第33讲 正、余弦定理的应用举例 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦正、余弦定理的应用，覆盖测量距离、高度、角度三大高考核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳出多选、填空、解答等常考题型，通过例题解析与方法总结，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题案例+方法总结+跟踪训练”的备考策略，如例1通过正弦定理推导AD长度，培养学生数学思维，方法总结强调基线选取与三角形转化技巧，帮助学生用数学语言表达实际问题。助力学生掌握解题规律，教师可据此高效开展复习教学。

第33讲正、余弦定理的应用举例 考点一　测量距离问题 [例1]　(多选)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12 n mile,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12 n mile,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则下列结论正确的有(　 　) A.AD=24 n mile B.CD=12 n mile C.∠CDA=60°或∠CDA=120° D.∠CDA=60° ABD [解析]　如图,由题意得∠BAD=75°,∠CAD=30°, ∠ADB=60°,AB=12,AC=12,在△ABD中, 易得B=45°,由正弦定理=,得AD==24,故A正确;在△ACD中,由余弦定理CD2=AC2+AD2-2×AC×AD×cos 30°,得CD2=(12)2+242-2×12×24×=144,所以CD=12,故B正确;在△ACD中,由正弦定理=,得sin∠CDA==,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,因为AD>AC,所以∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,故C错误,D正确. 方法总结 距离问题的解题思路 解决距离问题,实质就是解三角形,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解. 注意:(1)基线的选取要恰当准确;(2)选取的三角形及正、余弦定理的应用要恰当. 跟踪训练 1.如图,某市地面上有四个信号塔A,B,C,D.已知信号 塔C,D建在江的南岸,距离为10 km,信号塔A,B建 在江的北岸,测得∠ACB=45°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,∠ADB=75°,则信号塔A,B之间的距离为　　　　 km.  10 解析:在△ACD中,∠ACD=30°,∠ADC=120°,又∠ADB=75°, 所以∠BDC=45°,∠CAD=30°,所以∠ACD=∠CAD,所以AD=CD=10, 在△BCD中, ∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°, 由正弦定理得BD===5+5, 在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=(10)2+(5+5)2-2×10×(5+5)cos 75°=500, 所以AB=10 km,即信号塔A,B之间的距离为10 km. 考点二　测量高度问题 [例2]　(2026·江西上饶调研)某中学研究性学习小组为测量某旗杆的高度,在和它底部O位于同一水平高度且共线的三点A,B,C处测得旗杆顶端P处的仰角分别为,,,且AB=BC=20 m,如图,则该旗杆的高度为 (　　) A.15 m　　　　　　 B.10 m C.6 m D.5 m B [解析]　设OP=h,则OA=h,OB=h,OC=h, 在△ABO中,由余弦定理的推论得 cos∠ABO==, 在△BCO中,由余弦定理的推论得 cos∠OBC==. 因为∠ABO+∠OBC=π, 所以+=0, 即800-h2=0,解得h=10, 所以该旗杆的高度为10 m. 跟踪训练 2.(2026·江西鹰潭模拟)一同学为测量某信号塔的高度MN,在该信号塔的正北方向找到一座建筑物AB,高为7.5 m,在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A、信号塔顶部M的仰角分别为15°和60°,在A处测得信号塔顶部M的仰角为30°,则该信号塔的高度约为(参考数据:≈1.73)(　　) A.37.52 m B.35.48 m C.33.26 m D.31.52 m B 解析:sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,在△ABC中,AC==,在△ACM中,∠ACM=180°-60°-15°=105°,∠MAC=30°+15°=45°,则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=30°,由正弦定理,得=,则MC==×,所以MN=MCsin∠MCN=××sin 60°=≈35.48(m). 考点三　测量角度问题 [例3]　一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向,距离为 6 n mile,灯塔C在A的北偏东60°方向,距离为6 n mile,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的(　　) A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向 D [解析]　如图,由题意,在△ABD中,∠DAB=60°,AB=6, ∠ADB=60°,则△ABD为正三角形,则AD=6, 在△ACD中,因为AC=6,∠CAD=30°, 由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=(6)2+62-2×6×6×=36, 所以CD=6,所以∠ACD=∠CAD=30°,故∠CDA=120°, 此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向. 跟踪训练 3.公路北侧有一幢楼,高为60 m,公路与楼的底部在同一水平面上.某人在公路的点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60 m到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60 m到点C处,测得仰角为θ,则sin θ=(　　) A. B.3 C.-2 D.- A 解析:如图所示,由题意有DE=AB=BC=60,∠DAE=∠DBE=45°, 则有AE=BE=AB=60,故∠EAB=60°, 则EC= =60, 故DC==120,则sin θ=sin∠DCE==. $