吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 以春晚机器人落地概率、医院义诊选医生等真实情境为载体，覆盖导数应用、概率统计、数列等核心知识，通过基础题到综合证明题的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列、导数单调性、切线方程|第7题结合舞蹈机器人站稳概率，体现数学应用意识| |多选题|3/18|概率事件独立性、函数零点|第11题多角度分析函数性质，考查逻辑推理能力| |填空题|4/16|二项式定理、条件概率|13题设置条件概率两空，分层考查数据处理能力| |解答题|5/26|函数单调性与零点、概率分布列、导数证明|18题医院义诊情境渗透模型观念，19题导数零点证明突出逻辑推理|

高二数学 一、单选题(40分) 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 5. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ） A. 恰有1个不是石榴 B. 3个全不是石榴 C. 恰有2个石榴 D. 至少2个不是石榴 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ） A. B. C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 设，若对，使成立，则 三、填空题 12. 若（，为有理数），则______． 13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个． （1）选出球的最大号码为6的概率为________． （2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． 14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________． 四、解答题 15. 已知的展开式共有11项. （1）求展开式中各项二项式系数的和； （2）求展开式中的系数. 16. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 17. 已知． （1）求； （2）求； （3）求． 18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． （1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； （2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个不同零点，，证明：且. ABBBC CDD 9AC 10ACD 11BCD 12 13 ①. ②. 14（，） 15 【小问1详解】 由的展开式共有11项可得，， 故二项式的展开式中各项二项式系数的和为 ； 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为 ， 令，解得：. 所以二项式展开式中的系数为. 16 【小问1详解】 当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点. 17 【小问1详解】 令，则，则原式转化为， 则，所以； 【小问2详解】 令，得， 令，得，所以＝－2； 【小问3详解】 由（2）得：①， 令，得：②， ①＋②得：，即＝8， ①－②得：，即＝－8， 所以. 18 【小问1详解】 医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为， 所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为； 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以； 【小问3详解】 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 当时，，， ，故m的最小值为2． 19【小问1详解】 由题意得. 当时，，， 则曲线在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ①，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ②当时，由得，或. （i），即时， 当时，， 当时，， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； （ii），即时，同理可得在上单调递减； （iii），即时，同理可得在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递减；在上单调递增； 当时，故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）知，时，的极小值为， 当时，的极小值为， 当时，在单调递减，故时，至多有一个零点. 当时，在单调递减，在单调递增. 要使有两个零点，则，即，得. 令，， 则 ， 所以在时单调递增，，. 不妨设，则，，，. 由在单调递减得，，即. 学科网（北京）股份有限公司 $