7.4.2 课时2 二项分布与超几何分布的综合问题同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2 课时2 二项分布与超几何分布的综合问题 【基础巩固】 1．学校要从名候选人中选名同学组成学生会，已知有名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示候选人来自甲班的人数.则下列说法不正确的是（ ） A．随机变量的所有取值为 B．甲班恰有名同学被选到的概率为 C．随机变量 D．随机变量的期望为 2．一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，则恰有两次抽出红球的概率为（ ） A． B． C． D． 3．一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（ ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子有个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有个黑球，个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知袋子中放有大小质地完全相同的个红球和个黄球，则下列说法正确的有（ ） A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第个红球被摸出所需的摸球次数，则 B．若从袋子中不放回地依次随机摸出个球，为摸出的球中红球的个数，则 C．若从袋子中有放回地依次随机摸出个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第个红球被摸出所需的摸球次数，则 6．一批排球共有个，其中有个不合格．从这批排球中随机抽取个，记抽到的不合格的排球个数为，则_______． 7．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共个.从袋中随机取出个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出个球中黑球的个数为，则________. 8．某学校拟建立一座教学楼，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司能正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【能力拓展】 9．为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“了解”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中了解的学生的人数为，则当取得最大值时的（）值为（ ） A． B． C． D． 10．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有个白球，乙盒中有（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 11．某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有人每周的体育锻炼时长超过小时，若从班级学生中随机抽取的人中有人每周的体育锻炼时长超过小时，估计班级学生的总人数为______．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【素养提升】 12．某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了道单选题和道多选题，其中单选题每道答对得分，不答或答错得分，多选题每道答对得分，不答或答错得分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为和.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取道请内部员工试做，求抽到道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的道试题全部答对，求在道试题的得分不低于分的条件下，他选到道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2 课时2 二项分布与超几何分布的综合问题 【基础巩固】 1．学校要从名候选人中选名同学组成学生会，已知有名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示候选人来自甲班的人数.则下列说法不正确的是（ ） A．随机变量的所有取值为 B．甲班恰有名同学被选到的概率为 C．随机变量 D．随机变量的期望为 【答案】C 【解析】因为从名候选人中选名同学，且有名候选人来自甲班， 可知随机变量服从超几何分布，故C不正确； 所以的所有取值为，故A正确； 甲班恰有名同学被选到的概率为，故B正确； 随机变量的期望为，故D正确； 故选：C. 2．一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，则恰有两次抽出红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率，即，解得（舍去负根），有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为，所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率. 故选A. 3．一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得该制造厂每天每条生产线的产品被检测为“良品”的概率为， 设该制造厂每天可出货的产品件数为，则， 则该制造厂每天出货的产品件数平均为. 故选：D 4．一个不透明的袋子有个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有个黑球，个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试验一：从中随机地无放回摸出个球，记白球的个数为， 则的可能取值是，则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出个球，则每次摸到白球的概率为， 则，故，， 故，． 故选：A． 5．（多选）已知袋子中放有大小质地完全相同的个红球和个黄球，则下列说法正确的有（ ） A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第个红球被摸出所需的摸球次数，则 B．若从袋子中不放回地依次随机摸出个球，为摸出的球中红球的个数，则 C．若从袋子中有放回地依次随机摸出个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第个红球被摸出所需的摸球次数，则 【答案】A,B,D 【解析】对选项A，若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第个红球被摸出所需的摸球次数，则，故A正确； 对选项B，若从袋子中不放回地依次随机摸出个球，为摸出的球中红球的个数， 则，故B正确； 对选项C，若从袋子中有放回地依次随机摸出个球，记摸到红球次数为， 则，摸到黄球次数为，则， 所以，故C错误； 对选项D，若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第个红球被摸出所需的摸球次数， 则的可能取值为， 则，，，，， 则，故D正确； 故选：ABD 6．一批排球共有个，其中有个不合格．从这批排球中随机抽取个，记抽到的不合格的排球个数为，则_______． 【答案】 【解析】依题意得服从超几何分布，且，，，则， 故． 故答案为：. 7．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共个.从袋中随机取出个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出个球中黑球的个数为，则________. 【答案】 【解析】设袋中黑球个数为，则白球个数为，则，故， 则的可能取值为， ，，， 故， 故答案为： 8．某学校拟建立一座教学楼，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司能正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】见详解 【解析】设甲公司答对题数为，则的取值为， ，，， 的分布列为 则，； 设乙公司答对题数为，则的取值为， ，，，，的分布列为 则， ； ，，甲公司竞标成功的可能性更大. 【能力拓展】 9．为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“了解”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中了解的学生的人数为，则当取得最大值时的（）值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，抽取男生和女生各名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 10．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有个白球，乙盒中有（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 11．某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有人每周的体育锻炼时长超过小时，若从班级学生中随机抽取的人中有人每周的体育锻炼时长超过小时，估计班级学生的总人数为______．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【答案】 【解析】设班级学生的总人数为，且，则， 记，则， 易得，由可得， 所以当时，，当时，， 所以的最大值在时取到，所以估计班级学生的总人数为人． 故答案为：. 【素养提升】 12．某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了道单选题和道多选题，其中单选题每道答对得分，不答或答错得分，多选题每道答对得分，不答或答错得分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为和.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取道请内部员工试做，求抽到道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的道试题全部答对，求在道试题的得分不低于分的条件下，他选到道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】(1)由题设，抽到道单选题的概率； (2)由题意，道试题的情况有{道多选道单选}、{道多选}， 所以它们的概率依次为、， 得分不低于分，即上述两种情况的道题均答对， 所以、， 综上，在道试题的得分不低于分，选到道多选题的概率； (3)设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，， 当时，小张总分不可能达到分， 当时，，总分刚好分，且，， 当时，，总分大于等于分，且， ， 当时，，总分大于等于分，且， 而 ， 当时，，总分大于等于分，， 而 ， 所以，小张所得总分，则，. 所以从概率论的角度小张今年能通过笔试. 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $