第九章 统计（单元自测·提升卷）高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第九章 统计·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B B D C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的整数随机数． 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的袋装牛奶进入样本． 第四步，重复上述过程，直到产生10个不同编号为止．（7分） （2）应抽取的袋装牛奶的编号为162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）    由七年级学生成绩统计图可得，众数是，所以，（2分） 合格率为，所以，（4分） 由八年级学生成绩统计图可得，成绩为5分的有3人，成绩为6分的有2人，成绩为7分的有5人，此时总共为10人，总共为20人，所以中位数为，即;（6分） （2）由八年级学生成绩统计图可得，成绩为5分的有3人，则成绩合格的人数有17人， 即样本合格率为，（8分） 利用样本合格率估计总体该校八年级有600名学生的合格人数约为：（人）；（10分） （3）选择中位数：中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的那个数.如果数据的数量是奇数，中位数就是正中间的那个数；如果是偶数，则通常取中间两个数的平均值. 由此可见中位数不受极端值的影响，这使得它在描述数据的集中趋势时更加稳定， 因为中位数接近于平均数，所以我们可以用中位数可以更好更快的估计出平均数.（15分） 选择众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值，由于该数据集中出现频率最高的值，它能代表“最普遍的情况”，它同样不受极端值的影响.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为，（2分） 这200人平均分布在10个自选快餐窗口，平均每个窗口等待取餐的人数为，所以选择自选快餐的消费者的最长等待时长为分钟．（4分） （2）设自选快餐窗口个，商务套餐窗口个，现炒现做窗口个，自售货机台． 自选快餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 商务套餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 现炒现做高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 自动售货机高峰期就餐总人数为，每台售货机等待人数为，最长等待时长为分钟．（8分） 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等， 则可得，即有．（11分） 因为．所以，，，．（14分） 故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6个，2个，9个，自动售货机1台．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）平均数,（1分） 方差（3分） （2）（ⅰ）由可得，（6分） 故是无效数据，（7分） （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得，（9分） 此时（11分） 此时，（15分） 故，，，均为有效数据，（16分） 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个（17分） 19．（17分） 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为，（1分） 频率分布直方图组距为2，故.（2分） 所有区间频率和为， 即，解得， 所以.（4分） （2）餐厅满意指数平均数；（6分） 餐厅满意指数平均数.（8分） 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数.（10分） （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数，（13分） 方差 .（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第九章 统计·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 2．某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学､高中的学生人数之比为，则样本容量为（    ） A．460 B．690 C．880 D．980 3．利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（    ）． A． B． C． D． 4．某工厂近个月每月生产款产品的月产量（单位：件）数据按从小到大排列为、、、、、、、、、，如果该组数据的下四分位数与第百分位数之和为，则（   ） A． B． C． D． 5．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：    则下列结论中正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12150 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上 C．这一星期内甲的日步数的平均值小于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙 6．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 8．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（    ） A．57 B．58 C．60 D．61 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，且，若样本的平均数等于中位数，则（    ） A．样本的平均数为 B．样本的极差为 C．样本的第25百分位数为 D．样本的众数为或 10．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 11．某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 13．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是_____________． 14．容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. 16．（15分） 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）.数据整理如图表：    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 7 合格率 85% 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出统计表中，，的值； (2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； (3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义. 17．（15分） 已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）． (1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？ (2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由． 18．（17分） 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 19．（17分） 为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第九章 统计·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 【答案】A 【分析】按照众数与中位数这两个概念进行求解即可 【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数， 而，故中位数是； 故只有选项A正确； 故选：A． 2．某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学､高中的学生人数之比为，则样本容量为（    ） A．460 B．690 C．880 D．980 【答案】C 【分析】根据抽样比例和相差人数，解方程即可. 【详解】设样本中小学学生人数为，则高中学生人数为，所以， 解得，即高中学生数为，初中学生人数为， 小学学生人数为，样本容量为. 3．利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合简单随机抽样的定义，即可求解． 【详解】解：从第二次开始抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为， 则， 解得， 故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为． 故选：B． 4．某工厂近个月每月生产款产品的月产量（单位：件）数据按从小到大排列为、、、、、、、、、，如果该组数据的下四分位数与第百分位数之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，所以该数据组的下四分位数为第个数，即为． 又，所以第百分位数是第个数与第个数的平均数，即， 则由题意知，解得． 5．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：    则下列结论中正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12150 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上 C．这一星期内甲的日步数的平均值小于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义即可判断A；由图找出甲的中位数，计算甲乙的平均数，结合折线图逐项分析可得答案． 【详解】由图可知，这一星期内甲的日步数按从小到大分别为： 2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，共7个数， 由，所以这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12700，故A错误； 乙星期四的日步数为12970，乙星期三的日步数，故B错误； 甲的平均数为， 乙的平均数为，故C错误； 从折线图看，甲的日步数波动比较大，乙的日步数波动比较小， 故甲的日步数的方差大于乙，故D正确． 故选：D． 6．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案. 【详解】，，，这组样本数据的平均数为3，可得 ，则， 新增一个数据3后，数据变为 ， 则新数据的平均数为 ， 已知原数据 的方差为 2 ，根据方差公式可得 ， 则， 所以新数据的方差为，, 则 ，化简可得 ，解得. 7．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 【答案】C 【分析】通过题目数据计算频数、极差、中位数、平均值，逐项分析即可. 【详解】根据表中数据，这400根棉花纤维的长度的极差估计值不超过，选项A错误； 纤维长度低于的棉花纤维数占比为，选项B错误； 由于纤维长度小于200的纤维数量为130，纤维长度不低于250的纤维数量为150， 可知这400根棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间，选项C正确； 400根棉花纤维的长度的平均值估计值为 ， 选项D错误. 故选：C 8．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（    ） A．57 B．58 C．60 D．61 【答案】C 【分析】由题意可得插入的两个数不可能都是；可得一个为，另一个数不小于8，由极差加倍，则另一个数为，若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，进而可得，进而可求的最大值. 【详解】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是”，或是“一个为，另一个不是”， 或是“两个不等的且不是，，”． ①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是； ②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为，另一个不是”，则一个为，另一个数不小于， 又因为极差加倍，则另一个数为，此时； ③若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，中位数保持不变， 则两个数可以为 ，，，，，，， 所以，的最大值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，且，若样本的平均数等于中位数，则（    ） A．样本的平均数为 B．样本的极差为 C．样本的第25百分位数为 D．样本的众数为或 【答案】AC 【分析】对于ABC：根据平均数、极差、百分位数的定义逐个判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】由题意，知样本的中位数为，故样本的平均数为，A正确； 样本的极差为，其不一定等于，B错误； 因为，所以样本的第25百分位数为，C正确； 若样本数据为1，2，3，4，则该样本没有众数，D错误. 故选：AC. 10．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】BC 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，错误； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 超过从事这两个行业总人数的，正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， “80前”占比，错误. 故选：BC 11．某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，续航里程在内的频率为：，A正确； 对于B，频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为100， 因此：，解得，因此选项B正确； 对于C，由于前2组的频率为0.3，由题意知第一四分位数为a， 则有； 由于前3组的频率为0.6，第二四分位数为b， 则有，C错误； 由于前4组的频率为0.85，第三四分位数为c， 则有， 故，则，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 【答案】 【分析】通过分层随机抽样，平均数的概念求解. 【详解】由题意可知，，且， 所以该校高一学生平均身高的估计值， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 13．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是_____________． 【答案】 【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出． 【详解】数据，，，的平均数为，方差为， 所以，，即， 则， 因为，所以， 因函数在上单调递减， 故当时，的最大值是． 故答案为：． 14．容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由百分位数的定义可证明，再说明可能取到，即得结果. 【详解】由百分位数的定义，按从小到大排列原始数据，第百分位数， 如果不是整数，则第百分位数为大于的比邻整数数位的数据， 如果是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 所以，一方面，若容量为的一组数据的第百分位数各不相同. 这个数本身有个，相邻两个数的平均数有个，这共有个数. 而每个第百分位数都是这个数之一，这些百分位数又各不相同. 所以，即； 而另一方面，这组数据的第百分位数分别是，各不相同. 所以，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. 【答案】(1)答案见解析 (2)162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. 【分析】（1）根据随机数法抽取样本的原则操作即可； （2）根据随机数与编号相对应，一次写出即可； 【详解】（1）第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的整数随机数． 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的袋装牛奶进入样本． 第四步，重复上述过程，直到产生10个不同编号为止． （2）应抽取的袋装牛奶的编号为162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. 