精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学大练习11

2025—2026学年下学期高二年级数学学科大练习（11） 考试时间：90分钟满分：120分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 2. 设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前8项和 A. 16 B. 24 C. 30 D. 36 3. 袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前项和，已知，则的等差中项是（ ） A. B. C. D. 5. 无穷数列中是首项为10，公差为的等差数列，是首项为公比为的等比数列，对任意，均有成立．若，则的值有多少个（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ） A. 5或 B. 1或3 C. 1 D. 5 7. 定义在R上的函数，若，，，则比较a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准偏差为，深度的点视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（ ） 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.4 15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4 20 12 13 15 16 14 12 18 A. B. C. 不是孤立点 D. 是孤立点 10. 已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若恰有9个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则________． 13. 已知数列满足，，则________． 14. 已知函数，，，，，，按此规律，则 _____． 四、解答题：本大题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为，，，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次． （1）求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率； （2）若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为，求的分布列． 16. 已知等比数列满足，. （1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”； （2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和. 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 附加题： 18. 已知函数． （1）试判断函数的单调性； （2）若函数有两个不同的实数解，试说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期高二年级数学学科大练习（11） 考试时间：90分钟满分：120分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得，再根据可求解. 【详解】函数在点处的切线方程为， 则. 故选:C. 2. 设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前8项和 A. 16 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 假设公差，根据等比数列的性质，可知，然后可得，最后利用前项和公式可得结果. 【详解】设等差数列的公差为 由成等比数列，所以 则，且，所以 所以 故选：C 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的应用，掌握等差数列的通项公式以及前项和公式，考验公式记忆以及计算，属基础题. 3. 袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】第一次摸到的是白球，余下1白2黑的3个球， 所以第二次摸到黑球的概率为. 故选：D 4. 设是等差数列的前项和，已知，则的等差中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用 求出, 用等差中项可得解 【详解】由已知，得，所以所以的等差中项为 故选：B 【点睛】本题考查等差数列前项和公式及等差中项，属于基础题. 5. 无穷数列中是首项为10，公差为的等差数列，是首项为公比为的等比数列，对任意，均有成立．若，则的值有多少个（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由知等比数列部分最少7项，即 ,由，对k进行赋值，可求得m的取值集合. 【详解】∵，，，是首项为10，公差为的等差数列，∴， 是首项为，公比为的等比数列，∴， 对任意，均有成立，所以是以为周期的数列， ，则,，时，， 即的值有4个. 故选：A. 【点睛】本题考查分段数列，以及数列的周期性，考查等差和等比数列的应用，考查了逻辑推理能力和运算能力, 属于中档题. 6. 点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ） A. 5或 B. 1或3 C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案. 【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行， 因为，于是，所以，∴， 于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个， ∴ ，解得或， 又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足； 当时，函数的图象与直线相交，满足条件. 故选：D． 7. 定义在R上的函数，若，，，则比较a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求导分析可得函数为增函数，进而由对数的运算分析可得，结合函数的单调性即可得答案. 【详解】根据题意，函数，其导数， 即函数为增函数， 又由， 则有， 故选：C 8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，并结合函数的奇偶性，求解的解集，即可求解的解集. 【详解】设，， 由条件可知时，，即函数单调递减， 因为函数是奇函数，所以也是奇函数，且在也是减函数， 因为，所以， 所以函数的解集是， 而， 又因为是定义在上的奇函数，， 所以的解集是 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准偏差为，深度的点视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（ ） 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.4 15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4 20 12 13 15 16 14 12 18 A. B. C. 不是孤立点 D. 是孤立点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题目所给公式和表中数据计算即可. 【详解】由表可知，A错误； ，B正确； 所以， 因为，所以， 则，， 所以、不是孤立点，C正确，D错误； 故选：BC 10. 已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，求得公差d，然后逐项判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由于，，成等比数列，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以，. 所以，A选项正确； ，，， 由于，所以，B选项正确； ，，所以C选项正确，D选项错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若恰有9个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选项的条件，分别进行解答. 【详解】对于A，， 所以的图象关于对称，A正确； 对于B，， 当时，，当时，，当时，， 所以当时取极大值为， 当时取极小值为， 当时，，当时，， 若有三个不同的零点，则，即， 解得，B错误； 对于C，当时，，， 设切点坐标为，则，即， 又，所以，解得， 所以过原点且与曲线相切的直线为：，只有一条，C正确； 对于D，令，要使有9个不同的实数根，则要求有三个不同的实数根，且每个有三个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先依据二项分布的方差公式计算 ，再结合方差的线性运算性质推导 的值. 【详解】 已知随机变量 ，即服从参数为，的二项分布， 根据二项分布的方差公式，可得 ， 根据方差的线性运算性质，可得 ， 即 ，解得 . 13. 已知数列满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式求得周期，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 14. 已知函数，，，，，，按此规律，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别分析函数三个组成部分的导数规律即可求解. 【详解】根据导数的求导法则，有 ，， ，，按此规律，则的求导次数是以为周期，循环往复， 由于，所以经过次不断求导后变成了 ； 又因为，，按此规律，则的求导次数以为周期，循环往复，所以经过次不断求导后变成了； 又因为，，，按此规律，则经过次不断求导后变成了， 已知函数，，，，，，按此规律， 则. 四、解答题：本大题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为，，，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次． （1）求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率； （2）若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为，求的分布列． 【答案】（1） （2）的分布列见解析 【解析】 【分析】（1）先求出1次制作成功的概率，在结合二项分布概率公式，即可求解；（2）若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为，的可能取值为0，1，2，3，4，即可得的分布列. 【小问1详解】 （1）由题意可知，1次制作成功的概率为， 所以该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率． 【小问2详解】 （2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，， 它的分布列为 即 X 0 1 2 3 4 P 16. 已知等比数列满足，. （1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”； （2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由等比数列的通项公式求出公比，根据题意证明数列是“数列”； （2）由等差数列的性质求出，当时，由等差数列的求和公式求出；当时，由错位相减法求出. 【详解】（1）证明：由题意可设公比为，则得： 得：或 ∴数列是“数列”. （2）设数列的公差为 易得：得： ∴，得： 由（1）知 若，则 ∴ 若，则，∴ ∴① ∴② ①②得： ∴ ∴. 【点睛】对于 “等差乘等比”类型的数列，一般采用错位相减法求数列的和. 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. 【小问3详解】 ，定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 附加题： 18. 已知函数． （1）试判断函数的单调性； （2）若函数有两个不同的实数解，试说明． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由导数法判断单调性即可； （2）原方程化简为，令，则，则要证结合对数运算法则，等价于证，令，则，只要证明，时恒成立即可，最后由导数法证明即可. 【小问1详解】 由题可知的定义域是，． 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减． 综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 证明：因为有两个不同实数解，即有两个不同实数解， 又由于，故不妨设令，且有，，∴，， 要证，只需证 ． 令，则，所以只要证明，时恒成立， 令，， 由于已知，∴恒成立，所以在上递增，∴， 所以时，恒成立，即恒成立，从而证明． 【点睛】要证，关键是利用条件将不等式变形，将作为整体换元，使原不等式变成只含一个变量的不等式恒成立问题. 本题，故可结合对数运算性质进行变形，最后不等式等价于证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $