第六章 平面向量的数量积及运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以平面向量数量积为核心，通过知识框架系统梳理定义、投影、几何意义等概念，用对比表格呈现数量积的几何与坐标表示，按运算、夹角、模长等7大题型构建知识脉络，突出重点与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如“建立坐标系解决向量问题”题型培养数学思维，“平面向量的实际应用”中渡河问题提升应用意识。基础题巩固运算能力，综合题发展推理能力，助力不同学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

第六章 平面向量的数量积及运算 目录 题型1：平面向量的数量积运算 4 题型2：平面向量的夹角 7 题型3：平面向量的模长 11 题型4：平面向量的投影、投影向量 13 题型5：平面向量的垂直问题 18 题型6：建立坐标系解决向量问题 24 题型7：平面向量的实际应用 28 1. 平面向量的数量积 (1) 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (2) 向量在向量上的投影 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量,记为。 叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是。 (3) 数量积的几何意义 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积，也等于的长度与在方向上投影的乘积。 2. 数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 (1) 。 (2) 。 (3) 当与同向时，；当与反向时，．特别地，或。 (4) 。 (5) 当且仅当向量共线，即∥时，等号成立.。 3. 数量积的运算律 对于向量和实数，有 交换律： ； 结合律：（为实数）； 分配律：. 4. 平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 题型1：平面向量的数量积运算 【例1.1.】 已知向量，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以． 【例1.2.】 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B    【例1.3.】 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【详解】根据，得， 所以， 所以. 【例1.4.】 已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 【例1.5.】 在中，， 是上一点，，则________ 【答案】 【难度】0.68 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】先将，用表示出来，再利用向量运算法则及向量数量积的运算求解. 【详解】 ， ， . 【例1.6.】 中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】利用平面向量的线性运算得，根据平面向量基本定理得，，由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】由题意有： ， 又， ， 由， 所以， 即①， 由， 所以， 即②， 由①②有：， 所以. 题型2：平面向量的夹角 【例2.1.】 已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】根据平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解． 【详解】由两边平方得，， 又得， 所以， 则． 【例2.2.】 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【详解】由，可得， 以及，又因为， 所以， 得， 从而， 同理， 而， 故. 【例2.3.】 已知向量，满足，，，设向量，的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模 【分析】由，得到，再由，求解，再由求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 所以，而，所以. 【例2.4.】 已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、向量模的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】根据给定条件，结合投影向量的意义求出，进而求出向量夹角. 【详解】由向量，，得， 由在上的投影向量为， 得，解得， 因此， 而，则， 所以与的夹角为. 【例2.5.】 在中，向量与满足，且，则为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰非等边三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由方向向量和向量垂直可得的角平分线与边垂直，再根据数量积定义和三角形内角和定理判断三角形形状即可. 【详解】、分别是、方向的单位向量， 两个单位向量的和方向为的角平分线方向， 由条件，可知的角平分线与边垂直， 因此，为等腰三角形. 由向量数量积的定义，可得： 是三角形内角，即，因此. 结合得，可得， 三个内角不全相等，故是等腰非等边三角形. 【例2.6.】 如图，在梯形ABCD中，，CD=3，·=2·，且·=45，则∠BAD=____. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】利用向量数量积的分配律化简已知等式，推导出，再结合向量加法的三角形法则与数量积公式，建立关于的方程求解，进而求出，得到. 【详解】设，由，得， 即，所以， 所以|，所以，即. 又， 解得，所以，又，所以，即. 【例2.7.】 已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、利用数量积求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 题型3：平面向量的模长 【例3.1.】 已知，，在上的投影的数量为，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、已知数量积求模 【分析】根据投影数量求出数量积，故可求. 【详解】因为在上的投影的数量为，故，故， 故， 故选：C. 【例3.2.】 已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 【例3.3.】 已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量垂直求出，再用模长公式计算结果. 【详解】， 所以， 因为，则，即：. 解得：. 所以. 【例3.4.】 已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据已知条件用表示，再根据，求出的取值范围，进而求出的范围，得到答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为， 所以，解得， 又 ， 所以，所以. 【例3.5.】 已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【详解】由，得， 整理得，故，解得， ， ． 题型4：平面向量的投影、投影向量 【例4.1.】 已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示、平面向量数量积的几何意义 【分析】设，根据题意利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为在上的投影向量为，所以，即， 设，则，解得或， 所以或. 故选：A. 【例4.2.】 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用定义求向量的数量积、力的合成、求投影向量 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 【例4.3.】 已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积、求投影向量 【分析】利用平面向量的模的运算和数量积运算，结合向量的投影向量的计算公式计算. 【详解】因为 ， ， ，所以 ， ， 所以 在 上的投影向量为 . 【例4.4.】 已知向量满足＝，＝，则在上投影向量的模为______. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据投影向量计算即可. 【详解】在上的投影向量的模为. 【例4.5.】 设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】求出，求出，求出，则在上的投影数量为，代入数值求解即可. 【详解】单位向量的夹角为，， ， ， ， ， 则在上的投影数量为，故选项D正确. 【例4.6.】 若点是的外心，向量在向量上的投影向量为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.52 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据已知及投影向量的定义得是的一条中线，则，利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由点是的外心，向量在向量上的投影向量为， 所以为的中点，则是的一条中线，故， 所以，故. 【例4.7.】 如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由正八边形的性质可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 【例4.8.】 设点为边长为1的正六边形上一点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】利用向量数量积的几何意义，结合图形特征即可求得. 【详解】因， 即可理解为在方向上的投影的数量， 由图知，当点与点重合时，投影的数量最大，为； 当点与点重合时，投影的数量最小，为， 故的取值范围为. 题型5：平面向量的垂直问题 【例5.1.】 已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】利用向量垂直求参数、数量积的运算律、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据得出，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，，则，， 若时，， 解得， 即“”“”， 因为是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 【例5.2.】 已知向量，，，则（   ） A． B．4 C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】已知向量，，则， ， 由，可得，即， 可得，则. 【例5.3.】 已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　） A． B．4 C．7 D．2 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【详解】若向量与向量互相垂直，则， 所以， 即，解得. 【例5.4.】 已知在中，为中点，，，． (1)用和表示； (2)若，求； (3)设和的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.79 【知识点】用向量证明线段垂直、已知数量积求模、用基底表示向量 【分析】（1）结合点的分点比例，利用向量线性运算法则将转化为与的线性组合. （2）利用向量模长与数量积的关系，结合已知夹角及模长条件计算. （3）将用、表示，通过证明推导垂直关系. 【详解】（1）∵ ， ∴ ， 整理得， ∴ . （2）∵ ，，， ∴ . ∵ ， 代入数值计算得： ， ∴ . （3）∵ 为中点， ∴ ， ∴ . ∵ 与的夹角为，， ∴ . 计算得： ， ∴ ，即. 【例5.5.】 在△ABC中，已知.设，若，且＝0. (1)求的值； (2)设不同于点A的点E满足，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）利用基底向量法结合数量积的运算律，或建立坐标系，或利用余弦定理解三角形可得； （2）对应（1）的三种方法，结合向量垂直的表示方法，可求得实数的值，特别注意，点E不同于点A，所以. 【详解】（1）解法一：基底向量法 因为，所以D分所成比为2：1（靠近C）. 所以. ， 又，且， 所以，. 解法二：坐标法. 由，得，即. 以A为原点建如图所示平面直角坐标系，则，. ∵，设，则， ∴. ∴ 解法三：平面几何＋解三角形法. 由，得，即. ∵，∴， ∴，. ∴， ∴. （2）由， 得，， 所以 解得或. 当时，点E与A重合，舍去， 当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件. 综上，. 方法二：坐标法 设，则，， ∵，∴. ∴， ∴， ∴， 解得或. 当时，点E与A重合，舍去， 当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件. 综上，. 方法三： 由（1）知，. ∴， ∴. 又， ∴E在以为直径的圆上. 不妨设圆心为P，∵， ∴，∴. 【例5.6.】 已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）借助数量积公式计算可得，再利用向量垂直性质计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算可得、，再利用平面向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1），解得， 由，则，解得； （2）由，则，， ，则，， 故. 题型6：建立坐标系解决向量问题 【例6.1.】 已知A，B，C，D四点共面，，则向量的模的最大值为____________. 【答案】10 【难度】0.42 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示及模的坐标表示求解. 【详解】以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 整理得，显然，而， 由，得，因此， 当且仅当时取等号，所以向量的模的最大值为10. 【例6.2.】 点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量与几何最值 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，首先根据向量数量积的坐标公式求出点的轨迹，然后根据模长公式表示出，最后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设正方形中，，，，，则对角线交点坐标为， 设，其中，则，，点积得： ， 因此的轨迹是正方形内的线段， ，将代入得： ， 这是开口向上的二次函数，定义域，对称轴为， 所以最大值在端点或处取得， 代入得，因此.    【例6.3.】 在中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、数量积的坐标表示、解析法在向量中的应用 【分析】，应用向量数量积的运算律求得，进而得到，构建直角坐标系，设并标注相关点坐标，应用向量数量积的坐标表示得，根据二次函数的性质求范围. 【详解】由，可得， 又，，可得， ∴，故， 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系， ∴，设， ∴， ∴， 设，显然其在上单调递减，在上单调递增， 所以其最小值为，最大值为， 则的取值范围是. 【例6.4.】 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、数量积的坐标表示 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则 设，， 则， 当时， 【例6.5.】 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 题型7：平面向量的实际应用 【例7.1.】 （多选）一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（    ） A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为 C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 【答案】BCD 【难度】0.6 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、速度、位移的合成 【分析】根据向量数量积的运算性质及模的运算判断ABC，根据船垂直河岸方向航行用时最短判断D. 【详解】设小船在静水中的速度为为，水流的速度为， 则 ，小船的实际速度为，则有， 对于A，由小船以北偏西方向航行可知，船速的方向与垂直于河岸方向的夹角为， 若小船实际航向垂直河岸，则在平行于河岸方向的分速度大小与水速大小相等， 即，而，所以假设不成立，错误； 对于B，由题意，所以， 所以，正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以， 所以小船到达河北岸的时间为h，正确； 对于D，当小船渡河时间最短时，垂直河岸的分速度最大， 即船垂直河岸方向航行（船头指向正北），此时分速度等于船在静水中的速度， 所以最短时间为 h，正确. 【例7.2.】 若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为____________. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】已知数量积求模、力的合成 【详解】因为物体处于平衡状态，所以，所以， 所以 ， 所以. 【例7.3.】 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为______ 【答案】17 【难度】0.83 【知识点】数量积的坐标表示、功、动量的计算 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，则，且， 所以， 故力对冰球所做的功为. 【例7.4.】 为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500 N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为______________N． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】力的合成 【详解】设两条钢丝绳的拉力分别为，合力为，且，， 所以 ， 所以两条钢丝绳拉力的合力大小为 N． 【例7.5.】 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)左侧，理由见解析 (2)， (3) 【难度】0.7 【知识点】向量加法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可. （2）利用沿河岸方向的分速度大小等于，再求出夹角的余弦及航行时间. （3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解. 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， 所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要能到达处，则在反方向上的分速度为， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为， 所以当时，游船能到达处，用时. （3）由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为，则航行时间为， 因此水平方向航行距离， 所以游船航行到达北岸的实际航程. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量的数量积及运算 目录 题型1：平面向量的数量积运算 4 题型2：平面向量的夹角 4 题型3：平面向量的模长 5 题型4：平面向量的投影、投影向量 6 题型5：平面向量的垂直问题 7 题型6：建立坐标系解决向量问题 8 题型7：平面向量的实际应用 9 1. 平面向量的数量积 (1) 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (2) 向量在向量上的投影 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量,记为。 叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是。 (3) 数量积的几何意义 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积，也等于的长度与在方向上投影的乘积。 2. 数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 (1) 。 (2) 。 (3) 当与同向时，；当与反向时，．特别地，或。 (4) 。 (5) 当且仅当向量共线，即∥时，等号成立.。 3. 数量积的运算律 对于向量和实数，有 交换律： ； 结合律：（为实数）； 分配律：. 4. 平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 题型1：平面向量的数量积运算 【例1.1.】 已知向量，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【例1.2.】 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【例1.3.】 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 在中，， 是上一点，，则________ 【例1.6.】 中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 题型2：平面向量的夹角 【例2.1.】 已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知向量，满足，，，设向量，的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【例2.5.】 在中，向量与满足，且，则为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰非等边三角形 【例2.6.】 如图，在梯形ABCD中，，CD=3，·=2·，且·=45，则∠BAD=____. 【例2.7.】 已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 题型3：平面向量的模长 【例3.1.】 已知，，在上的投影的数量为，则（   ） A．6 B． C． D． 【例3.2.】 已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【例3.3.】 已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3.4.】 已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 题型4：平面向量的投影、投影向量 【例4.1.】 已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例4.2.】 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知向量满足＝，＝，则在上投影向量的模为______. 【例4.5.】 设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A． B． C． D． 【例4.6.】 若点是的外心，向量在向量上的投影向量为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 设点为边长为1的正六边形上一点，则的取值范围为______． 题型5：平面向量的垂直问题 【例5.1.】 已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5.2.】 已知向量，，，则（   ） A． B．4 C． D．1 【例5.3.】 已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　） A． B．4 C．7 D．2 【例5.4.】 已知在中，为中点，，，． (1)用和表示； (2)若，求； (3)设和的夹角为，若，求证：． 【例5.5.】 在△ABC中，已知.设，若，且＝0. (1)求的值； (2)设不同于点A的点E满足，且，求实数的值. 【例5.6.】 已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 题型6：建立坐标系解决向量问题 【例6.1.】 已知A，B，C，D四点共面，，则向量的模的最大值为____________. 【例6.2.】 点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 【例6.3.】 在中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型7：平面向量的实际应用 【例7.1.】 （多选）一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（    ） A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为 C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 【例7.2.】 若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为____________. 【例7.3.】 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为______ 【例7.4.】 为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500 N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为______________N． 【例7.5.】 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $