吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

高二数学4月考 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．乘积的展开式中项数为（ ） A．38 B．39 C．40 D．41 2．若，则（ ） A．380 B．190 C．188 D．240 3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=“两次的点数之和为4”，B=“两次的点数均为奇数”，则（ ） A． B． C． D． 4．若随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P 0.1 0.4 a 0.3 则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 5．若X是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 6. 根据变量的观测数据，绘制成散点图1；根据变量的观测数据，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析，设表示变量的样本相关系数，表示变量的样本相关系数，则（ ） A. B. C. D. 7. 某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，并计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，知，则下列判断正确的是（ ） A. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是 B. 每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 C. 数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 D. 在犯错误的概率不超过的前提下认为数学成绩优秀与性别无关 8. 甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（ ） A. 300种 B. 120种 C. 240种 D. 180种 二、多选题 9. 等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的前项和为 C. 的前项积为 D. 10. 带有编号、、、、的五个球，则（ ） A. 全部投入个不同的盒子里，共有种放法 B. 放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C. 将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D. 全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 11. 已知函数及其导函数定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 三、填空题 12. 在的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答） 13. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件为“第1次抽到代数题”，事件为“第2次抽到几何题”，则__________． 14. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 二项式展开式中，求： （1）二项式系数之和； （2）各项系数之和； （3）所有奇数项系数之和. 16. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 17. 从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中男生的人数，求: （1）的分布列以及期望与方差; （2）设为事件“抽取的3人中，既有男生，也有女生”，求事件发生的概率. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程; （2）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围; （3）若无零点，求的取值范围. 19. 定义：对一个棱锥各个顶点染色，若每一条棱的两个端点均不同色，则称之为“多彩棱锥”.若用（）种颜色给某（）棱锥染色，出现“多彩棱锥”的数量记作. （1）当，时，试求的值； （2）当，时，试求的值； （3）结合前两问的解题思路，对任意的正整数（）（），请写出的运算公式，并证明. CBDBB ACD 9AB 10AC 11ABD 12 81 13##0.5 14 0.82. 15 设. （1）二项式系数之和为. （2）各项系数之和为， 令，得. （3）由（2）知，① 令， 得，② 将①②两式相加，得， 此即为所有奇数项系数之和. 16 （1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为． （2）由得． 设点M，N的坐标分别为，，则，，，． 所以|MN|===． 由因为点A（2,0）到直线距离， 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以． 17随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以，随机变量X的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望， 方差 【小问2详解】 设， 所以，事件发生的概率为. 18 【小问1详解】 时，， 所以在处的切线方程为 【小问2详解】 因为在区间上不是单调函数， 所以在上有变号解，即在上有变号解. 因为，所以，所以 【小问3详解】 因， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意;. 当时，令，则， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间是;单调递增区间是， 所以的最小值为 当，即时，无零点，符合题意; 当时，有一个零点，此时，不符合题意; 当时，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意; 综上所述，当时， 无零点. 19题目等同于“用六种不同的颜色给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色， 并使同一条棱的两个端点异色”， 设顶点为，底面4点为，，，. 首先对顶点进行涂色，共有6种选择； 第二步，对点进行涂色，共有5种涂色方法； 第三步，需要对是否同色进行分类： 若同色，则共有种情况； 若不同色，则共有种情况； 因此，种情况. 【小问2详解】 题目等同于“用六种不同的颜色给一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色， 并使同一条棱的两个端点异色”， 设顶点为，底面五点为，，，，. 首先对顶点进行涂色，共有6种选择； 此时五点共有五种不同颜色可供选择. 故问题转化为如图，，，，五个区域， 有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题. 若按照，，，，的顺序分步涂色，暂不考虑同色的情况， 则共有种情况；其中包含了同色. 当同色时，相当于（1）中四个点的涂色问题，即有1560种； 因此，. 小问3详解】 题目等同于“用种不同颜色给一个棱锥的每个顶点染上一种颜色， 并使同一条棱的两个端点异色”， 设顶点为，底面五点为，，，， 首先对顶点进行染色，共有种选择； 设，，，，的染色方法共有种， 下面考虑的递推关系： 若从开始染色，则有种染法， 继而，，，分别均有种染法，最后对染色， 如果仅要求与异色（不要求与异色），则仍有种染法. 于是，总共有种染法. 上述种染法可分为以下两类： 一类是与异色，这是符合要求的，有种染法； 另一类是与同色，这不符合要求， 这时可将与合并成一点，得出种符合题设的染法. 于是（）， 即. 故 得 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$