0,得极值点x=-1,x=1,均落在区间[-2,3]内. f(-2)=(-2)3-3×(-2)+2=0, 2025-2026学年度高二下学期第二学程考试数学答案第1页共5页 f(-1)=(-1)3-3×(-1)+2=4, f1)=13-3×1+2=0, f(3)=33-3×3+2=20. 因此，函数在[-2,3]上的最大值为20，最小值为0、. 13分 16.解：(1)由an1=2Sn+3①，当n≥2时，a,=2Sn1+3② ①-2得a+1-an=2an,即a41=3a, .4分 又a2=2S,+3=9,满足a2=3a1, .6分 .{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，即an=3” 8分 (2)b a,+log;a,=3"+n, .Tn=b+b2+..+bn=(3+1)+(32+2)+..+(3”+n) =(3+32+..+3")+(1+2+..+n) =31-3)+nn+）_3+1+n2+n-3 .-..15分」 1-32 2 17.解：()椭圆 a +方=1a>b>0)的离心率为，且过点P(2,). S-2 a 2 41 a+存l,解得a=6,b=5, a2=b2+c2 二椭圆的标准方程为父+上 63 .4分 (2)不存在直线1与椭圆交于A、B两点，满足AB=PQ· 当k=2时，设A(x,y),Bx2,y2), 2025-2026学年度高二下学期第二学程考试数学答案第2页共5页 36消法得9rar+2m-60… 由 △=216-8m2>0,因此m2<27, 则+=智 2m2-6 9 所以Pg=V(-2-2}+1+1=25, w0442g9-2542 9 因为4B=P0,所以54-2m=81,所以m2=-27<0,无解， 所以不存在直线1与椭圆交于A、B两点，满足AB=PQ, 9分 包)么：k为定值 设A(x,y),Bx2,y2), 6法得0+2法+4+2-6=0 由 △=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6）=4(-2m2+6+12k2)>0,因此6k2-m2+3>0, -4km 则+名1+2农西 2m2-6 1+2k2, .11分 -2km 所以线段AB的中点M为 1+2k2’1+2k2 线段AB的中点M在直线y=一x上时， 所以2m m 1+2k2 1+2k2, 13分 所以k6=乃-1x5-1 x+2x2+2 5+m-1 1 2 25+m-1 4+2++(m- +2 2+2 xx2+2(x+x2)+4 2025-2026学年度高二下学期第二学程考试数学答案第3页共5页 12(2m2-6) (m-1）x4m+(m-l 3 2 3 4m2-8m_1 .15分 2(2m2-6 8m2-16m +4 3 +2x4m 3 18.解：(1)设事件A=“通过测试A”,事件B=“通过测试B”，事件C=“测试合格”， 由题意每辆车通过测试的概率为P(C)=P(A+AB)=P(A)+P(AB)=0.8+(1-0.8)×0.5=0.9, ∴X~B(n,p),即X~B(n,0.9), 即随机变量X的期望为E(X)=p=0.9n,方差为D(X)=p(1-p)=0.09n,.-.5分 (2)由题P(AC)=P(A)=0.8,则测试合格的无人投递车，其通过测试A的概率为 P(4C）_0.8_8 P(AlC)=P(C) 10分 (3)设随机抽取1000辆无人投递车中合格数为X,由(1)可知 H=E(X)=900,o2=D(X)=1000×0.9×0.1=90, 假设该工厂关于产品合格率为95%的说法成立，则应有950辆车合格， 电材料1可得，P(X=950)=P0x-90m:50）产器-036<05， 即在假设下1000辆车中合格数达到或超过950的概率不超过0.036， 由材料2可知，该事件为小概率事件，据此我们有理由推断该工厂提供的合格率不可信、7分 19.解：)当a=1时，f()=lnx+0-x,定义域为(0，+o), 所以f()=-, 所以k=f'()=1,又f)=0, 所以函数f(x)在1f()处的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.-.-5分 (2)f(x)的定义域是(0，+0)， f(c)=+-@+a.f()-1x-a--atI 2025-2026学年度高二下学期第二学程考试数学答案第4页共5页 函数f(x)在定义域上单调递增，则f'(x)≥0对x>0恒成立， 即x2-ax+120,a≤x+- 因为士22，当且仅当=1时等号成立 所以a≤2时，f'(x)20恒成立，即f(c)在(0，+o)上单调递增..5分 (3):f(x)在(0,2)上有两个极值点x,x2, 则f'(x)=0,即x2-ax+1=0在(0,2)上有两个不等实数根x,x2, 4-2a+1>0 △=a2-4>0, 0<<2 解得2<a<3,且+y=a,5=-1, 此时f(s)=ls+a-=l+6,f()=lms+a-s广=l+, fs)fk)=n点+，=n点+==n点+s_当 x22 令1=(0<1<)，则f(s】fc)=h〔0)--+27 11 0-1- 2t2 2t2 所以h(t)在(0,1)上单调递减， 又=+%授=+引 由x<x2可知0<t<1,即0<Vf<1。 联立解得)<F<1,所以}<1<1。 且A0)=0A日)名-2h2所以/s)f4的取值范因是（0袋-2h2） 1分 2025-2026学年度高二下学期第二学程考试数学答案第5页共5页长春市十一高中2025-2026学年度高二下学期第二学程考试 数 学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x2-x>0,x∈R},集合B={-1,0,1,2,则A∩B=( A.2 B.{-1,2} C.{-1,} D.{-1,1,2} 2.已知曲线y=x-nx的一条切线的方程为y=m,则实数m=（) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知{an}是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为Sn,若4a2,a4,24成等差数列， =() 则 S A.9 B.2 C. 4.已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： 6 2.5 4.5 其回归直线方程是=0.7x+à，据此计算，则样本点在(4,3)处的残差为（) A.0.15 B.-0.15 (.-0.35 D.0.35 已知函数f)弓+onx+在，+o)上单润递增，则实数a的取值范圈是 5. A.[-2,+oo) B.（-2,4∞) C.（-0,-2） D.（-0,-2] 6.生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数听混淆.已知 老师说“复数时，学生理解为“负数的概率为一；老师说“预数时，学生理解为“复数” 10 的概率为人.假设在评讲试卷时，老师说复数”和负数”是等可能的，已知学生理解的 20 是“负数”，则此时老师说的是复数”的概率为() . A 19 B.分 1 C. D. 20 2025-2026学年度下学期第二学程高二（数学）试题 第1页共4页 7.抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线 对称轴平行，已知F、4A(3,2)分别为抛物线=2x(p>0)的焦点和内部一点，若抛物 线上存在点P使得PF+P4=5,则实数p的取值范围是( A.-0,3 B.(4,+∞) B c. D.(4 8.已知函数f(x)=e-e-sin2x,若对c∈[2，+o),f(nx)+f(-a)<0,则实数a的 取值范围是() c.（ D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知 a。+4x+2x2+…+a,x”,且满足C=C,则下列说法正确的是 A.展开式的二项式系数和为22 B.do 12 C.展开式的各项系数和为 D.4++…+= 211+1 332 3 10.已知数列{an}的前n项的和为Sn=3”-1,则 A.数列{Sn}前5项的和为121 B.Sa=S,Sm2 C.0n=2×3"-2 D.am1>a,(n∈N 11.甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不 传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记 第n次抛硬币后球在甲手中的概率为Pn,球在乙手中的概率为gn,在前n次抛硬币的过 程中3人之间传球的次数为X,则 A.P=4g B.D() C.pn+39n=1 D.p>3> 2025-2026学年度下学期第二学程高二（数学)试题 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，.共15分 12.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正 态分布N70,7),已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀， 则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人. (参考数据：P(u-o<X<4十o)=0.68,P(u一2o<X<u十2o=0.96) 13.设双曲线亡二=1的左，右两个焦点分别为R,B,P是双曲线上任意一点，过R 16b2 的直线与∠FPF,的平分线垂直，垂足为2，则线段OQ的长度为 14.若对x>0,ae2+x+ha≥0恒成立，则正实数a的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2(a,b∈R)在x=1处取得极值0. (1)求实数a,b的值： (2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的最值. 16.己知数列{an}的首项41=3，前n项和为Sn,且a1=2Sn+3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=an+log3a,求bn的前n项和Tn. 亿，已知椭圆+之a>b>0的离心率为P2,Q2-是椭圆上两点，直线 1:y=c+m与椭圆交于A、B两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当k=2时，是否存在1使得AB=P②？说明理由： (3)记直线PA,PB的斜率依次为飞，飞2，当y≠0且线段AB的中点M在直线y=一x上时， 试问飞·飞2是否为定值？说明理由. 2025-2026学年度下学期第二学程高二（数学)试题 第3页共4页 18.某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用，若首次测试A通过，即合 格.若测试A未通过，则需进行第二次测试B,测试B通过，即合格；否则为不合格， 不能投入使用.已知测试A通过率为0.8，测试B通过率为0.5， (I)若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X.计算随机变量X的期望与方差； (2)已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率； (3)该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2 说明该工厂提供的合格率是否可信？ 设随机变量X的期望为弘，方差为2，则对任意正数a,均有Pg-山2上 材料2：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称该事件为小概率事件. 19.已知函数f(=hr+a-,其中aeR. (1)当a=1时，求函数f(x)在（包，f()处的切线方程； (2)若函数f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若f(x)在(0,2)上存在两个极值点，x(:<x),求f(x)-f(x)的取值范围. 2025-2026学年度下学期第二学程高（数学）试题 第4页共4页 八