第九章 统计（能力提升卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 第九章统计能力提升卷，精选近三年真题与模拟题，覆盖随机抽样、数据特征、统计图表等核心知识点，适配高中数学单元复习，通过真实情境与梯度设计培养数学眼光与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|随机数表法、分位数、折线图分析|结合直播带货、游戏用户规模等时代情境，考查数据提取能力| |多选|3/18|数据特征判断、频率分布直方图比较|通过公共卫生事件、社区用水调查，培养逻辑推理与批判性思维| |填空|3/15|方差计算、中位数与众数|设置骰子试验、样本数据方差最值问题，强化数学思维严谨性| |解答|5/77|频率分布直方图、分层抽样、方差合成|以模联问答、志愿者选拔为背景，综合考查数据处理与模型构建，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

第九章 统计（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·山东济宁·期末）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验，先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读取（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是 A．548 B．443 C．379 D．217 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（    ） A．68 B．69 C．70 D．71 3．（2026·广东梅州·一模）若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（    ）         A．5000元 B．5500元 C．6000元 D．6500元 4．（25-26高二上·浙江·开学考试）某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9，，8，，9．已知这组数据的平均数为8.6，方差为0.24，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（ ） A．两组数据的极差不可能相等 B．两组数据的中位数不可能相等 C．若，则两组数据的方差不可能相等 D．若，两组数据的第百分位数可能相等 6．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·全国·模拟预测）如图为2014—2022年中国游戏用户规模（单位：百万人）及同比增长率、2010—2022年中国国产游戏获批版号数量（单位：个）的统计图，则下列结论正确的是（    ）      A．2014—2022年中国游戏用户规模逐年增长 B．2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率的中位数为 C．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为223个 D．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的平均数超过1600个 8．（24-25高二上·四川绵阳·期末）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（    ） A．至少有个位置存放了不少于个数据 B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C．若的方差为，则的最小值为，最大值为 D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026高一下·全国·专题练习）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ） A．甲地：总体平均数为3，中位数为4 B．乙地：中位数为2，众数为3 C．丙地：极差为3，第80百分位数为4 D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3 10．（2026·四川自贡·三模）为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（    ）. A．且. B．且. C．且. D．. 11．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（    ） A．数据的方差为4； B．数据的平均数为24； C．数据的平均数为10，方差大于1； D．若数据的中位数为，分位数为，则. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高三上·河南洛阳·月考）已知样本的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则__________. 13．（2026高三下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有_______人. 14．（2026·江西·模拟预测）某校积极开展“武术进校园”活动，为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5，极差不大于6，且样本数据互不相等，则该样本数据的方差的最大值为______. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·海南·期中）模联协会进行知识线上问答，共有100名同学参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，试估计这100人的问答成绩的中位数（结果保留整数）； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加海南省模联知识问答比赛，那么在内应各抽取多少人？ 16．（25-26高一下·甘肃·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 17．（25-26高二上·全国·阶段检测）在某中学初一年级6班学生身高的调查中，采用分层随机抽样，其中男生抽取了m人的样本，其平均数与方差分别为，；女生抽取了n人的样本，其平均数与方差分别为，；总样本数据平均数与方差分别为，．设，，则：． (1)若，米，，现再从初一年级6班学生中抽取两个男生作为样本，他们的身高分别为米和米，求所有男生样本的方差； (2)若且，证明． 18．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 19．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·山东济宁·期末）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验，先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读取（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是 A．548 B．443 C．379 D．217 【答案】D 【分析】利用随机数表写出每一个数字即得解. 【详解】第一个号码为439，第二个号码为495，第三个号码为443，第四个号码为217. 故选D 【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（    ） A．68 B．69 C．70 D．71 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】已知数据是按照从小到大的顺序排列， 因为， 所以75%分位数为第个数据，即为. 故选：C. 3．（2026·广东梅州·一模）若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（    ）         A．5000元 B．5500元 C．6000元 D．6500元 【答案】A 【分析】根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果. 【详解】刚退休时就医费用为元，现在的就医费用为元，占退休金的， 因此，目前该教师的月退休金为元. 故选：A 4．（25-26高二上·浙江·开学考试）某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9，，8，，9．已知这组数据的平均数为8.6，方差为0.24，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平均数公式和方差公式，得，，利用换元，即可计算的值. 【详解】，得， ， 化简得， 设，， 则，所以， . 故选：A 5．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（ ） A．两组数据的极差不可能相等 B．两组数据的中位数不可能相等 C．若，则两组数据的方差不可能相等 D．若，两组数据的第百分位数可能相等 【答案】C 【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各项的正误. 【详解】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，A错误； B，不妨设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，B错误； C，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，C正确 D，在按从小到大的顺序排列的个数据中， 此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即， 删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第三个数，即或，而，则， 显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，D错误． 故选：C 6．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率和为可解得，再根据百分位数的定义及公式求解. 【详解】设销售额的第百分位数为， 由已知，解得， 又， ， 所以， 且， 解得， 即销售额的第百分位数为. 7．（2026·全国·模拟预测）如图为2014—2022年中国游戏用户规模（单位：百万人）及同比增长率、2010—2022年中国国产游戏获批版号数量（单位：个）的统计图，则下列结论正确的是（    ）      A．2014—2022年中国游戏用户规模逐年增长 B．2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率的中位数为 C．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为223个 D．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的平均数超过1600个 【答案】D 【分析】根据条形统计图、折线统计图逐项分析样本的数字特征即可判断. 【详解】A选项：2022年中国游戏用户规模比2021年少，A错误； B选项：2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率从小到大依次为，， ，，，，，，，中位数为，B错误； C选项：2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为（个），C错误； D选项： ，D正确． 故选：D 8．（24-25高二上·四川绵阳·期末）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（    ） A．至少有个位置存放了不少于个数据 B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C．若的方差为，则的最小值为，最大值为 D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 【答案】D 【分析】设为数据除以的余数为的数的个数，利用特例法可判断A选项；求出这个数的值，结合中位数的定义可判断B选项；利用方差的定义可求出的最大值和最小值，可判断C选项；对个位置是否存在空位进行讨论，结合极差的定义可判断D选项. 【详解】设为数据除以的余数为的数的个数， 对于A选项，， 不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，A错； 对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、， 这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、， 所以，，，，，，，， 将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，B错； 对于C选项，由题意可知，这个数的平均数为， 且，， 因为，， 当这个数中有个，个时，取最小值， 即， 当这个数中有个，个时，取最大值， 即，C错； 对于D选项，不妨这个数依次为：、、、、、、， 满足极差为，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为， 因为，此时，至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，D对. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题D选项，主要要对个位置是否存在空位进行讨论，利用特例法结合极差的定义进行判断. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026高一下·全国·专题练习）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ） A．甲地：总体平均数为3，中位数为4 B．乙地：中位数为2，众数为3 C．丙地：极差为3，第80百分位数为4 D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3 【答案】CD 【分析】根据题意，结合平均数、中位数、极差和方差的计算概念及计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，甲地：总体平均数为3，中位数为4，而平均数和中位数不能限制极端值的出现，不能保证某一天的新增疑似病例不超过7人，所以A不正确； 对于B中，当数据为时，可得乙地中位数为2，众数为3， 可以有一天的新增疑似病例人数为8，所以B不正确； 对于C中，假设过去10天新增疑似病例数据中存在一个数据，其中， 而第80百分位数为4，在数据从小到大排列后，第8个数据小于等于4， 且，极差不可能为，所以假设不成立，所以符合没有发生大规模群体感染的标志，所以C正确； 对于D中，假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据，其中， 因为总体的平均数为2，则总体方差，故不成立， 所以假设不成立，故符合没有发生大规模群体感染的标志，所以D正确. 故选：CD. 10．（2026·四川自贡·三模）为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（    ）. A．且. B．且. C．且. D．. 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差. 【详解】中位数的计算与比较： 由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内， 第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35， 则，解得​， 由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内， 则，解得，所以<​. 平均数的计算与比较： 甲组平均数 ​： . 乙组平均数​： . 所以​. 众数的计算与比较： 由图甲可得甲组众数​； 由图乙可得乙组众数，所以​ . 标准差的比较： 因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以. 对于A，由前面计算可知<且​​，故A 正确； 对于B，因​​且，故B正确； 对于C，由前分析得，，， ，，，故C错误； 对于D ，因，，，则 ，故D正确 . 故答案选 ABD. 11．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（    ） A．数据的方差为4； B．数据的平均数为24； C．数据的平均数为10，方差大于1； D．若数据的中位数为，分位数为，则. 【答案】ABD 【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断. 【详解】对于，因为， 所以， 所以数据的平均数为，故正确； 对于，因为， 所以 ， 所以数据的方差为，故正确； 对于，， ，故错误； 对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数， 因为，所以分位数为第五个数， 按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数， 所以，故正确. 故选：. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高三上·河南洛阳·月考）已知样本的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则__________. 【答案】1 【分析】根据平均数与方差的线性变换先去计算的值，然后计算的值. 【详解】因为的平均数为，所以的平均数为；因为的方差为，所以的方差为；所以，解得：或，所以. 【点睛】本题考查平均数与方差的线性变换，难度一般.已知的平均数与方差为：，那么的平均数与方差为：. 13．（2026高三下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有_______人. 【答案】2 【分析】根据中位数，极差，平均数，方差，众数等定义分别判断计算各个选项即可. 【详解】①5出现两次，又中位数为3，则数据从小到大为，一定没有6； ②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为符合题意，故可能出现6； ③中位数为1，平均数为2，则设数据从小到大为符合题意，故可能出现6； ④平均数为3，方差为2，则满足要求且含6的数据从小到大为， 故且， 因为，满足题意的至少有3个3，一个2或4， 不符合，所以不能同时满足，故一定没有6. 综上，①④一定没有6. 故答案为：2 14．（2026·江西·模拟预测）某校积极开展“武术进校园”活动，为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5，极差不大于6，且样本数据互不相等，则该样本数据的方差的最大值为______. 【答案】 【分析】设这5个班级的样本数据分别为，，，，（），且，，，，，根据已知得，，又，进而有对应数据依次为2，3，5，7，8或2，4，5，6，8或3，4，5，6，7，比较它们的方差即可得. 【详解】不妨设这5个班级的样本数据分别为，，，，（），且，，，，， 依题意有，易知， 所以，则，，又， 所以，，，，的值可能有如下三种情况， 2，3，5，7，8，则均值为5，方差为； 2，4，5，6，8，则均值为5，方差为； 3，4，5，6，7，则均值为5，方差为； 所以2，3，5，7，8的方差最大，为. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·海南·期中）模联协会进行知识线上问答，共有100名同学参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，试估计这100人的问答成绩的中位数（结果保留整数）； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加海南省模联知识问答比赛，那么在内应各抽取多少人？ 【答案】(1)0.015，73 (2)12，10，2 【详解】（1）, 因为， 所以，所以中位数为； （2）因为， 所以在内应各抽取： . 16．（25-26高一下·甘肃·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【答案】(1)，平均数为69.5 (2)21.9 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据第四组和第五组的频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名候选者面试成绩的平均数， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． 17．（25-26高二上·全国·阶段检测）在某中学初一年级6班学生身高的调查中，采用分层随机抽样，其中男生抽取了m人的样本，其平均数与方差分别为，；女生抽取了n人的样本，其平均数与方差分别为，；总样本数据平均数与方差分别为，．设，，则：． (1)若，米，，现再从初一年级6班学生中抽取两个男生作为样本，他们的身高分别为米和米，求所有男生样本的方差； (2)若且，证明． 【答案】(1)0.0045 (2)证明见解析 【详解】（1）因为两个男生的平均身高为米， 方差为， 设所有男生的平均身高为，则， 设所有男生的方差为，则. （2），又， ，，， ， ，， ，， . 18．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)，85； (2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 19．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由图得， 解之可得； （2）根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $