第六章平面向量的线性运算讲义（基础题）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题 平面向量的线性运算 1．向量的概念： 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．两个向量共线的条件 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 4．平面向量基本定理 （1） 基底不唯一，关键是不共线； （2） 由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解； （3） 基底给定时，分解形式惟一.是被，和唯一确定的数量. 5. 数量积的定义 ①．平面向量数量积（内积）： ． ②．投影向量：向量在方向上的投影： ③．两个向量的数量积的性质： 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 2．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 7．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 8.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线于CD交于点E，则下列说法错误的是（　　） A．＝+ B．＝﹣ C．＝+ D．＝+ 9.已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则＝（　　） A． B． C． D． 10.设向量，不共线，向量与2共线，则实数k＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 11．化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 12．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 13．已知向量与的夹角为，且，． (1)求和； (2)求向量与向量的夹角． 14．已知向量，不共线，且，，． (1)将用，表示； (2)若，求的值； (3)若，求证：A，B，C三点共线． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 平面向量的线性运算 1．向量的概念： 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．两个向量共线的条件 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 4．平面向量基本定理 （1） 基底不唯一，关键是不共线； （2） 由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解； （3） 基底给定时，分解形式惟一.是被，和唯一确定的数量. 5. 数量积的定义 ①．平面向量数量积（内积）： ． ②．投影向量：向量在方向上的投影： ③．两个向量的数量积的性质： 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【分析】根据零向量和单位向量的概念求解. 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 2．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 4．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 5．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 6．平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 【答案】/ 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】， 解得. 7．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 C 8.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线于CD交于点E，则下列说法错误的是（　　） A．＝+ B．＝﹣ C．＝+ D．＝+ D 9.已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则＝（　　） A． B． C． D． 11.设向量，不共线，向量与2共线，则实数k＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 12．化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 13．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 14．已知向量与的夹角为，且，． (1)求和； (2)求向量与向量的夹角． 15．已知向量，不共线，且，，． (1)将用，表示； (2)若，求的值； (3)若，求证：A，B，C三点共线． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $