2026年山东省淄博市沂源县二模数学试题

初四数学参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1-10:DDBCC CADCD 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11.x>-2且x≠3 12.913.k>-2且k≠214. 5 5 15.(203-1,20） 三、解答题：本题共8小题，共90分.· [2(x-2)≤1-x① 16.解： x+1>x-3+1② 2> 3 5 解0得：x≤，3分 解②得：x>-3,6分 ·不等式组的解集为：-3<x,8分一 ∴.不等式组的最大整数解为1.10分 17.解：小明的作图方法正确，1分 理由：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AF/CE, ∴.∠AFO=∠CEO,3分 在△AOF和△COE中， 「∠AFO=∠CEO ∠AOF=∠COE AO=CO .△AOF≌△COE(AAS),7分 ∴.OE=OF, 又.OA=OC, .四边形ABCD为平行四边形.10分 18.解：(1)50,72°；2分 (2)76,786分 (3):样本中成绩不低于80分的学生人数为20+4=24（人）， ∴.该校成绩不低于80分的学生人数为1500× 24 =720(人).10分 50 19.解：(1)解：设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元. 3x+2y=21000 由题意得， 4x-5y=5000 2分 x=5000 解得 y=3000 答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元；4分 (2)解：设采购A型空调m台，则采购B型空调(30-m台， 由题意得， m20-网 ,6分 5000m+3000(30-m≤115000 解得10≤m≤12.5， m为整数， ∴.m=10或11或12,8分 ∴.该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台.10分 20.解：1)将点A1,6)代入反比例函数，=m(x>0), 得，6=m,m=6,1分 1 6 y2=二， 将Bn,2)代入， 得，2=6，n=3,2分 n (2)将点A1,6和B(3,2)分别代入一次函数y=+b, k+b=6 得， 3k+b=2 k=-2 解得， b=8 ∴.y=-2x+8;4分 (3)作点A关于y轴的对称点G-1,6,连接BG交y轴于点P, 则点P为所求点，5分 G 0 设BG的表达式为y=kx+b' 点B3,2、G-1,6), [3k'+b'=2 -K'+b=6 k'=-1 解得， b=5, .BG的表达式为y=-x+5,7分 ∴.x=0时，y=5, 故点P的坐标为(0,5)：9分 (4)D的坐标为2,1，或(-2,9)，或(4,3.12分 21.解：(1)过点E作EG⊥AC于点G,如下图， G E B OR. H N 1 AB=30cm,BE=二AB, 3 ∴.BE=10cm,AE=20cm,2分 .∠AEG=a=10°， .GE=AE·cosa=20×cosl0°≈19.6cm, ∴.CD=GE=19.6cm,4分 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm;5分 (2)如图，过点B作BH⊥CF于点H,BP⊥DE于点P,过点M作MQ⊥BH于点Q, 则BP=BE·cosa=10×cosl0°≈9.8(cm, EP=BE.sina=10×sinl0°≈l.7cm,7分 .DE=21.7cm, .PD=DE-EP=21.7-1.7=20(cm, .BH PD =20 cm MN =8 cm, ∴.QH=8cm, .BQ=BH-QH=20-8=12(cm,9分 .∠ABM=145°， .∠QBM=∠ABM-a-90°=145°-10°-90°=45°， .∠QMB=90°-∠QBM=45°=∠QBM, ∴.QM=BQ=12cm,11分 ∴.DN=DH+HN=BP+QM=9.8+12=21.8(cm,12分 答：线段DN的长度为21.8cm. 22.解：解：(1)如图1， M B 图1 证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD. ,点M是AD中点 .AM DM .△AEM≌△DFM.2分 AE=DF.3分 (2)△GEF是等腰直角三角形.4分 证明：过点G作GH⊥AD于H,如图2， B 图2 ,∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴.四边形ABGH是矩形. ∴.GH=AB=2. .MG⊥EF, ∴.∠GME=90°、 ∴.∠AME+∠GMH=90°. :∠AME+∠AEM=90°， .∠AEM=∠GMH. ∴.△AEM≌△HMG. ∴.ME=MG. .∠EGM=45°.6分 由(1)得△AEM≌△DFM, :ME =M F. .MG⊥EF, ..GE GF. ∴.∠EGF=2∠EGM=90°」 ∴.△GEF是等腰直角三角形.7分 3)02 <AE≤2V3.9分 3 ②△GEF是等边三角形.10分 证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,如图4， M B 图4 ,'∠A=∠B=∠AHG=90°， .四边形ABGH是矩形. ∴.GH=AB=25. .MG⊥EF, ∴.∠GME=90°. .∴.∠AME+∠GMH=90° .∠AME+∠AEM=90°， ∴.∠AEM=∠GMH. 又.∠A=∠GHM=90°， ∴.△AEM∽△HMG. EM AM .12分 ·MGGH 在Rt△GME中， ∴.tan∠MEG= MG_GH=3. EM AM .∠MEG=60°. 由(1)得△AEM≌△DFM. :ME MF .MG⊥EF, .GE=GF. .△GEF是等边三角形.13分 23.解：(1)① 2 5②：4分 (2)过点P作PG⊥x轴，交直线AC于点G, 在y=x-3中，当y=x-3=0时，x=3,当x=0时，y=x-3=-3,5分 .B(3,0),C(0,-3, ∴.OB=OC=3, ∴.△BOC为等腰直角三角形， ∴.∠OBC=45°， .∠BGP=45o .∴.三角形PGA为等腰直角三角形， :PM=2PG,6分 2 设P的横坐标为t,则P,2+2,Gt,t-3) G=f42--=f*3--号 :当1=-时，PG取最小值为，7分 2 此时，PA取最小值，值为 1 8:8分 (3),四边形ABCD为矩形， .AD=BC,∠D=∠B=90°， AE=CG, .AD-AE=BC-CG, .ED=BG, 又：BF=DH, ∴.△EDH≌△GBF(SAS) ∴.EH=FG, 同理可得，EF=GH .四边形EFGH为平行四边形；10分 ,四边形EFGH周长为其邻边之和的2倍， .平行四边形EFGH周长最小时，（EF+FG的值最小： 如图所示，作点E关于AB的对称点E',连接FE',FG,则EF+FG=FE'+FG, D B ∴.当E',F,G三点共线时，EF+FG有最小值，最小值为EG的长， 由轴对称的性质可得AE'=AE=CG, 又.AE'IICG, .四边形AEGC为平行四边形 .E'G=AC=VAB2+BC2=10,.四边形EFGH周长最小值为2×10=20.13分 初四数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各数中，无理数是（ ） A． B． C． D． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50，若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱?设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（ ） A． B． C． D． 5．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 7．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A． B． C． D． 8．如图，菱形中，点坐标为，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的2倍，则点的对应点的横坐标是（ ） A．-1.5 B．-0.5 C．-2 D．-1 9．如图矩形中，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（ ） A． B．4 C． D．5 10．如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示． 有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11．在函数中，自变量的取值范围是_____． 12．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大，则这个正多边形的边数为_____． 13．关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是_____． 14．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为_____． 15．如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点⋯按此作法进行下去，点的横坐标为_____． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分10分） 解不等式组，并写出它的最大整数解． 17．（本题满分10分） 【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点； （2）连接并延长，交于点； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确；给出证明，若不正确，说明理由． 18．（本题满分10分）为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）： 信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组，第Ⅱ组，第Ⅲ组，第Ⅳ组，第Ⅴ组； 信息二：第Ⅲ组的成绩为：74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75根据信息解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为________人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为________； （2）第Ⅲ组竞赛成绩的众数是________分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是________分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数． 19．（本题满分10分）某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购3台型空调和2台型空调，共需费用21000元；4台型空调比5台型空调的费用多5000元． （1）求型空调和型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购、两种型号空调共30台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 20．（本题满分12分）如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点． （1）求、的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； （4）在（3）的条件下，设点是坐标平面内一个动点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 21．（本题满分12分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点、、、在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 22．（本题满分13分）如图，在矩形中，，是的中点，点是线段上一动点，连接并延长交线段的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，过点作交线段于点，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，若，过点作交线段的延长线于点． ①直接写出线段长度的取值范围； ②判断的形状，并说明理由． 23．（本题满分13分）小亮善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用DeepSeek和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：DeepSeek梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到上一点的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________． 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $