精品解析：2026年新疆喀什地区巴楚县部分学校中考一模九年级数学试卷

数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 下列新疆经典纹样图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与y轴交于点 B. 图象与x轴交于点 C. y随x的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 7. 新疆某干果店推出“和田红枣”与“若羌灰枣”组合优惠活动：购买3袋红枣和2袋灰枣共需158元；购买1袋红枣和4袋灰枣共需136元．设每袋红枣x元，每袋灰枣y元，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 9. 如图①为某游乐园内摩天轮，摩天轮的中心为点O，摩天轮按顺时针方向做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A起，经过t后，点P的高度h（）与t（）的函数图象如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，h随t的增大而增大 B. 摩天轮的直径为45 C. P点离地面最高为45 D. P点离地面35时，摩天轮运动了4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 因式分解：________. 11. 某校为传承红色精神，举办“红色精神，代代传”的主题展览活动，共设有“革命历史”“英雄事迹”“建设成就”“新时代发展”四个展厅．小明同学随机选择一个展厅参观，则恰好选择“革命历史”展厅的概率是______． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数的图象上，纵坐标分别为1，4，则k的值为______． 14. 给定一列代数式，我们把其中的第一个式子记为，第二个式子记为，第三个式子记为，…，以此类推，第n个式子记为（n为正整数）．已知，，且满足关系：，记前2026项的和为，则______（用含x，y的代数式表示）． 15. 如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 解答下列问题 （1）解不等式组： （2）如图，在中，D，E分别为边上一点，已知，，，．证明：． 18. 为传承中华优秀传统文化，引导学生理解中华文化的独特性与延续性，树立“何以中国”的文化自觉，某校开展了中华国学知识大赛，分别从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩x（满分：5分，均为整数）进行整理，得到以下信息： ①抽取的七年级20名学生成绩：4，1，5，2，0，4，1，5，2，4，3，0，3，4，3，4，2，1，5，4； ②将抽取的八年级20名学生成绩进行整理并绘制成如下条形统计图； ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下表． 八年级学生成绩条形统计图 平均数 中位数 众数 七年级 2.85 b 4 八年级 3.1 3 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）若该校七、八年级各有600名学生，估计七、八年级中成绩为5分的学生总人数； （3）设抽取的七、八年级学生中，成绩分别高于各自年级平均成绩的人数为和，试比较，的大小，并说明理由； （4）根据调查数据反映的情况，请你为七年级学生关于此次大赛提一条合理建议，并说明理由． 19. 如图，在四边形中，，且．连接． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形为矩形． 20. 交河故城位于新疆吐鲁番市，是世界上最大最古老、保存最完好的生土结构古代城市建筑群遗迹．数学活动小组在学习完三角函数知识后到交河故城选取如图所示的一处遗址进行测量计算，并撰写如下实验报告： 实验主题 测量交河故城遗址的高度 工具 测角仪，卷尺等 实验过程 1．测量员站在与遗址底部N同一水平地面的A处，调整测角仪的高度，视线能看到遗址的顶部M； 2．用测角仪测得从眼睛C处看遗址顶部M处的仰角； 3．测量测角仪的高度； 4．向后退到点B处（A，B，N三点在同一直线上），用测角仪测得从眼睛D处看遗址顶部M处的仰角； 5．测量A，B之间的距离． 实验图示 测量数据 1．； 2．； 3．m； 4．m 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．点D，C，E在同一直线上，且． 参考数据：，，，． 请根据以上实验过程和测量的数据，计算该遗址的高度（结果保留一位小数）． 21. 艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． （1）若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； （2）线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ （3）“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 22. 如图，为的直径，为上一点，连接 的平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 根据所学知识，解答以下问题 （1）如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； （3）如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数比较大小的法则，比较各数即可解题． 【详解】解：根据有理数大小比较规则：正数大于0，0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ∵ ，，，且 ， ∴ ， 因此比小的数是． 2. 下列新疆经典纹样图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，又是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，不是中心对称图形，所以符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原式． 4. 如图，，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵， ∴ ， ∴ ． 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题可得，，，， ∵一元二次方程没有实数根， ∴ ， 解得． ∴k的值可以为3. 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与y轴交于点 B. 图象与x轴交于点 C. y随x的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项分析求解即可． 【详解】解：A．令，得，∴一次函数的图象与y轴交于点，A选项正确； B．令，得，∴一次函数的图象与x轴交于点，B选项错误； C．∵，∴y随x的增大而减小，C选项错误； D．一次函数中，，，∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，D选项错误． 7. 新疆某干果店推出“和田红枣”与“若羌灰枣”组合优惠活动：购买3袋红枣和2袋灰枣共需158元；购买1袋红枣和4袋灰枣共需136元．设每袋红枣x元，每袋灰枣y元，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干提取两个等量关系，分别列出对应方程即可得到正确方程组． 【详解】解：∵设每袋红枣为x元，每袋灰枣为y元， 根据“购买3袋红枣和2袋灰枣共需158元”，可得方程 ， 根据“购买1袋红枣和4袋灰枣共需136元”，可得方程 ， ∴可列方程组为． 8. 如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 【详解】如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴ ， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴ ． 9. 如图①为某游乐园内摩天轮，摩天轮的中心为点O，摩天轮按顺时针方向做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A起，经过t后，点P的高度h（）与t（）的函数图象如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，h随t的增大而增大 B. 摩天轮的直径为45 C. P点离地面最高为45 D. P点离地面35时，摩天轮运动了4 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际问题分析、判断函数图象的方法： 1．找变量：弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量； 2．找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点； 3．拐点：图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化； 4．水平线：函数值随自变量的变化而保持不变； 5．交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”． 【详解】解：结合函数图象分析， A，当时，h随t的增大先增大后减小，按此规律循环变化，不符合题意； B，摩天轮的直径为（），不符合题意； C，P点离地面的高度最高为45，符合题意； D，P点离地面35时，由图象可知，摩天轮运动的时间对应多个点，不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 因式分解：________. 【答案】(1+x)(1-x) 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得到答案. 【详解】对用平方差公式，得 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 11. 某校为传承红色精神，举办“红色精神，代代传”的主题展览活动，共设有“革命历史”“英雄事迹”“建设成就”“新时代发展”四个展厅．小明同学随机选择一个展厅参观，则恰好选择“革命历史”展厅的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，小明随机选择一个展厅，共有种等可能的结果，其中恰好选择“革命历史”展厅的结果有种， 则（恰好选择“革命历史”展厅）． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点在坐标系下的平移；掌握好点平移的计算方式是解题的关键． 根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：将点先向左平移4个单位长度后为，再向上平移2个单位长度，得到点B的坐标是． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数的图象上，纵坐标分别为1，4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴于点D，过点B作，交的延长线于点E，因为是矩形，根据矩形的性质推出，进而证得 ，再根据相似的性质列出关系式，根据反比例函数表达式，分别用含k的式子表示出点A、点B的横坐标，确定两点坐标形式，建立关于k的方程．结合的取值范围，求解方程得到k的值． 【详解】如图，过点A作轴于点D，过点B作，交的延长线于点E， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 设，，则，，， ∴，， ∴， 解得， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴． 14. 给定一列代数式，我们把其中的第一个式子记为，第二个式子记为，第三个式子记为，…，以此类推，第n个式子记为（n为正整数）．已知，，且满足关系：，记前2026项的和为，则______（用含x，y的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先推导出，可以发现中，每6个式子为一个循环周期，且一个周期内的和为 ， 据此解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ， ， ， …， 按此规律，可以发现中，每6个式子为一个循环周期， 且一个周期内的和为 ， ∵， ∴ ． 15. 如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当时，分两种情况：①当点在下方；②当点在上方，解直角三角形求解即可 【详解】解：当时，分两种情况： ①当点在下方时，如图， 设与的交点为, ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得，； ②当点在上方时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为或 故答案为：或 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据，再计算即可； （2）先约分，再根据同分母分式相加减法则计算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 解答下列问题 （1）解不等式组： （2）如图，在中，D，E分别为边上一点，已知，，，．证明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）解不等式组：先分别求解不等式①和②，根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项得到各自的解集再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集． （2）证明角相等：首先计算两组对应边的比值，即​和​，因为两个三角形有公共角，如果两边对应成比例且夹角相等，那么可判定，根据相似三角形对应角相等的性质，即可证明． 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 证明：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 为传承中华优秀传统文化，引导学生理解中华文化的独特性与延续性，树立“何以中国”的文化自觉，某校开展了中华国学知识大赛，分别从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩x（满分：5分，均为整数）进行整理，得到以下信息： ①抽取的七年级20名学生成绩：4，1，5，2，0，4，1，5，2，4，3，0，3，4，3，4，2，1，5，4； ②将抽取的八年级20名学生成绩进行整理并绘制成如下条形统计图； ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下表． 八年级学生成绩条形统计图 平均数 中位数 众数 七年级 2.85 b 4 八年级 3.1 3 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）若该校七、八年级各有600名学生，估计七、八年级中成绩为5分的学生总人数； （3）设抽取的七、八年级学生中，成绩分别高于各自年级平均成绩的人数为和，试比较，的大小，并说明理由； （4）根据调查数据反映的情况，请你为七年级学生关于此次大赛提一条合理建议，并说明理由． 【答案】（1）5，3，3 （2）七、八年级中成绩为5分的学生总人数约为180人 （3），理由见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用总数减去其他成绩的人数即可求出a；然后根据中位数，众数的定义求解b，c； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）通过比较平均数和中位数判断即可； （4）根据平均数和中位数提出建议即可． 【小问1详解】 解：八年级学生中，成绩为4分的人数为：（人） ∴； 在20人中，中位数为第10，11个数据的平均数， 将七年级20名学生的成绩从小到大排列为：0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5， ∴第10，11个数据均为3， ∴中位数； 由条形统计图可知，人数最多的有6人，对应的成绩为3分， ∴众数； 【小问2详解】 解：由题可知，七年级被抽取的20名学生中成绩为5分的有3人，八年级被抽取的20名学生中成绩为5分的有3人， ∴（人）， 答：七、八年级中成绩为5分的学生总人数约为180人； 【小问3详解】 解：， 理由如下： ∵抽取的七年级学生成绩的中位数为3分，平均数为2.85分， ∴这20名学生中，成绩高于平均成绩的人数人， 即； ∵抽取的八年级学生成绩的中位数为3分，平均数为3.1分， ∴这20名学生中，成绩高于平均成绩的人数人， 即， ∴； 【小问4详解】 解：由题可知，七年级学生与八年级学生成绩的中位数相等，而众数大于八年级的，但七年级学生成绩的平均数却小于八年级学生成绩的平均数，说明七年级学生整体关于中华国学知识的掌握情况较弱， ∴针对七年级成绩低于3分的学生加强相关知识的学习． 19. 如图，在四边形中，，且．连接． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照尺规作图角平分线的作法画图即可； （2）根据等腰三角形的性质得．，结合题意可得四边形为平行四边形，由于即可得证． 【小问1详解】 解：如解图，以为圆心，任意长度画弧，再以弧与，的交点为圆心，大于两交点间线段长度的长为半径画弧，连接两弧的交点并延长，交于点，即为所求作； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形． 20. 交河故城位于新疆吐鲁番市，是世界上最大最古老、保存最完好的生土结构古代城市建筑群遗迹．数学活动小组在学习完三角函数知识后到交河故城选取如图所示的一处遗址进行测量计算，并撰写如下实验报告： 实验主题 测量交河故城遗址的高度 工具 测角仪，卷尺等 实验过程 1．测量员站在与遗址底部N同一水平地面的A处，调整测角仪的高度，视线能看到遗址的顶部M； 2．用测角仪测得从眼睛C处看遗址顶部M处的仰角； 3．测量测角仪的高度； 4．向后退到点B处（A，B，N三点在同一直线上），用测角仪测得从眼睛D处看遗址顶部M处的仰角； 5．测量A，B之间的距离． 实验图示 测量数据 1．； 2．； 3．m； 4．m 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．点D，C，E在同一直线上，且． 参考数据：，，，． 请根据以上实验过程和测量的数据，计算该遗址的高度（结果保留一位小数）． 【答案】该遗址的高度约为 【解析】 【分析】由题意得，m，m， 设m，则 ，先解得到，再解，得到，即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得，m，m， 设m，则． ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 答：该遗址的高度约为． 21. 艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． （1）若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； （2）线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ （3）“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 【答案】（1）400 （2）售价应定为50元/米 （3）当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 【解析】 【分析】（1）根据“利润（售价成本）销量固定成本”直接求解； （2）根据“总利润单个利润数量固定开支”将关系式列出来，求解后根据要尽量让利于顾客来确定所求的值； （3）根据“总利润单个利润数量固定支出”列出二次函数，利用二次函数开口向下，顶点处取得最大值求解． 【详解】解：（1）当日车间直销获得的利润为 （元）． （2）设线下门店售价提高x元/米， 由题意可列方程， ， 整理可得， 解得或， ∵要尽量让利于顾客，∴， ∴售价为元． 答：售价应定为50元/米； （3）由题意，线上直播销售每米实际利润为元，设利润为元，由题意可得， ， ∵，且， ∴当时，最大，此时． 答：当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 22. 如图，为的直径，为上一点，连接 的平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线得，由同弧所对圆周角相等得，从而得，结合是公共角证明相似即可； （2）如图，连接，过点作于点，先证明为等腰直角三角形，得的半径，则其直径，在中，由得，由勾股定理得，在等腰中，，在中，由勾股定理得，进而得，由得，从而计算，进而计算． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴在等腰中，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 由（1）得，， ∴，即， ∴， ∴． 23. 根据所学知识，解答以下问题 （1）如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； （3）如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1），理由见解析 （2）不成立， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得到边相等、角为直角，由 推导角相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）根据矩形性质得到角为直角，由 推导角相等，证明与相似，结合矩形边长、得到与的比值． （3）过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接，可得四边形是平行四边形，可得 ，所以最小值为的长．利用勾股定理求出的长，结合 证明相关三角形相似，得到与的数量关系；最后利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴（）， ∴． 【小问2详解】 不成立，，理由如下： 在矩形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当D，G，H三点共线时， 的值最小，最小值为的长． ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵，易得 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $