2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册综合检测练习2

**基本信息** 以二项式定理、排列组合、概率统计为核心，精选真题与模拟题，构建“概念理解-方法应用-综合建模”的递进训练体系，培养数据观念与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项式定理|3题（1,9,12,15）|二项式系数、指定项系数、赋值法计算|从系数性质到应用，构建公式推导与实际计算的逻辑链| |排列组合|3题（6,8,13）|有限制条件排列、涂色问题、不相邻排列|以计数原理为基础，拓展情境化应用，强化分类分步思维| |概率统计|13题（2-5,7,10-11,14,16-19）|分布列、期望方差、条件概率、统计推断|从随机变量定义到统计分析，形成“模型构建-数据处理-结论推断”的完整认知|

选择性必修三综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2026·浙江温州·二模）展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据二项式系数的增减性即可求解. 【详解】当时，是最大的二项式系数，符合要求， 当时，是最大的二项式系数，符合要求， 当时，是最大的二项式系数，符合要求， 当时，显然，不满足， 故选：A． 2．（25-26高一上·江苏常州·期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x －2 －1 1 2 3 y 0.24 0.5 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出散点图，对照四个选项即可判断. 【详解】由表格数据作出散点图如图所示： 根据散点图和指数函数的图像类似，可选择最能反映x，y函数关系. 故选：D 3．（25-26高二下·浙江温州·期中）现调查某群体使用微信支付的情况，假设该群体中的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设随机变量X~B，且满足，，则p＝（    ） A．0.7 B．0.4 C．0.6 D．0.3 【答案】B 【分析】根据二项分布的方差公式及概率公式得到方程（不等式组）解得即可； 【详解】解：因为且方差，， ，解得， 故选：B 4．（2026·浙江·一模）随机变量ξ的分布列如表： ξ ﹣1 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据a，b，c成等差数列，分布列的概率和为1，，构造等量关系，求解a，b，c，利用方差的公式即得解. 【详解】∵a，b，c成等差数列，E（ξ）， ∴由变量ξ的分布列，知：， 解得a，b，c， ∴D（ξ）＝（﹣1）2（0）2（1）2（2）2． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列研究随机变量的期望和方差，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力， 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）甲､乙两人各自在两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在区域投中的概率为，在区域投中的概率为；乙在区域投中的概率为，在区域投中的概率为.已知甲､乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设“甲､乙共投中次”为事件，“甲恰好投中次”为事件，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得. 【详解】设“甲､乙共投中次”为事件，“甲恰好投中次”为事件， 则， ， 故. 故选：D. 6．（25-26高二下·天津·阶段检测）以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排，下列说法正确的个数是（   ） ①每人安排一项工作的不同方法数为 ②每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 ③若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 ④每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理可判定①，利用分组分配问题可判定②，利用组合计数可判定③，利用正难则反可判定④. 【详解】对于①，每人均有三种工作可安排，所以每人安排一项工作的不同方法数为， 即①错误； 对于②，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 先将五人分组，可分为或两种不同组， 再分配，则不同安排方法种数是，即②错误； 对于③，若不选丙，则有1种安排方法， 若选丙做翻译则有种安排方法， 若选丙做礼仪，同上亦有2种安排方法，所以共有5种方法，即③正确； 对于④，不安排礼仪工作，则5人安排2种工作有种安排，5人都安排同一种工作有2种方法，所以每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为，故④正确，则B项正确. 7．（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 【答案】B 【分析】由分布列性质建立的关系式，推导期望的一次函数单调性，利用方差简化公式推导方差的二次函数，结合二次函数单调性分析方差变化规律. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质得，可得， 结合，得. ， 代入，得， 因此，为关于的一次增函数，当增大时，增大. ， 代入、，得， 展开得， ， ， 是开口向下的二次函数，对称轴为，且， 因此，时单调递增，时单调递减，即增大时，先增大后减小. 8．（2026·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ）    A．3125 B．1000 C．1040 D．1020 【答案】D 【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可. 【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件. 五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色. 故问题转化为如图五个区域， 有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.    分为以下两类情况： 第一类：三个区域涂三种不同的颜色， 第一步涂区域， 从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法， 第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法， 由分步计数原理，则共有种方法； 第二类：三个区域涂两种不同的颜色， 由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同. 若涂一色， 第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色， 即涂个区域不同色， 从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法， 第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法， 由分步计数原理，则共有种方法； 若涂一色，与涂一色的方法数相同， 则共有种方法. 由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种. 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据概率之和为1可得，即可根据期望以及方差的计算公式以及性质即可逐一求解. 【详解】由，得，A正确. ，B不正确，C正确. ，D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，得到，，是两两互斥的事件，且， 结合互斥事件的概念，条件概率公式，以及全概率公式，进行计算，即可求解． 【详解】由题意知，事件，，是两两互斥的事件， 因为， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于D中，由， 所以D正确. 对于C中，由，所以C错误； 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二下·天津·期中）已知，则_____. 【答案】 【分析】根据二项展开式，令，即可求解. 【详解】由， 令，可得. 故答案为：. 13．（25-26高二下·湖南·阶段检测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术书法摄影民间文艺作品展览、书画笔会、中秋文艺晚会等内容．假如在美术书法摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，现将这7幅作品挂在同一面墙上，要求美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻，则不同的排列方法有______种（用数字作答）． 【答案】1824 【分析】以美术作品不能挂两端的排列为样本空间，利用间接法求解即可. 【详解】先求美术作品不能挂两端时不同的排列方法，分步计算： 第一步，美术作品先从除两端外的个位置选个位置有序排列有种方法， 第二步，其他件作品个位置全排列有种方法， 故美术作品不能挂两端时不同的排列方法有（种）； 再求美术作品不能挂两端、摄影作品相邻时不同的排列方法，分步计算： 第一步，先将摄影作品捆绑看为组作品，则件作品中件美术作品不挂两端，从个位置中选个位置排列美术作品，有种方法， 第二步，组摄影作品与其他件作品的排列方法有种方法， 第三步，摄影作品组的件作品内部排列有种方法 故美术作品不能挂两端、摄影作品相邻时不同的排列方法有（种）， 则美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻的不同的排列方法有（种）． 故答案为：. 14．（2026·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 【答案】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·河北唐山·期中）在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)672 (2) 【分析】（1）通过第2项和第3项的二项式系数之比，从而求出n的值，再写出二项式的展开式的通项，从而求出常数项； （2）通过第r+1项的系数大于等于第r项和第r+2项的系数，从而求出系数最大的项. 【详解】（1）在的展开式中， 第2项与第3项的二项式系数之比是，解得， 则其通项为，，. 令，解得，所以常数项为. （2）由（1）知：，，， 设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，整理可得， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 16．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列． 参考公式：；参考数据：． 【答案】(1)0.93，管理时间与土地使用面积线性相关 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论； （2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解． 【详解】（1）由题意得，，， 所以， 可得，， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关． （2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故，， ，． 故的分布列为 0 1 2 3 17．（25-26高二下·河北保定·期中）我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取家电力企业开展统计，得到如下列联表： 收益显著提升 收益未明显提升 合计 AI技术推出前 AI技术推出后 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联； (2)利用分层抽样从全部家企业中抽取家企业，再从抽取到的企业里随机选取家，设这家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望． 附，其中， 【答案】(1)根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联 (2)的分布列为 ． 【分析】（1）先设零假设：收益提升与AI技术无关，再用卡方公式代入列联表数据计算统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝，得出关联结论； （2）先按抽样比分层抽取家企业，得到家收益显著提升、家未明显提升；再根据超几何分布定义，写出的可能取值，计算对应概率并列出分布列，最后用超几何分布期望公式或分布列直接计算． 【详解】（1）零假设：电力企业收益提升情况与AI技术推出无关联， 根据表中数据可得，， 因为，所以零假设不成立， 根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联． （2）抽样比：，收益显著提升的企业共家，抽取数量：家， 收益未明显提升的企业共家，抽取数量：家，       抽取的家企业中，家 “收益显著提升”，家 “收益未明显提升”， 由题意，服从超几何分布：的可能取值为， ，，， ，， 所以的分布列为 ． 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； (2)若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； (3)记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件概率的公式求解即可； （2）先求出当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率，再结合黄球和蓝球个数相同，即可求解； （3）先根据题意得到的取值，再求出每个取值的概率，进而根据期望公式即可求解． 【详解】（1）设第一次取出的不是红球为事件A，第二次取出是红球为事件B， 则，， 所以． （2）当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的情况可分三类： ①最后一个红球为第3个时（前3个都是红球）， 即前3个红球全排列，后4个球（2黄2蓝）全排列，共有种； ②最后一个红球为第5个时（前4个球中有2红1黄1蓝，第5个是红球）， 即选1个红球放第5位，在2黄和2蓝中各选1个，前4个球（2红1黄1蓝）全排列，后2个球（1黄1蓝）全排列，共有种； ③最后一个红球为第7个时（前6个球中有2红2黄2蓝，第7个是红球）， 即选1个红球放第7位，前6个球（2红2黄2蓝）全排列，共有种， 所以当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率为， 又黄球和蓝球个数相同，所以黄球个数比蓝球个数多的概率与蓝球个数比黄球个数多的概率相同， 所以剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率为． （3）随机变量的取值为，，，，，， 设红球被全部取出时，一共被取出了个球， 则随机变量的分布列， 所以， 又， ， ， 所以． 19．（25-26高二下·河南郑州·期中）小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 【答案】(1)0.4; (2)()，; (3)从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 【分析】(1)由全概率公式求解； (2)先求出与的递推式，再转化为等比数列求通项公式解出； (3)通过的表达式，求解满足的的取值范围. 【详解】（1）由全概率公式得； （2）因为()，即()， 构造等比数列()， 因为，所以数列是以为首项，0.5为公比的等比数列. 所以，即()； （3）由（2）可知 ∴当时， 若()，则，即. ∵，， ∴当时，. 实际意义从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择性必修三综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2026·浙江温州·二模）展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26高一上·江苏常州·期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x －2 －1 1 2 3 y 0.24 0.5 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·浙江温州·期中）现调查某群体使用微信支付的情况，假设该群体中的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设随机变量X~B，且满足，，则p＝（    ） A．0.7 B．0.4 C．0.6 D．0.3 4．（2026·浙江·一模）随机变量ξ的分布列如表： ξ ﹣1 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）甲､乙两人各自在两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在区域投中的概率为，在区域投中的概率为；乙在区域投中的概率为，在区域投中的概率为.已知甲､乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·天津·阶段检测）以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排，下列说法正确的个数是（   ） ①每人安排一项工作的不同方法数为 ②每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 ③若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 ④每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 8．（2026·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ）    A．3125 B．1000 C．1040 D．1020 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二下·天津·期中）已知，则_____. 13．（25-26高二下·湖南·阶段检测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术书法摄影民间文艺作品展览、书画笔会、中秋文艺晚会等内容．假如在美术书法摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，现将这7幅作品挂在同一面墙上，要求美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻，则不同的排列方法有______种（用数字作答）． 14．（2026·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·河北唐山·期中）在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 16．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列． 参考公式：；参考数据：． 17．（25-26高二下·河北保定·期中）我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取家电力企业开展统计，得到如下列联表： 收益显著提升 收益未明显提升 合计 AI技术推出前 AI技术推出后 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联； (2)利用分层抽样从全部家企业中抽取家企业，再从抽取到的企业里随机选取家，设这家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望． 附，其中， 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； (2)若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； (3)记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 19．（25-26高二下·河南郑州·期中）小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $