第六章 平面向量的概念与坐标运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“概念-运算-定理-坐标”为主线系统构建平面向量知识体系，通过表格梳理向量线性运算的定义、法则及运算律，分题型呈现基本概念、线性表示、共线定理等核心内容，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如题型1通过多选题辨析向量概念培养推理意识，题型4结合三点共线定理与等和线方法提升数学思维。基础题巩固知识，综合题深化应用，助力不同层次学生掌握，为教师实施精准复习提供清晰框架与实用素材。

第六章 平面向量的概念与坐标运算 目录 题型1：平面向量的基本概念 5 题型2：平面向量的线性表示 6 题型3：平面向量基本定理及应用 6 题型4：向量共线的运用 7 题型5：平面向量的直角坐标运算 9 题型6：向量共线的坐标表示 10 1. 向量的有关概念 既有大小又有方向的量叫做向量，只有大小没有方向的量称为数量。数量可以比较大小，物理学中称为标量；向量不能比较大小，物理学中称为矢量。 (1) 向量的模 向量的大小称为向量的长度（或称模，记作，向量的模可以比较大小. (2) 特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，它的方向是任意的，记作. ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量。 是与同方向的单位向量. ③相等向量：长度相等且方向相同的向量. ④相反向量：长度相等且方向相反的向量. ⑤平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量（模不一定相等）叫做平行向量，即共线向量.规定：与任一向量平行. 2. 向量的线性运算 运算 定义 法则（几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律: ; 结合律: . 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 实数与向量的积的运算 ①； ②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； ③当时，. 结合律: ; 第一分配律: ; 第二分配律： . 3. 向量共线定理 (1) 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使，即 。 (2) 三点共线定理 ①三点共线； ②存在实数，使，且三点共线. (3) 等和线 平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. ①当时，即，所以等和线为过点的直线； ②当时，，即，即，所以等和线恰为直线； ③当时，等和线在点与直线之间； ④当时，直线在点与等和线之间; ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 4. 平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式。 (1) 平面向量基本定理的推论 设是平面内的一组基底， 推论1：若，则． 推论2：若，则． (2) 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量． 若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 5. 平面向量的直角坐标运算 (1) 向量的加法、减法、数乘 设，则，， ，， ，. (2) 向量坐标的求法 设，，则=，. 题型1：平面向量的基本概念 【例1.1.】 （多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．若，则 C．若且，则 D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【例1.2.】 （多选）下列说法中正确的是（     ） A．若，为单位向量，则 B．若，则 C．若，，为非零向量，且，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【例1.3.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量与相等，则，重合 D．若，则 【例1.4.】 （多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 题型2：平面向量的线性表示 【例2.1.】 下列向量运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 化简：（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 （多选）如图，点是中边的中点，点是的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3：平面向量基本定理及应用 【例3.1.】 下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3.2.】 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【例3.3.】 在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 【例3.5.】 在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 【例3.6.】 在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 题型4：向量共线的运用 【例4.1.】 已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【例4.2.】 （多选）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)若与互为相反向量，求实数的值； (2)用，表示，并证明三点共线． 【例4.4.】 在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【例4.5.】 已知向量，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4.6.】 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________ 【例4.7.】 如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 【例4.8.】 如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【例4.9.】 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 题型5：平面向量的直角坐标运算 【例5.1.】 已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知点为坐标原点，，，若，则点的坐标是__________. 【例5.3.】 （多选）已知，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，在正八边形ABCDEFGH中，若（，），则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【例5.5.】 如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【例5.6.】 在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6：向量共线的坐标表示 【例6.1.】 已知两点，，，，三点共线，且满足，则点的坐标为______. 【例6.2.】 已知向量，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【例6.3.】 已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标. 【例6.4.】 已知，． (1)若，且，求，的值； (2)若，且，求的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量的概念与坐标运算 目录 题型1：平面向量的基本概念 5 题型2：平面向量的线性表示 7 题型3：平面向量基本定理及应用 10 题型4：向量共线的运用 14 题型5：平面向量的直角坐标运算 19 题型6：向量共线的坐标表示 24 1. 向量的有关概念 既有大小又有方向的量叫做向量，只有大小没有方向的量称为数量。数量可以比较大小，物理学中称为标量；向量不能比较大小，物理学中称为矢量。 (1) 向量的模 向量的大小称为向量的长度（或称模，记作，向量的模可以比较大小. (2) 特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，它的方向是任意的，记作. ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量。 是与同方向的单位向量. ③相等向量：长度相等且方向相同的向量. ④相反向量：长度相等且方向相反的向量. ⑤平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量（模不一定相等）叫做平行向量，即共线向量.规定：与任一向量平行. 2. 向量的线性运算 运算 定义 法则（几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律: ; 结合律: . 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 实数与向量的积的运算 ①； ②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； ③当时，. 结合律: ; 第一分配律: ; 第二分配律： . 3. 向量共线定理 (1) 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使，即 。 (2) 三点共线定理 ①三点共线； ②存在实数，使，且三点共线. (3) 等和线 平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. ①当时，即，所以等和线为过点的直线； ②当时，，即，即，所以等和线恰为直线； ③当时，等和线在点与直线之间； ④当时，直线在点与等和线之间; ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 4. 平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式。 (1) 平面向量基本定理的推论 设是平面内的一组基底， 推论1：若，则． 推论2：若，则． (2) 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量． 若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 5. 平面向量的直角坐标运算 (1) 向量的加法、减法、数乘 设，则，， ，， ，. (2) 向量坐标的求法 设，，则=，. 题型1：平面向量的基本概念 【例1.1.】 （多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．若，则 C．若且，则 D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】AD 【难度】0.75 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量加法的法则、数量积的运算律 【详解】根据向量共线定理，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，所以选项A正确； 是方向相同，模长相等，不能得出，所以B错误； 由得， 当时，得，不能得出，所以C错误； 对于平面内任意四个点A、B、C、D，由，所以D正确； 【例1.2.】 （多选）下列说法中正确的是（     ） A．若，为单位向量，则 B．若，则 C．若，，为非零向量，且，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【答案】BD 【难度】0.84 【知识点】数量积的坐标表示、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量的定义，可判定A错误；根据零向量的定义，可判定B正确；根据向量的数量积的计算公式，可判定C错误；根据共线向量的定义和的意义，可判定D正确. 【详解】对于A，若，为单位向量，但向量与的方向不一定相同， 所以与不一定相等，所以A错误； 对于B，由零向量的定义知，若，则，所以B正确； 对于C，例如：向量， 则， 此时满足，但，所以C不正确； 对于D，由是与非零向量同向的单位向量，所以与是共线向量，所以D正确. 【例1.3.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量与相等，则，重合 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量共线定理可判断AB；根据向量的减法可判断C；根据垂直关系的向量表示可判断D. 【详解】对于A：与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不成立，A错误. 对于B：若，，则不存在实数使，B错误. 对于C：因为，所以，即，所以，重合，C正确. 对于D：由，得，则，不一定有，D错误. 【例1.4.】 （多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 题型2：平面向量的线性表示 【例2.1.】 下列向量运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.89 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 【例2.2.】 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【详解】利用向量加减法的运算法则，对原式分组化简得 . 【例2.3.】 化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用向量的线性运算可得答案. 【详解】. 【例2.4.】 在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、用基底表示向量 【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 又，所以. 【例2.5.】 在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【详解】由题设可得， ，即，结合，得， 故. 【例2.6.】 （多选）如图，点是中边的中点，点是的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.75 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、三角形的心的向量表示、用基底表示向量 【详解】对于A，因为，则，所以A错误； 对于B，因为点是边的中点，则，所以B正确； 对于C，因为点是边的中点，则，所以，故C正确； 对于D，因为点是边的中点，则， 又点是的重心，则， 所以，故D正确. 题型3：平面向量基本定理及应用 【例3.1.】 下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】由坐标判断向量是否共线、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、基底的概念及辨析 【详解】对于A：因为，所以向量和不共线，它们可以构成平面的一组基底，因此可以表示向量； 对于B：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量； 对于C：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量； 对于D：因为是零向量，零向量与任何向量共线，不能构成基底，所以不能表示向量. 【例3.2.】 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【难度】0.82 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 【例3.3.】 在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.79 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【详解】 .    【例3.4.】 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据三角形面积公式求出，再将两边平方，然后利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 的最小值为. 【例3.5.】 在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 【答案】 /0.4 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、由向量线性运算结果求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】如图设与相交于点，根据共线可得，又，可得，再利用向量线性运算即得. 【详解】设与相交于点，如图， 设，又， 所以，即， 所以，解得， ， 即， 所以，． 故答案为：； 【例3.6.】 在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值. 【详解】， 则，，解得 题型4：向量共线的运用 【例4.1.】 已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 【例4.2.】 （多选）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、由向量共线（平行）求参数 【详解】因为三点共线，所以. 所以，即，解得或. 【例4.3.】 设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)若与互为相反向量，求实数的值； (2)用，表示，并证明三点共线． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【难度】0.85 【知识点】相反向量、向量减法的法则、平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据相反向量及相等向量的定义即可求解； （2）根据平面向量线性运算求解，再根据向量共线证明三点共线即可． 【详解】（1），则． （2）， 证法一：因为，， 所以，又为公共点， 所以三点共线； 证法二：由已知，得， 因为，所以，又与有公共点， 所以三点共线． 【例4.4.】 在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【例4.5.】 已知向量，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】判断命题的必要不充分条件、相等向量、平行向量（共线向量） 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且同向，即， 所以“且”是“”的必要不充分条件. 【例4.6.】 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可． 【详解】因为，， 所以． 因为三点共线，所以，解得． 【例4.7.】 如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 【答案】 【难度】0.66 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求解即得. 【详解】在中，，E为AC中点，得， 由，得，， 由点共线，点共线，得，解得， 所以. 【例4.8.】 如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【详解】因为， 所以 , 设，则， 因为三点共线，所以，得， 则， 故，则. 【例4.9.】 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，联立方程即可求解. 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 题型5：平面向量的直角坐标运算 【例5.1.】 已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】零向量与单位向量、用坐标表示平面向量、利用坐标求向量的模 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 【例5.2.】 已知点为坐标原点，，，若，则点的坐标是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【详解】因为，所以， 则, 故点的坐标是 【例5.3.】 （多选）已知，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.7 【知识点】线段的定比分点、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式分类讨论进行求解即可. 【详解】设， 若； 若. 【例5.4.】 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，在正八边形ABCDEFGH中，若（，），则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，求得相关向量的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】不妨设，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示． 正八边形内角和为， 则， 所以，，，， 所以，，， 因为，所以 ， 所以， 解得，， 所以． 故选：A． 【例5.5.】 如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由向量线性运算结果求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则, 故, 则由可得， 即， 故， 故选：A 【例5.6.】 在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围. 【详解】结合题意建立直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 则，，，， ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∴，故. 题型6：向量共线的坐标表示 【例6.1.】 已知两点，，，，三点共线，且满足，则点的坐标为______. 【答案】或 【难度】0.71 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【详解】令，且三点共线，，则， 所以， 则或， 所以或，故或. 【例6.2.】 已知向量，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得. 【例6.3.】 已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1)5 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.72 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示、已知向量共线（平行）求参数、相等向量 【详解】（1）， 又，三点共线，设， 则，故，故； （2）（ⅰ）由（1）可知，， 故， 又，，故； （ⅱ）四边形构成平行四边形，故， 又，设，则， 故，所以，解得， 故点的坐标为 【例6.4.】 已知，． (1)若，且，求，的值； (2)若，且，求的坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【难度】0.78 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】(1)由向量的坐标运算计算与的坐标，根据列出关于，的二元一次方程组求解即可； (2)利用向量共线定理可以将表示为，再根据模长公式计算t即可求解． 【详解】（1）因为，求解可得：； 故； 故，解得：； （2）因为，故； 因为，故，解得，即； 故或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $