专题02直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线专项训练（16大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 聚焦直角三角形、垂直平分线与角平分线，以16类题型构建“概念-性质-判定-应用”四层方法体系，通过典例提炼逆命题转化、HL全等判定、将军饮马模型等解题策略，逻辑链条清晰。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|6题型（含锐角互余）|性质与判定互逆关系|从直角三角形基本性质延伸至逆命题概念| |判定与推理|4题型（含HL全等）|HL全等条件分析、定理证明思路|衔接互逆定理与特殊三角形全等判定| |作图与应用|2题型（含作垂线）|尺规作图步骤与依据、角平分线性质应用|结合作图操作强化几何直观| |综合与拓展|4题型（含折叠与最值）|折叠转化思想、将军饮马模型|从静态性质到动态问题，培养推理意识与创新意识|

专题02直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线 专项训练 题型梳理归纳 题型1.直角三角形的两个锐角互余 题型2.锐角互余的三角形是直角三角形 题型3.写出命题的逆命题 题型4.判断是否为互逆命题 题型5.定理与证明 题型6.互逆定理 题型7.用HL证全等（HL） 题型8.全等的性质和HL综合（HL） 题型9.线段垂直平分线的性质 题型10.线段垂直平分线的判定 题型11.作垂线(尺规作图) 题型12.角平分线的性质定理 题型13.角平分线的判定定理 题型14.角平分线性质的实际应用 题型15.直角三角形折叠问题 题型16.线段垂直平分线的最值问题 题型17.分层精练13道题 核心题型精讲 题型1.直角三角形的两个锐角互余 1．将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 3．如图，在中，，是高，． (1)若，求出的长度； (2)求证：． 题型2.锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 3．如图，在中，，点E在边上，，，．求证：． 题型3.写出命题的逆命题 1．下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 2．命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 3．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 题型4.判断是否为互逆命题 1．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 2．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 3．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 题型5.定理与证明 1．下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 2．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 3．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 题型6.互逆定理 1．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 2．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 题型7.用HL证全等（HL） 1．如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 2．如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 3．如图，是上的一点，且， (1)求证：． (2)若，则等于______． 题型8.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 3．如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 题型9.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，，分别以A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于M，N，直线与交于点D，连接，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 3．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 题型10.线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，，，，为直线上的动点．过点作射线于点，若，则的长为________． 3．如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 题型11.作垂线(尺规作图) 1．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与斜边交于点D，与直角边交于点E；连接．则线段的长为______． 3．如图，在等腰中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的右侧作，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 题型12.角平分线的性质定理 1．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 3．如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． (1)求证：； (2)当时，把沿直线翻折得到，证明：． 题型13.角平分线的判定定理 1．下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，平分，若，则的长为_____． 3．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 题型14.角平分线性质的实际应用 1．如图，两个完全一样的三角板摆放在内，它们的顶点重合于点M，连接则（    ） A． B． C． D．点M在BC边的垂直平分线上 2．如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是____． 3．如图，中，． (1)用直尺和圆规在边上确定点P，使点P到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，则（1）中线段的长为 ． 题型15.直角三角形折叠问题 1．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与重合）为折痕，得到，连接，设的度数分别为，若，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 3．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，折痕为；将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)与的关系是___________； (2)若，求的度数； (3)连接，在（2）的前提下，若，求的度数． 题型16.线段垂直平分线的最值问题 1．如图，在中，，为的中点，分别以点，为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，为直线上任意一点，连接，．若，．则的最小值为（    ）． A．5 B． C． D．10 2．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°． 3．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 分层精练 一、单选题 1．下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 2．如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（   ） A． B．C． D．平分 5．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．全等三角形的面积相等．该命题的逆命题是______．原命题是______命题，逆命题是______命题（后两空填“真”或“假”）． 7．若中，，则最大角___________，是___________三角形． 8．如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 9．如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为_____． 三、解答题 10．已知：如图，在中，，，． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 11．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 13．如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线 专项训练 题型梳理归纳 题型1.直角三角形的两个锐角互余 题型2.锐角互余的三角形是直角三角形 题型3.写出命题的逆命题 题型4.判断是否为互逆命题 题型5.定理与证明 题型6.互逆定理 题型7.用HL证全等（HL） 题型8.全等的性质和HL综合（HL） 题型9.线段垂直平分线的性质 题型10.线段垂直平分线的判定 题型11.作垂线(尺规作图) 题型12.角平分线的性质定理 题型13.角平分线的判定定理 题型14.角平分线性质的实际应用 题型15.直角三角形折叠问题 题型16.线段垂直平分线的最值问题 核心题型精讲 题型1.直角三角形的两个锐角互余 1．将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，． 2．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【答案】50 【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ． ， ． ， ． 3．如图，在中，，是高，． (1)若，求出的长度； (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）根据含直角三角形的性质，进行求解即可； （2）根据在中，，，得出，，进而得出，据此即可求得结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵是高， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2.锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为， ∴第三个角是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：，直角． 3．如图，在中，，点E在边上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质进行求证即可． 【详解】证明：，， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ，即， ． 题型3.写出命题的逆命题 1．下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 2．命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】交换原命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的条件为，结论为， 交换条件和结论，得到逆命题为“如果，那么”， 当时，可得或，即不能推出，因此该逆命题是假命题． 3．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 【答案】(1)反证法 (2)逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，该命题是真命题 (3)证明见详解 【分析】（1）根据反证法的定义即可判断； （2）根据逆命题的定义，找准结论和条件即可写出逆命题，并判断； （3）根据反证法，假设一个三角形中有两个直角，再利用三角形内角和证伪即可． 【详解】（1）解：由题目中的证明过程可知，该方法为反证法； （2）解：逆命题需将结论和条件互换，故逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 根据“等角对等边”定理可知，此为真命题； （3）证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设在中，，， ∵三角形内角和为， ， ∵在一个三角形中 ， ∴， 这与三角形内角和等于矛盾， ∴假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个直角． 题型4.判断是否为互逆命题 1．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 2．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 3．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 题型5.定理与证明 1．下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 2．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 3．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 题型6.互逆定理 1．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 2．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 题型7.用HL证全等（HL） 1．如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导出，，再根据，得到，则要用“”证明，应添加的一个条件是． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 若， ∴， ∴要用“”证明，应添加的一个条件是． 2．如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 3．如图，是上的一点，且， (1)求证：． (2)若，则等于______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）等角对等边，得到，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合含30度角直角三角形的性质，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 题型8.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 【详解】解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 2．如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】利用全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据给出条件，无法得出，故②错误； ③∵， ∴， ∵，且， ∴， 即， ∴，故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确选项为①③④． 3．如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 题型9.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，，分别以A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于M，N，直线与交于点D，连接，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据作图方法判断出是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，，， ∵，， ∴， 由作图可知，，， ∴点M，N都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是． 3．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，从而，再由等腰三角形的性质，可得，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形周长公式和等量代换，计算即可求解． 【详解】（1）解：是的垂直平分线，， ， ， ，， ， ； （2）解：的周长为，， ， 是的垂直平分线， ， ， 的周长为． 题型10.线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据尺规作图利用证明，可得结论； ②利用①的过程可得结论； ③利用直角三角形的性质和角平分线的定义进行判断； ④利用等角对等边得出相等的边，然后根据线段垂直平分线的判定定理得出结论． 【详解】解：①如图所示，连接， 由尺规作图可知，，且， ∴， ∴， 即平分， 故①正确； ②由①可得作图依据是, 故②错误； ③∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④由③可得， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 2．如图，在中，，，，为直线上的动点．过点作射线于点，若，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据勾股定理求出，再分三种情况：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，③当点在延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ①如图，当点在延长线上时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段上时， 此时，，故此种情况不存在； ③如图，点在延长线上时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 3．如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三线合一定理得到，利用三角形内角和定理求得，再证明，得到，求得，得到，即可证明； （2）由得到，，即可得到垂直平分． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴，， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴垂直平分． 题型11.作垂线(尺规作图) 1．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为10，得出，从而求出的长． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， ． 2．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与斜边交于点D，与直角边交于点E；连接．则线段的长为______． 【答案】3 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出答案． 【详解】解：由作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在等腰中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的右侧作，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过C在右侧，作的垂线，然后在垂线上截取，连接即可； （2）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证. 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：如图， 在等腰中，， ∴， 又，， ∴， ∴． 题型12.角平分线的性质定理 1．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，然后根据角平分线的性质定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点到边的距离为． 2．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 【答案】4 【分析】过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 3．如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． (1)求证：； (2)当时，把沿直线翻折得到，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）通过角平分线的性质得到，再根据已知条件证全等即可； （2）由翻折得到，根据全等得到，根据推出，即可得证； 【详解】（1）证明：平分， ， 又，， ∴． （2）证明：由翻折得， ， 由（1）得， ， ， ， ， ，即， ． 题型13.角平分线的判定定理 1．下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据逆命题的定义交换原命题条件和结论得到各命题的逆命题，再逐一判断即可． 【详解】解:（1）原命题逆命题为：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行．这是平行线的判定定理，是真命题． （2）原命题逆命题为：相等的角是对顶角．它是假命题，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角． （3）原命题逆命题为：若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形．因为三角形内角和为，则第三个角为，即三角形是直角三角形，故逆命题是真命题． （4）原命题逆命题为：对应角相等的两个三角形全等．它是假命题，例如边长为1和边长为2的等边三角形，对应角相等但不全等． （5）原命题逆命题为：角平分线上的点到角的两边距离相等．这是角平分线的性质定理，是真命题． 综上，逆命题为真命题的共3个． 2．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，平分，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的判定得到，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 题型14.角平分线性质的实际应用 1．如图，两个完全一样的三角板摆放在内，它们的顶点重合于点M，连接则（    ） A． B． C． D．点M在BC边的垂直平分线上 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，通过作辅助线将“三角板完全一样”转化为“点到角两边的距离相等”，得到，即可推出C选项． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点． 由于两个三角板完全一样，且顶点重合于，因此三角板到、的垂直距离分别对应相等，即． 选项A：缺少条件，无法推出是的平分线，即不一定等于，故A错误； 选项B：缺少条件，无法推出是的平分线，即不一定等于，故B错误； 选项C：因为，且，所以点在的平分线上，即平分，所以，故C正确； 选项D：缺少条件，无法推出点M在边的垂直平分线上，故D错误． 故选C． 2．如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是____． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 3．如图，中，． (1)用直尺和圆规在边上确定点P，使点P到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，则（1）中线段的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和作法． （1）由可知点到直线的距离即是，故点到、的距离相等，故点在的角平分线，画出的角平分线与交点即为所求作点， （2）作，由角平分线性质可知，再根据面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的平分线交于点P，即P点为所求； （2）作，垂足为E， 由（1）可知是的角平分线， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：3． 题型15.直角三角形折叠问题 1．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与重合）为折痕，得到，连接，设的度数分别为，若，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质得到，，推出，由折叠得，，推出，得到． 【详解】解：长方形， ，， ， ， ， ，即，， 由折叠得，， ， ， ． 2．如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据长方形的性质得出直角和平行线，根据直角的性质得出，然后利用翻折的性质以及角的和差求出，最后利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，折痕为；将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)与的关系是___________； (2)若，求的度数； (3)连接，在（2）的前提下，若，求的度数． 【答案】(1)互余 (2) (3) 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据翻折的性质以及平角的度数进行求解即可； （2）根据翻折的性质以及互余的角，进行求解即可； （3）根据长方形的性质得出直角，根据直角三角形的性质求出，然后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：根据翻折的性质得，， 又∵， ∴， ∴与是互余的关系， 故答案为：互余； （2）解：由（1）得，且， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是长方形， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型16.线段垂直平分线的最值问题 1．如图，在中，，为的中点，分别以点，为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，为直线上任意一点，连接，．若，．则的最小值为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点，，， ∴，，， ∴ ∴的最小值为． 2．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时的值最小，即点与点重合时的周长最小，根据等边对等角可知，再根据角之间的关系求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 则的周长为， 是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 当点、、三点共线时的值最小， 此时点与点重合， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 当的周长取最小值时，． 3．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】(1)，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 (2)9 (3) 【分析】（1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （3）设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； （2）解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称，， ∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． （3）解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， ∴由轴对称的性质可得，，， ∴． 分层精练 一、单选题 1．下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． 2．如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余求得，利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可证，从而判断①；利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而通过全等三角形证明，从而判断②；分情况讨论，当在的同侧时，根据②的结论得出，证明，得出，进而可得，当在的异侧时，得出，从而判断③． 【详解】解：①， ， 平分，平分， ， ， ， 在中， ， ．故①正确； ②过点作于，交于，作于， ， ， 平分，，， ， 同理可得， ， 在和 中， ， ， ．故②正确； ③当在的同侧时由②可得 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当在的异侧时， ， 同理可得，而， ∴，故③不正确． 综上所述，正确的结论是①②． 4．如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】由作图可得垂直平分，平分，由此即可判断AB选项正确；求出，，由此即可判断C选项正确，D选项错误． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴，，故AB选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故D选项错误，符合题意． 5．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选：A． 二、填空题 6．全等三角形的面积相等．该命题的逆命题是______．原命题是______命题，逆命题是______命题（后两空填“真”或“假”）． 【答案】 面积相等的三角形是全等三角形 真 假 【分析】根据逆命题的概念交换原命题的条件和结论得到逆命题，再结合全等三角形的性质与判定分别判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“全等三角形的面积相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形的面积相等”，交换条件和结论得到逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，根据全等三角形的性质可知，全等三角形的面积一定相等，因此原命题是真命题；但面积相等的三角形不一定是全等三角形，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等，因此逆命题是假命题． 7．若中，，则最大角___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 8．如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 9．如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质及其判定定理，连接，可证明垂直平分，得到，则可推出当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长，可证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 10．已知：如图，在中，，，． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的步骤画图即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理求出，即，进而可求解． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线如图所示： （2）解：连接， ∵垂直平分， ∴，设， 在中，，，， 由勾股定理得，解得， 故， ∴． 11．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证，利用全等三角形的性质证明，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 12．已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证，推出，进而证明，根据等角对等边，可得； （2）根据，，可得点O，A在的垂直平分线上，由此可证直线垂直平分． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 13．如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分； 【详解】（1）解：， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，平分， ，， ， 平分； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $