第36讲 平面向量的数量积课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量数量积，覆盖基本运算、模/夹角/垂直应用、实际应用三大核心考点，依据高考评价体系分析近5年真题，如2023全国乙卷正方形问题，明确基本运算占35%、模与垂直应用占50%的高频分布，归纳单位向量运算、坐标法等6类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养落地”，以2023全国乙卷为例，用坐标法和基底法突破数量积计算，培养数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言（模型观念）。设“方法总结库”和“易错警示”，帮助学生掌握得分技巧，教师可依此精准教学，提升复习效率。

第36讲平面向量的数量积 考点一　平面向量数量积的基本运算 [例1]　(1)(2026·山西太原模拟)已知向量a,b,c均为单位向量,且a+3b+2c=0,则a·(2b-c)=(　　) A.0　　　　　　　　　 B.-1 C.2 D.-3 [解析]　由a+3b=-2c,得a2+6a·b+9b2=4c2,即1+6a·b+9=4,有a·b=-1. 又由a+2c=-3b,得a2+4a·c+4c2=9b2,即1+4+4a·c=9,有a·c=1, 故a·(2b-c)=2a·b-a·c=-3. D (2)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·=(　　) A. B.3 C.2 D.5 B [解析]　法一:以{,}为基底向量,可知||=||=2,·=0,则=+=+,=+=-+,所以·=(+)·(-+)=-+=-1+4=3. 法二:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系, 则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2), 所以·=-1+4=3. 方法总结 计算平面向量数量积的主要方法 1.利用定义:a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 2.利用坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 3.利用基底法求数量积. 4.灵活运用平面向量数量积的几何意义. 跟踪训练 1.已知非零向量a,b满足|b|=2|a|=2,且|2a-b|=3|a|,则a·b=(　　) A.- B. C. D.- 解析:因为|b|=2|a|=2,则|a|=1. 又|2a-b|=3|a|,则有(2a-b)2=(3a)2,化简得4|a|2+|b|2-4a·b=9|a|2,解得a·b=-. A 2.如图, N为等边△ABC的中线AD上任意一点,MB=3,MC=2,则·(-)= (　　) A. B. C. D. D 解析:法一:因为△ABC为等边三角形,AD是边BC的中线,所以AD⊥BC,故·=0, 所以·(-)=(+)·=·+·=·. 因为D是BC上的中点,所以=(+). 因此·=(+)·(-)=(||2-||2)=. 法二:以D为原点,DC,DA分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设M(x,y),N(0,n),B(-a,0),C(a,0). 则=(-x,n-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y),=(-2a,0), 所以·(-)=·=2ax. 又因为MB=3,MC=2, 所以有 两式作差得4ax=5,故·(-)=2ax=. 考点二　平面向量数量积的应用 角度1　向量的模 [例2]　(2026·山东烟台模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,则||=(　　) A. B. C. D.2 C [解析]　在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3, 所以=+, 则||= = ==. 角度2　向量的夹角 [例3]　(2026·河北邯郸模拟)已知非零向量a,b满足|a|=|a-2b|,且向量a,b 的夹角为,则向量a,a+2b的夹角为　　　　.  [解析]　由|a|=|a-2b|可得|a|2=|a|2-4a·b+4|b|2, 又a,b为非零向量,且向量a,b的夹角为, 则4|a|·|b|×=4|b|2,即|a|=2|b|, 又a·(a+2b)=|a|2+2|a|·|b|×=4|b|2+2|b|2=6|b|2, |a+2b|====2|b|, 所以cos〈a,a+2b〉===, 所以〈a,a+2b〉=. 角度3　向量的垂直 [例4]　(人A必修第二册P60T8改编)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 [解析]　法一:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,所以4+x2=4x,解得x=2. 法二(坐标法):因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,解得x=2. D 跟踪训练 3.(2026·辽宁鞍山模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(0,1),若a⊥(b+λc),则λ=(　　) A.- B. C.-2 D.2 解析:由b=(1,0),c=(0,1),得b+λc=(1,λ),由a⊥(b+λc),得1+2λ=0, 所以λ=-. A 4.(2026·北京模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a2=a·b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析:因为a2=a·b,则|a|2=|a|·|b|cos〈a,b〉,又|a|=1,|b|=2, 所以1=2cos〈a,b〉,则cos〈a,b〉=.因为〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=. B 5.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  解析:a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+1-2x=0,解得x=1,则a=(1,1),则|a|=. 考点三　平面向量数量积的实际应用 [例5]　如图所示,质点P从点A出发,沿AB,BC,CD运动至点D, 已知AB∥CD,AB=4,BC=2,CD=3,·=-2,则质点P位移的 大小是(　　) A.9 B.2 C.2 D. D [解析]　由题意可得质点P的位移为=++, 所以||= =. 因为AB=4,BC=2,CD=3,所以·=12, 设,的夹角为θ,所以·=||||·cos θ=-2⇒cos θ=-. 因为AB∥CD,所以·=||||cos θ=2×3×(-)=-,所以||=. 跟踪训练 6.若平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知 |F1|=,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,则F2与F3的夹角为　　　　.  解析:如图以F1和F2的公共起点为原点,以F1的方向为 x轴正方向建立平面直角坐标系. 设F1=,F2=,∠AOB=. 因为|F1|=,|F2|=2且F1与F2的夹角为,可得A(,0),B(-,1), 所以F1==(,0),F2==(-,1). 因为三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0, 即F3=-(F1+F2)=(0,-1),则|F3|=1,所以F2·F3=(-)×0+1×(-1)=-1. 设F2与F3的夹角为θ,则cos θ===-. 因为θ∈[0,π],所以θ=,所以F2与F3的夹角为. $