16．（15分） 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）.数据整理如图表：    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 7 合格率 85% 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出统计表中，，的值； (2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； (3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义. 【答案】(1)，， (2)人 (3)答案见解析 【分析】(1)利用图表中的数据来求中位数，众数，频率即可； (2)利用频率来估计总体即可求解； (3)说明中位数和众数的意义即可. 【详解】（1）    由七年级学生成绩统计图可得，众数是，所以， 合格率为，所以， 由八年级学生成绩统计图可得，成绩为5分的有3人，成绩为6分的有2人，成绩为7分的有5人，此时总共为10人，总共为20人，所以中位数为，即; （2）由八年级学生成绩统计图可得，成绩为5分的有3人，则成绩合格的人数有17人， 即样本合格率为，利用样本合格率估计总体该校八年级有600名学生的合格人数约为：（人）； （3）中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的那个数.如果数据的数量是奇数，中位数就是正中间的那个数；如果是偶数，则通常取中间两个数的平均值. 由此可见中位数不受极端值的影响，这使得它在描述数据的集中趋势时更加稳定， 因为中位数接近于平均数，所以我们可以用中位数可以更好更快的估计出平均数. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，由于该数据集中出现频率最高的值，它能代表“最普遍的情况”，它同样不受极端值的影响. 17．（15分） 已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）． (1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？ (2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由． 【答案】(1)20分钟 (2)取餐窗口分别为6个，2个，9个，自动售货机1台；理由见解析 【分析】（1）计算就餐高峰期时选择自选快餐的总人数，再根据平均分布求解即可； （2）设自选快餐窗口个，商务套餐窗口个，现炒现做窗口个，自售货机台，再分别计算自选快餐、商务套餐、现炒现做、自售货机的最长等待时间，再依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等列式求解即可. 【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为， 这200人平均分布在10个自选快餐窗口，平均每个窗口等待取餐的人数为，所以选择自选快餐的消费者的最长等待时长为分钟． （2）设自选快餐窗口个，商务套餐窗口个，现炒现做窗口个，自售货机台． 自选快餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 商务套餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 现炒现做高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 自动售货机高峰期就餐总人数为，每台售货机等待人数为，最长等待时长为分钟． 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等， 则可得，即有． 因为．所以，，，． 故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6个，2个，9个，自动售货机1台． 18．（17分） 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)平均数为210，方差为3.6 (2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解， （2）（ⅰ）（ⅱ）根据的计算公式，与的值比较即可求解 【详解】（1）平均数, 方差 （2）（ⅰ）由可得， 故是无效数据， （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得， 此时 此时， 故，，，均为有效数据， 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个 19．（17分） 为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以. （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第九章 统计·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 2．某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学､高中的学生人数之比为，则样本容量为（    ） A．460 B．690 C．880 D．980 3．利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（    ）． A． B． C． D． 4．某工厂近个月每月生产款产品的月产量（单位：件）数据按从小到大排列为、、、、、、、、、，如果该组数据的下四分位数与第百分位数之和为，则（   ） A． B． C． D． 5．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：    则下列结论中正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12150 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上 C．这一星期内甲的日步数的平均值小于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙 6．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 8．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（    ） A．57 B．58 C．60 D．61 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，且，若样本的平均数等于中位数，则（    ） A．样本的平均数为 B．样本的极差为 C．样本的第25百分位数为 D．样本的众数为或 10．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 11．某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 13．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是_____________． 14．容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. 16．（15分） 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）.数据整理如图表：    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 7 合格率 85% 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出统计表中，，的值； (2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； (3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义. 17．（15分） 已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）． (1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？ (2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由． 18．（17分） 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 19．（17分） 为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $