专题一：等差数列与等比数列（8考点14考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以考点-考法为框架，系统覆盖等差等比核心内容，注重概念生成与性质应用的逻辑递进，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列概念与表示|2考法|选择/解答（求指定项、单调性）|从数列定义到表示方法的应用| |等差数列|4考法|选择/多选/解答（证明、基本量计算、性质、求和及最值）|从判断证明到通项公式、前n项和及性质的递进| |等比数列|4考法|选择/多选/填空/解答（证明、基本量计算、性质、求和）|与等差数列平行的知识逻辑链| |综合运用|1考法|解答（综合计算）|融合等差等比知识解决复杂问题|

专题一：等差数列与等比数列 考点 1：数列的概念与简单表示法 2 考法 1：利用数列的通项公式求指定项 2 考法 2：数列的单调性判断 2 考点 2：等差数列的判断与证明 3 考法 3：利用定义证明等差数列 3 考点 3：等差数列的通项公式与基本量计算 3 考法 4：已知等差数列两条件求通项 3 考法 5：等差数列的角标性质应用 4 考点 4：等差数列前n项和 5 考法 6：等差数列求和公式的基本量计算 5 考法 7：等差数列前n项和的最值问题 6 考法 8：等差数列前n项和与通项的关系 6 考点 5：等比数列的判断与证明 7 考法 9：利用定义证明等比数列 7 考点 6：等比数列的通项公式与基本量计算 7 考法 10：已知等比数列两条件求通项 7 考法 11：等比数列的角标性质应用 9 考点 7：等比数列前n项和 9 考法 12：等比数列求和公式的基本量计算 9 考法 13：等比数列前n项和的性质 10 考点 8：等差与等比的综合运用 11 考法 14：等差等比综合计算 11 注意事项 1. 本试卷涵盖等差数列与等比数列专题的重点考点. 2. 练习时请注意公式的准确运用及计算的规范性. 3. 解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 考点 1：数列的概念与简单表示法 考法 1：利用数列的通项公式求指定项 1.（单选）已知数列满足，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（单选）已知数列通项公式为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 3.（解答）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”： ①数列的项数为； ②中任意两项乘积都是中的项； ③是公比大于的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； 考法 2：数列的单调性判断 4.（单选）设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点 2：等差数列的判断与证明 考法 3：利用定义证明等差数列 5.（解答）已知数列的首项是， （1）证明：的奇数项成等差数列； 6.（解答）已知数列的前项和为，且. （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 考点 3：等差数列的通项公式与基本量计算 考法 4：已知等差数列两条件求通项 7.（单选）设等差数列的前项和为，若，，则（ 　　） A. B. C. D. 8.（单选）已知是公差不为的等差数列，，若成等比数列，则（ 　　） A. B. C. D. 9.（多选）已知数列的前项和为，满足，则（ 　　） A. 存在，使得 B. C. 存在，使得 D. 的最大值为 10.（解答）已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； 11.（解答）已知数列满足，且. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； 考法 5：等差数列的角标性质应用 12.（单选）已知等差数列的公差为，则（ 　　） A. B. C. D. 13.（多选）设是等差数列的前项和，若，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. C. 时，最大 D. 使的的最大值为 考点 4：等差数列前n项和 考法 6：等差数列求和公式的基本量计算 14.（单选）设等差数列的前项和为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 15.（单选）等差数列前项的和为，已知，则（ 　　） A. B. C. D. 16.（单选）等差数列中，，，则数列的前项和为（ 　　） A. B. C. D. 17.（单选）已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 18.（填空）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则＿＿＿＿＿＿. 19.（解答）在等差数列中，. （2）记等差数列的前项和为，求时的值. 考法 7：等差数列前n项和的最值问题 20.（单选）等差数列的前项和为，公差，，则使的的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 21.（单选）等差数列的公差为，前项和为，若，，则当取得最大值时，（ 　　） A. B. C. D. 22.（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ 　　） A. 的最大值为 B. 成等比数列 C. 数列为单调递减数列 D. 数列为单调递增数列 23.（多选）数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ 　　） A. 若，则数列的前项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 考法 8：等差数列前n项和与通项的关系 24.（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ 　　） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 25.（填空）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为＿＿＿＿＿＿. 考点 5：等比数列的判断与证明 考法 9：利用定义证明等比数列 26.（多选）已知为数列的前项和，若，，则下列选项正确的是（ 　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 27.（解答）已知数列满足， （1）记，求，，并证明数列是等比数列； 考点 6：等比数列的通项公式与基本量计算 考法 10：已知等比数列两条件求通项 28.（单选）已知数列满足，则（ 　　） A. B. C. D. 29.（单选）某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为台，合格品率为，以后每月的产量在前一个月的基础上提高，合格品率比前一个月增加.已知第个月（，且）生产合格品首次突破台，则的值为（参考数据：）（ 　　） A. B. C. D. 30.（单选）已知为等比数列的前项和，若，则（ 　　） A. B. C. D. 31.（多选）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 32.（多选）已知等比数列，，，则（ 　　） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前项和是 33.（填空）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程 若第个图中的三角形的周长为，则第个图形的周长为＿＿＿＿＿＿；若第个图中的三角形的面积为，则第个图形的面积为＿＿＿＿＿＿. 34.（解答）已知数列满足，，. （2）求的通项公式； 考法 11：等比数列的角标性质应用 35.（单选）记为等比数列的前项和.若，则（ 　　） A. B. C. D. 36.（单选）已知递增等比数列，若，则（ 　　） A. B. C. D. 考点 7：等比数列前n项和 考法 12：等比数列求和公式的基本量计算 37.（单选）已知数列满足，数列满足，则数列的前项的和为（ 　　） A. B. C. D. 38.（单选）已知等比数列的前项和为.若，则公比（ 　　） A. B. C. D. 39.（解答）已知数列满足， （2）记为数列的前项和，证明：. 考法 13：等比数列前n项和的性质 40.（单选）已知等比数列的前项和为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 41.（单选）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ 　　） A. B. C. D. 42.（单选）已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ 　　） A. B. C. D. 考点 8：等差与等比的综合运用 考法 14：等差等比综合计算 43.（解答）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且. （1）求，的通项公式； 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一：等差数列与等比数列（解析卷） 考点 1：数列的概念与简单表示法 1 考法 1：利用数列的通项公式求指定项 1 考法 2：数列的单调性判断 3 考点 2：等差数列的判断与证明 3 考法 3：利用定义证明等差数列 3 考点 3：等差数列的通项公式与基本量计算 4 考法 4：已知等差数列两条件求通项 4 考法 5：等差数列的角标性质应用 6 考点 4：等差数列前n项和 7 考法 6：等差数列求和公式的基本量计算 7 考法 7：等差数列前n项和的最值问题 10 考法 8：等差数列前n项和与通项的关系 11 考点 5：等比数列的判断与证明 12 考法 9：利用定义证明等比数列 12 考点 6：等比数列的通项公式与基本量计算 13 考法 10：已知等比数列两条件求通项 13 考法 11：等比数列的角标性质应用 17 考点 7：等比数列前n项和 18 考法 12：等比数列求和公式的基本量计算 18 考法 13：等比数列前n项和的性质 19 考点 8：等差与等比的综合运用 20 考法 14：等差等比综合计算 20 注意事项 1. 本试卷涵盖等差数列与等比数列专题的重点考点. 2. 练习时请注意公式的准确运用及计算的规范性. 3. 解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 1 2 3 4 5 B B A 证明见解析 6 7 8 9 10 证明见解析 C BC 11 12 13 14 15 证明见解析， C AC C D 16 17 18 19 20 B D 或 A 21 22 23 24 25 C ABC AB ACD 26 27 28 29 30 ACD ，证明见解析 B D A 31 32 33 34 35 BCD AC ； D 36 37 38 39 40 D A A B 41 42 43 D A 考点 1：数列的概念与简单表示法 考法 1：利用数列的通项公式求指定项 1.（单选）已知数列满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，， 则， . 【点拨】已知递推公式求数列的项，直接依次代入计算即可，注意角标的对应关系. 2.（单选）已知数列通项公式为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若，则，解得，不合题意； 若，则，解得，符合题意. 【点拨】分段数列求项数，需分类讨论，将值代入各段通项公式求解，并检验结果是否满足该段的定义域. 3.（解答）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”： ①数列的项数为； ②中任意两项乘积都是中的项； ③是公比大于的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； 【答案】 【解析】解：（1）由题意，是的“等比关联数列”， 则的项数为，且各项为 …………………… 2 分 因为是公比大于的等比数列， 所以 ………………………………………………………………………… 4 分 所以是首项为，公比为的等比数列， 其通项公式为 ……………………………………………………………… 6 分 【点拨】理解新定义数列的性质，根据定义列出有限项，再结合等比数列的通项公式求解. 考法 2：数列的单调性判断 4.（单选）设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】数列为单调递增数列，等价于对任意恒成立， 即，化简得， 即对任意恒成立. 因为的最大值（当时）为，所以. 所以“”是“”的充分不必要条件. 【点拨】判断数列的单调性，常转化为（或）恒成立问题，再利用分离参数法求参数范围，最后结合充分必要条件的定义进行判断. 考点 2：等差数列的判断与证明 考法 3：利用定义证明等差数列 5.（解答）已知数列的首项是， （1）证明：的奇数项成等差数列； 【答案】证明见解析 【解析】证明：（1）当为奇数时，为偶数， 由得 …………………………………………… 2 分 则 …………………………………………………… 4 分 即， 故的奇数项是首项为，公差为的等差数列 …………………………………… 6 分 【点拨】证明奇数项成等差数列，只需证明为常数即可，利用递推关系连续代换两次. 6.（解答）已知数列的前项和为，且. （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】证明见解析 【解析】证明：（3）由，当时，，得 …………………… 2 分 当时，，两式相减得，即 ………… 4 分 所以是首项为，公比为的等比数列， ……………………………………… 6 分 所以 ……………………………………………………………………… 8 分 假设中存在不同的三项（不妨设）构成等差数列， 则，即 ……………………………………………… 10 分 两边同乘，得 …………………………………………………………… 12 分 因为，所以，， 所以左边为偶数，右边为奇数，矛盾 ………………………………………………………… 14 分 故中任意不同的三项都不能构成等差数列 …………………………………………… 15 分 【点拨】证明数列中不存在三项成等差数列，常用反证法，假设存在，利用等差中项性质导出矛盾. 考点 3：等差数列的通项公式与基本量计算 考法 4：已知等差数列两条件求通项 7.（单选）设等差数列的前项和为，若，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 由得，所以. 又，所以公差. 则. 【点拨】等差数列求和公式与等差中项的结合应用，灵活运用可简化计算. 8.（单选）已知是公差不为的等差数列，，若成等比数列，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 因为，所以. 则，. 因为成等比数列，所以， 即. 所以. 因为，所以. 所以. 代入得， 展开得，即. 因为，解得. 所以. 所以. 【点拨】利用等差数列的通项公式将条件转化为关于首项和公差的方程，结合等比中项的性质求解. 9.（多选）已知数列的前项和为，满足，则（ 　　） A. 存在，使得 B. C. 存在，使得 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】由知为等差数列. 由，得. 因为，所以. 公差. 所以. 对于A，令，得，不是整数，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，.令，得，存在，故C正确； 对于D，.当时，取得最大值，故D错误. 【点拨】根据递推关系判定数列为等差数列，利用求和公式求出公差和通项，再结合二次函数的性质求最值. 10.（解答）已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； 【答案】 【解析】解：（1）设等差数列的公差为， 由得 ………………………………………………………… 2 分 所以，解得 ……………………………………………… 4 分 所以 ………………………………………… 6 分 即的通项公式为 ………………………………………………………… 8 分 【点拨】将新数列看作一个整体，利用等差数列的通项公式求出其公差和通项，再还原出原数列的通项. 11.（解答）已知数列满足，且. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 【解析】解：（1）由，取倒数得 …………………… 3 分 即 …………………………………………………………………………… 5 分 所以数列是首项为，公差为的等差数列 ……………………………… 7 分 所以 ……………………………………………………………… 9 分 故的通项公式为 …………………………………………………………… 10 分 【点拨】对于形如的递推公式，常采用取倒数的方法构造等差数列求解. 考法 5：等差数列的角标性质应用 12.（单选）已知等差数列的公差为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由等差数列的通项公式性质可知，. 【点拨】熟练掌握等差数列的性质可快速求解. 13.（多选）设是等差数列的前项和，若，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. C. 时，最大 D. 使的的最大值为 【答案】AC 【解析】由，得. 又，因为，所以. 所以，公差，故A正确； 因为，所以，故B错误； 因为，所以前项为正，从第项开始为负，所以最大，故C正确； ，，所以使的的最大值为，故D错误. 【点拨】利用等差数列前项和公式的性质确定中间项的符号，再结合公差判断各项的正负情况. 考点 4：等差数列前n项和 考法 6：等差数列求和公式的基本量计算 14.（单选）设等差数列的前项和为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在等差数列中，成等差数列. 因为，， 所以. 则. 【点拨】利用等差数列前项和的性质：成等差数列，可大大简化计算. 15.（单选）等差数列前项的和为，已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由等差数列性质，，代入条件得，解得或. 又. 若，则，不合题意. 若，则，解得，即. 【点拨】灵活运用等差中项性质及前项和性质. 16.（单选）等差数列中，，，则数列的前项和为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由等差数列性质得，所以. 代入，得，所以. 公差. . 【点拨】利用等差数列的性质求出关键项，再代入求和公式. 17.（单选）已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】. 所以，即. 因为，且，所以. 由得，在内只有符合，所以，即. 当时，取得最小值，说明且. . . 所以. 【点拨】利用三角恒等变换化简条件求出公差，再根据前项和取最小值的条件（末项非正，下一项非负）列不等式组求解. 18.（填空）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】数列是等差数列.设其首项为，公差为. 由得，. 所以，. 解得，. 所以. . 【点拨】熟记等差数列前项和的性质：数列也是等差数列，利用此性质可快速求出通项并求和. 19.（解答）在等差数列中，. （2）记等差数列的前项和为，求时的值. 【答案】或 【解析】解：（2）由，得公差 首项 所以 …………………………………………… 2 分 令，即 …………………………………………………… 5 分 整理得 …………………………………………………………… 8 分 解得或 …………………………………………………………………… 11 分 所以时的值为或 …………………………………………………… 13 分 【点拨】先求出等差数列的基本量，写出通项公式和前项和公式，再根据等量关系建立关于的方程求解. 考法 7：等差数列前n项和的最值问题 20.（单选）等差数列的前项和为，公差，，则使的的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. . 因为，所以递减. ， 即. 因为，所以. 若，则，，矛盾. 所以. 此时要使乘积小于，必须. 因为，且，所以. 所以，. 因此使的的最大值为. 【点拨】利用等差数列前项和的性质将条件转化为相邻两项的符号关系，结合公差判断正负项的分界点. 21.（单选）等差数列的公差为，前项和为，若，，则当取得最大值时，（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，得. 公差. . 令，得，即. 所以，. 当时，取得最大值. 【点拨】求等差数列前项和的最大值，只需找出所有非负项，令通项求解即可. 22.（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ 　　） A. 的最大值为 B. 成等比数列 C. 数列为单调递减数列 D. 数列为单调递增数列 【答案】ABC 【解析】对于A，.当或时，取得最大值，，故A正确； 对于B，. ，，.因为，，所以成等比数列，故B正确； 对于C，，为单调递减数列，故C正确； 对于D，，为单调递减数列，故D错误. 【点拨】已知求利用，求最值可利用二次函数的性质，注意自变量为正整数. 23.（多选）数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ 　　） A. 若，则数列的前项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】AB 【解析】对于A，，令.所以前项为正，最大，且，，所以最大值不唯一，选项说最大是错误的（应为和同为最大值），故A错误； 对于B，若等比数列是递减数列，若，则时也是递减数列，公比不一定满足，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，是关于的一次函数，所以是等差数列，故D正确. 题目要求选不正确的，故选A B. 【点拨】等差数列前项和的最值可能在相邻两项取得（当某项为时）；等比数列的单调性与首项的符号和公比的范围均有关. 考法 8：等差数列前n项和与通项的关系 24.（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ 　　） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】对于A，，为递减数列，故A正确； 对于B，，当或时取得最大值，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，是等比数列，故D正确. 【点拨】利用求通项，注意检验时是否符合；指数型数列的底数恒定，指数成等差数列，则该数列为等比数列. 25.（填空）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由等差数列的性质，. 根据等差数列前项和的性质，. 【点拨】等差数列中，是常用的重要性质，结合等差中项可快速化简求值. 考点 5：等比数列的判断与证明 考法 9：利用定义证明等比数列 26.（多选）已知为数列的前项和，若，，则下列选项正确的是（ 　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，当时，.所以从第二项起是公比为的等比数列，但，所以不是等比数列，故B错误； 对于C，，，（对于）.当时，，所以对所有成立，故C正确； 对于D，.因为，所以（对于）.当时，.所以成立，故D正确. 【点拨】利用推导递推关系时，必须注意的限制，并单独检验的情况. 27.（解答）已知数列满足， （1）记，求，，并证明数列是等比数列； 【答案】，证明见解析 【解析】解：（1）由题意得 ……………………………… 2 分 ……………………………… 4 分 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以 ………………………… 7 分 又，所以 所以，数列是首项为，公比为的等比数列 ………………………… 8 分 【点拨】对于分奇偶给出的递推公式，构造新数列时要注意角标的奇偶性，分别代入对应的递推式进行推导. 考点 6：等比数列的通项公式与基本量计算 考法 10：已知等比数列两条件求通项 28.（单选）已知数列满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得. 两式相除得. 所以奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列. 由，. 是偶数项，. 【点拨】通过递推式的比值发现数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，是处理此类乘积型递推式的常用技巧. 29.（单选）某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为台，合格品率为，以后每月的产量在前一个月的基础上提高，合格品率比前一个月增加.已知第个月（，且）生产合格品首次突破台，则的值为（参考数据：）（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】第个月的产量为. 第个月的合格率为. 合格品数量为. 令，即. 代入选项检验： 若，. 若，. 所以. 【点拨】根据题意列出不等式，结合参考数据，采用代入验证法求解最为快捷. 30.（单选）已知为等比数列的前项和，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设公比为，则.因为是等比数列，，所以. . 【点拨】将条件转化为关于公比的方程求出公比，再代入求和公式化简求值. 31.（多选）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】第一天剩下.第二天剩下.. 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 【点拨】根据题意写出数列的通项公式，再逐一验证各选项即可. 32.（多选）已知等比数列，，，则（ 　　） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前项和是 【答案】AC 【解析】由题意，. 对于A，，是等比数列，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误； 对于C，，是等差数列，故C正确； 对于D，前项和为，故D错误. 【点拨】等比数列的倒数仍为等比数列，等比数列取对数后构成等差数列，这是数列的基本性质. 33.（填空）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程 若第个图中的三角形的周长为，则第个图形的周长为＿＿＿＿＿＿；若第个图中的三角形的面积为，则第个图形的面积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】； 【解析】周长：每次迭代，每条边变成条边，每条边长度变为原来的.所以周长变为原来的. 第个图形周长.第个图形周长. 面积：第个图形面积. 第个图形比第个图形多出个小三角形，每个面积为. 所以增加的面积为. . 【点拨】分形几何问题，关键是找出每次迭代后周长和面积的递推关系，利用等比数列求和公式求解. 34.（解答）已知数列满足，，. （2）求的通项公式； 【答案】 【解析】解：（2）由，两边同除以，得 …………………… 3 分 即，变形得 ………………………………………… 6 分 又 ……………………………………………………………… 9 分 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即 ……………………………… 12 分 所以 ……………………………………………… 15 分 【点拨】对于型的递推公式，常两边同除以构造出的形式，再构造等比数列求解. 考法 11：等比数列的角标性质应用 35.（单选）记为等比数列的前项和.若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由等比数列性质，. 又. 所以. . 【点拨】利用等比数列的通项公式将条件转化为关于首项和公比的方程，求出公比后代入求和公式. 36.（单选）已知递增等比数列，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由等比数列性质，. . 又. 所以是方程的两根，解得和. 因为数列递增，所以. 公比，因为递增，. . 【点拨】利用等比中项性质求出中间项，再结合韦达定理求出其余两项，根据单调性确定公比. 考点 7：等比数列前n项和 考法 12：等比数列求和公式的基本量计算 37.（单选）已知数列满足，数列满足，则数列的前项的和为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得. 令，则，. 所以. . 所以. . 前项和为. 【点拨】先利用累加法求出数列的通项，再利用裂项相消法求数列的前项和. 38.（单选）已知等比数列的前项和为.若，则公比（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由等比数列求和公式的性质，. 所以. 【点拨】熟练运用等比数列前项和的性质可快速求解. 39.（解答）已知数列满足， （2）记为数列的前项和，证明：. 【答案】 【解析】解：（1）由，得，故 …………………… 2 分 又当时，，所以数列是首项为，公比为的等比数列 …………………… 8 分 （2）由（1）可知：，故 ……………………………………… 10 分 由，得 ……………………………… 12 分 因为，所以，故的最小值为 ………………………………………………………… 15 分 【点拨】利用求出通项公式，再代入不等式求解，注意指数的估算. 考法 13：等比数列前n项和的性质 40.（单选）已知等比数列的前项和为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在等比数列中，成等比数列. ，. 公比. . . 【点拨】利用等比数列前项和的性质：成等比数列，可大大简化计算. 41.（单选）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得. 若，则，不合题意. 所以. 代入求和公式得. 化简得，即. 因为，所以，即. 因为，所以. 【点拨】将条件转化为关于公比的高次方程，利用因式分解求解，注意检验的情况. 42.（单选）已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，. 当时，递增或不变；当时，递减. 令. 所以，，. 为最大值. . 【点拨】求等比数列前项积的最大值，只需找出所有大于等于的项，令通项求解即可. 考点 8：等差与等比的综合运用 考法 14：等差等比综合计算 43.（解答）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且. （1）求，的通项公式； 【答案】 【解析】解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有， 因为，，， …………………… 1 分 所以，解得或 …………………… 3 分 由于是各项都为正整数的等比数列，所以 …………………… 4 分 所以，. 所以的通项公式为，的通项公式为 …………………… 5 分 【点拨】将条件转化为关于首项、公差和公比的方程组，解方程组求出基本量，注意根据数列各项的性质舍去不合题意的解. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $