精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2025-2026学年下学期九年级阶段测试（一） 数学试卷（问卷）

2025−2026−02九年级阶段测试（一）数学试卷（问卷） （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 随着短剧《我的阿勒泰》的爆火，阿勒泰旅游热度持续高涨．据统计，2025年春节期间，1月28日至2月4日，阿勒泰地区接待游客121.43万人次，同比增长，实现旅游总收入8.63亿元．将数字8.63亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ，为整数，解题关键是正确将“亿”为单位的数转化为原数，确定的值 【详解】解： 3. 化简结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算． 4. 如图，直线，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据同旁内角互补，，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 将直线向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化． 【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线， 那么新直线的k=-2，b=-1+2=1． ∴新直线的解析式为y=-2x+1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化． 6. 若是方程的一个根，则m为（ ） A. 7 B. 8 C. 4 D. 7或8 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到结果 【详解】解：∵ 是方程的一个根 ∴把 代入原方程，得 计算得 整理得 ∴ 7. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 8. 如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的 边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（ ） A. 6m或7m B. 3m或3.5m C. 3.5m D. 6m 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，则，根据题意列方程为：，解方程即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又墙长， ， 长为6m． 故选：D． 9. 现如今大街上随处可见外卖骑手的身影，某天骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离该餐饮店4400米远的同一个小区，由于备餐时间不同，甲送餐出发2分钟后乙才出发，甲、乙两骑手之间的距离（单位：米）与骑手甲行驶的时间 （单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　） A. 甲的速度是600米/分钟 B. 乙出发后用了8分钟追上甲 C. 当乙追上甲时，乙距离小区2400米 D. 当乙到达小区时，甲距离小区500米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像中获取信息， 根据图像可知甲骑手出发，随着时间的增加两位骑手的距离逐渐增大，至2分钟，两位骑手的距离是600米，之后乙骑手出发，随着时间的增加两人的距离逐渐减小，至8分钟，两人相遇，再根据分析逐项解答即可． 【详解】解：根据图像可知甲骑手出发，随着时间的增加两位骑手的距离逐渐增大，至2分钟，两位骑手的距离是600米，则甲骑手的速度是（米/分），所以A不正确； 之后乙骑手出发，随着时间的增加两人的距离逐渐减小，至8分钟，两人相遇，可知乙出发后用了6分钟追上甲，所以B不正确； 当乙追上甲时，甲行驶了（米），此时乙距离小区（米）， 所以C不正确； 当乙到达小区时用时，此时甲距离小区（米）． 所以D正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 若有意义，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 某果农随机从甲、乙、丙三个品种的批把树中各选5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的批把树进行种植，则应选的品种是 __． 甲 乙 丙 45 45 42 S2 1.8 2.3 1.8 【答案】甲 【解析】 【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定． 【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定， 即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点在直线上，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解与一次函数的综合应用，解题关键是先联立，再将其解代入，求解即可． 【详解】解：由题意，联立， 解得：， 将其代入，可得， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，点 为半圆的圆心，直径 长为6，再以点 为圆心，为半径作弧，交弧 于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，，过点 作于点 ，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出 的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 ，，过点 作于点 ， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 15. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为________；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 【答案】 ①. 3456 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当 时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当 时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时 ，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． 三、解答题（本大题共8小题，计90分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相关运算法则，逐项化简后再合并计算即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母，两边同乘6，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 17. 解答下列各题 （1）解分式方程：． （2）如图，， ， ，求证：． 【答案】（1） 解：， ， ， ， ， ， ． 检验：当时， ， 所以原分式方程的解为：． （2） 证明：∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）由平行线的性质可得 ，利用线段的和差结合 可得 ，再根据 即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 （1）上表中 ________， ________，________； （2）若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）115，113，112 （2）350台 （3）选择款人形机器人， 理由：根据表中的和两款人形机器人的平均数相同，款人形机器人的中位数，众数和方差都优于款人形机器人，因此商场应该选择款人形机器人． 【解析】 【分析】（1）把款和款的各10个数按从小 到大的顺序排列，根据平均数、中位数和众数的确定方法求解即可； （2）用500乘以“良好及以上”的占比，即可求解； （3）根据中位数、众数和方差作决策即可． 【小问1详解】 解：∵款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110， ∴从小到大排列：105，108，110，111，112，114，115，115， 118，122， ∴； ∵款：109，118，102，119，106，112，123，112，112，117， ∴从小到大腓列：102，106，109，112，112，112，117，118，119，123， ∴ ， ∵第5个与第6个数都是112， ∴， 故答案为：115，113，112； 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 115 21.8 113 112 112 36.6 【小问2详解】 解：（台）， 故这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的约350台； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查统计表，求平均数、中位数数、众数，利用中位数、众数和方差作决策，部分估计总体，解题的关键是掌握相关知识． 19. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线交 于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接 ，若，求四边形的周长． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线、等腰三角形性质，菱形的判定与性质， （1）作的平分线即可； （2）先证明四边形是菱形，再根据菱形性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 20. 夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明： 名称 ××品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角： 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽 深 高，单位：），如图 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部EF需与墙面垂直 根据以上信息，解决下面的问题： 小丽房间内的床长，高 ，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点 ，由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角度最小时，在床的边缘之外即可，解直角三角形求出，得到． 【详解】解：连接，作于点 ， 四边形是矩形， ,，， ， 由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角度最小时，在床的边缘之外即可， ， ， ， ， ， ， ， 故空调安装的最低高度 21. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________． ①；②；③ ．（填序号即可，2.5922）． 【答案】（1） （2） （3）② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，灵活运用二次函数的图象与性质是解答的关键． （1）先由题意得到抛物线的顶点，故设顶点式求函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式中求解x值即可； （3）设小华向球门方向移动，则平移后的抛物线解析式为，根据题意将点代入求解b值即可． 【小问1详解】 解：由题意，该抛物线的顶点坐标为，， 故设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，由得 ，， ∵防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守， ∴， 即小明需要站在离球门距离 的地方才可能防守住这次射门； 【小问3详解】 解：设小华向球门方向移动，则平移后的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得或（不符题意，舍去）， 即他最多可以向球门移动约， 故答案为：②． 22. 如图， 为的直径，为 延长线上一点， 为上一点，连结，作于点，交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理可证得，根据平行线的性质和判定，由等腰三角形的性质得到，即可得到，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据垂径定理及三角形中位线定理得到，设 ，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 为的直径， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴ 为 的中位线， ∴， ∵， ∴， 设 ，，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． （1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转 得到 ，则 ，请思考并证明； （2）【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 并延长，交于点E．求证： ； （3）【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为 内部一点，，点P，Q是 上的动点，且 ，若 ， ，请直接写出 的最小值． 【答案】（1） 证明：∵绕点B逆时针旋转 得到 ， ∴ ． ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴． ∴ ； （2） 证明：如图1， 过点B分别作 于点 F， 于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转 得到 ， ∴ ． ∵四边形为正方形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 在和中， ， ∴ ∴ ． ∵ ， ∴． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴四边形 为矩形． ∵， ∴矩形 为正方形． ∴ ． ∴ ． ∵四边形 为正方形， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作 于点 F， 于点 G，再证明出和，再证明出四边形 为矩形，后得到 为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接 ， 将 绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得 ， 连接 ，当M， Q， N三点共线时， 有最小值是 的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 连接 ， 将 绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得 ， 连接 ． ， ∴． ∴ ． 连接 交 于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时， 有最小值是 的长度． 由（2）易得：． ∴ ， ． ∵ ． ∴ ． ∴ ． 过N作 于H． ∵ ， ∴． ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026−02九年级阶段测试（一）数学试卷（问卷） （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 随着短剧《我的阿勒泰》的爆火，阿勒泰旅游热度持续高涨．据统计，2025年春节期间，1月28日至2月4日，阿勒泰地区接待游客121.43万人次，同比增长，实现旅游总收入8.63亿元．将数字8.63亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 化简结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，直线，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 将直线向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（　 　） A. B. C. D. 6. 若是方程的一个根，则m为（ ） A. 7 B. 8 C. 4 D. 7或8 7. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的 边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则 长为（ ） A. 6m或7m B. 3m或3.5m C. 3.5m D. 6m 9. 现如今大街上随处可见外卖骑手的身影，某天骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离该餐饮店4400米远的同一个小区，由于备餐时间不同，甲送餐出发2分钟后乙才出发，甲、乙两骑手之间的距离（单位：米）与骑手甲行驶的时间 （单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　） A. 甲的速度是600米/分钟 B. 乙出发后用了8分钟追上甲 C. 当乙追上甲时，乙距离小区2400米 D. 当乙到达小区时，甲距离小区500米 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 若有意义，则 的取值范围是_____． 11. 计算：______． 12. 某果农随机从甲、乙、丙三个品种的批把树中各选5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的批把树进行种植，则应选的品种是 __． 甲 乙 丙 45 45 42 S2 1.8 2.3 1.8 13. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点在直线上，则k的值是________． 14. 如图，点 为半圆的圆心，直径 长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧 于点，则阴影部分的面积是________． 15. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为________；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 三、解答题（本大题共8小题，计90分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）解不等式：． 17. 解答下列各题 （1）解分式方程：． （2）如图，， ， ，求证：． 18. 受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 （1）上表中 ________， ________，________； （2）若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 19. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线交 于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接 ，若，求四边形的周长． 20. 夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明： 名称 ××品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角： 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽 深 高，单位：），如图 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部EF需与墙面垂直 根据以上信息，解决下面的问题： 小丽房间内的床长，高 ，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，） 21. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________． ①；②；③ ．（填序号即可，2.5922）． 22. 如图， 为的直径，为 延长线上一点， 为上一点，连结，作于点，交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 23. 综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． （1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转 得到 ，则 ，请思考并证明； （2）【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 并延长，交于点E．求证： ； （3）【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点， ，点P，Q是 上的动点，且 ，若 ， ，请直接写出 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $