排列组合综合应用2作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

排列、组合的综合应用（二）作业答案 1．（1）第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有C种方法； 第二步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有C种方法； 第三步，剩下的2本不同的书全给丙，有C种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有C×C×C＝90(种)不同的分配方法． （2）第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有C种方法； 第二步，从剩下的5本不同的书中选2本书分配给乙，有C种方法； 第三步，剩下的3本不同的书全给丙，有C种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有C×C×C＝60(种)不同的分配方法． （3）第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有C种方法； 第二步，从剩下的2本不同的书中选1本书分配给乙，有C种方法； 第三步，剩下的1本书给丙，有C种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有C×C×C＝30(种)不同的分配方法． 2．（1）每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15． （2）一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60． （3）一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15． 3．（1）法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组(与顺序无关)，有种分法；再分配给3个人(与顺序有关)，有A种排列． 共有A种不同的分配方法，所以有CCC＝90(种)． 法二：先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本书中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法． 所以根据分步乘法计数原理得，每人2本，共有CCC＝90(种)． （2）先分组，再分配，与顺序有关，需排序． 6本书分成三组共有CCC种分法，但每一种分法又有A种不同的分配方案，故一人1本，一人2本，一人3本的分法有CCCA＝360(种)． （3）法一：从6本不同的书中选出4本，有C种方法． 将选出的4本书看成一个元素集团，与其余2本书(两个元素)分配给甲、乙、丙三人有A种方法．由分步乘法计数原理，共有CA＝15×6＝90(种)不同分法． 法二：先分组，再分配，与顺序有关.先分成三份，为部分平均分组问题，共有C种分法，然后分给3个人，则共有·A＝90(种)分法． 4．【C】此题为平均分组问题，有种分法． 5．【90】先分组再分配，（种） 6．【B】先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有＝60(种)． 7．【54】由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，则四门学科可按2，1，1和2，2，0两种情况分成三组， 若按2，1，1分成三组，有C＝6(种)分组方法； 若按2，2，0分成三组，有＝3(种)分组方法， 所以每位学生共有(6＋3)A＝54(种)不同的选修方式． 8．【D】若甲、乙去同一企业，则甲、乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有×A＝6(种)派遣方案； 若甲、乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲、乙两人选同伴，有CC种， 第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得共有CC×1＝12(种)派遣方案， 所以不同的派遣方案共有6＋12＝18(种)． 9．【AD】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确； 先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，故B错误； 先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A种情况，则有A种安排方法，故C错误； ①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有(CCA＋CA)种安排方法，故D正确． 10．（1）有A＝120(种)不同的方法． （2）5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，则先将甲、乙捆绑，看成一个整体，有A种方法； 再将甲、乙看成整体(不考虑甲乙内部排列)，与戊排列，有A种方法； 最后利用插空法，将丙、丁插入3个空隙中，有A种方法． 故有AAA＝24(种)不同的方法． （3）按人数分配方式分类： ①3，1，1，有A＝60(种)方法；②2，2，1，有A＝90(种)方法． 故共有60＋90＝150(种)分配方法． 11．（1）先把6个相同的小球排成一行， 然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法. （2）法一：恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法， 第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板. 由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法. 法二：恰有一个空盒子，插板分两步进行. 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法， 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法， 故共有C·C＝40(种)放法. （3）法一：分两步完成，第一步任取2个盒子不放小球(取两个空盒子)有C种选法， 第二步在6个小球之间5个空隙中任选一个空档插一块隔板，有C种方法. 由分步乘法计数原理，共有C·C＝30(种)方法. 法二：恰有两个空盒子，插板分两步进行. 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|， 然后将剩下的两块隔板插入形成空盒. ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C种插法. ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法. 故共有C·(C＋C)＝30(种)放法. 12．【165】问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为C＝165. 13．【85】由3班最多有2个名额，得3班有2个、1个或0个名额三种情况． （1）当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额． 相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C＝21(种)分法； （2）当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额． 相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C＝28(种)分法； （3）当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额． 相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C＝36(种)分法， 所以一共有21＋28＋36＝85(种)不同的分配方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 排列、组合的综合应用（二）作业 【知识梳理】 1、解决分组与分配问题的关键是区分是否与顺序有关，一般按先分组后分配的原则计算. （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. （2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 2、隔板法：对于相同元素分配问题，将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板． 【巩固练习】 1．6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）甲2本，乙2本，丙2本； （2）甲1本，乙2本，丙3本； （3）甲4本，乙、丙每人1本. 2．6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）每组2本(平均分组)； （2）一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； （3）一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 3．6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）每人2本； （2）一人1本，一人2本，一人3本； （3）一人4本，其余2人每人1本. 4．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有(　　) A．CC B．AA C. D．AAA 5．某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种．(用数字作答) 6．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　) A．30 B．60 C．120 D．240 7．某综合性大学数学科学学院为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式(用数字作答)． 8．甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有(　　) A．42种 B．30种 C．24种 D．18种 9．（多选）安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年成都大运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为AC C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(CC＋CC)A D．若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为CCA＋CA 10．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求： （1）5名同学站成一排，有多少种不同的方法？ （2）5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？ （3）将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？ 11．将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数. （1）每个盒子都不空； （2）恰有一个空盒子； （3）恰有两个空盒子. 12．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________． 13．现有15个省三好学生名额分给1,2,3,4四个班级，其中1班至少有2个名额，2班、4班每班至少有3个名额，3班最多有2个名额，则共有________种不同分配方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $