8.4　抛物线课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦抛物线专题，覆盖定义、标准方程、几何性质等核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确定义应用、焦点弦长等高频考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养提升”，如以2023北京卷抛物线定义题为例，提炼“定义转化法”培养数学思维与几何直观，通过韦达定理解决焦点弦问题强化运算能力。特设易错点分析和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准把握考情，实现高效复习。

8.4　抛物线 返回目录 五年高考 考点1　抛物线的定义和标准方程 1.★(2023北京,6,4分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离 为5,则|MF|= ( ) A.7　　    B.6　　     C.5　　    D.4     D     解析　由抛物线C:y2=8x知F(2,0),准线方程为x=-2,由M到直线x=-3的距离为5,知M到直 线x=-2的距离为4.由抛物线定义可知|MF|=4. 返回目录 2.★★(2021新高考Ⅱ,3,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 ,则p =( ) A.1　　     B.2　　     C.2 　　    D.4     B     解析　抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是 ,由点 到直线x-y+1=0的距离为 , 可得 = , 即 =2,解得p=2或p=-6, 又∵p>0,∴p=2.故选B. 返回目录 3.★★(2022全国乙理,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|= |BF|,则|AB|= ( ) A.2　　    B.2 　　     C.3　　    D.3      B     解析　设A(xA,yA),依题意可得F(1,0),由B(3,0)得|BF|=2=|AF|=xA+1,所以xA=1,根据抛物线 的对称性,不妨设点A在x轴上方,把xA=1代入y2=4x,得yA=2,所以A(1,2),所以|AB|=  =2 .故选B. 返回目录 4.★★★(2025全国二卷,6,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的 准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=     ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     C     解析　如图所示,在y=-2x+2中,令y=0,得x=1,∴F(1,0),∴抛物线的方程为y2=4x,准线方程 为x=-1,当x=-1时,y=4, ∴B(-1,4),∴yA=4,则xA=4, ∴|AF|=|AB|=4-(-1)=5(或|AF|= =5).   返回目录 5.★(2025北京,11,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p=_________.     6     解析　由题意得 =3,所以p=6. 返回目录 三年模拟 1.★(2026届福建百校联考,5)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点M在C上,且|MF|=4,则点M 到y轴的距离为 ( ) A.3　　    B.3 　　    C.4　　    D.5     A     解析　因为F为抛物线C:y2=4x的焦点,所以F(1,0),设M(a,b),因为|MF|=4=a+1,则a=3,故M 到y轴的距离为3.故选A. 返回目录 2.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0, 2),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.2     C     解析　因为点A(x0,2)在抛物线上,|AF|=3|OF|,所以x0+ = ,解得x0=p,因此A(p,2),所以4= 2p2,又p>0,所以p= .故选C. 返回目录 3.★(2026届河北保定部分高中开学考,4)已知A(m,2),B(m+3,4)是抛物线y2=2px(p>0)上 两点,则p= ( ) A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.8     B     解析　由A(m,2),B(m+3,4)在抛物线y2=2px(p>0)上, 可得 解得 故选B. 返回目录 4.★(2025届江苏南通名校联盟模拟,2)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最 小值为( ) A. 　　     B. 　　     C. 　　    D.      D     解析　设P(x,y),则x2=-5y, 且|PA|2=x2+(y+3)2=y2+y+9= + , 又因为y≤0,所以当y=- 时,|PA|2有最小值 ,所以|PA|的最小值为 .故选D. 返回目录 5.★★(2026届广西新高考适应性测试,6)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在C上, 过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=x+1,则|AF|= ( ) A.1　　    B.2　　     C.3　　    D.4     B     解析　对于lBF:y=x+1,令x=0,则y=1,所以F(0,1),得p=2,即抛物线C:x2=4y,故抛物线的准线 方程为y=-1,故B(-2,-1),则xA=-2,代入x2=4y得yA=1.所以|AF|=|AB|=2.故选B. 返回目录 6.★★(2025届河北定州中学开学考,6)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C 上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 ( ) A.2　　    B.2 　　     C.3　　    D.3      B     解析　过A作AD⊥l于D,如图,由题意得,F(1,0),|AD|=|AF|=|AB|,即点A在线段FB的垂直平 分线上,   所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方,将x=2代入y2=4x,得A(2,2 ),所以△AFB的 面积为 ×2×2 =2 .故选B. 返回目录 7.★★★(2026届福建开学联考,8)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则 △FAB的周长的最小值为 ( ) A.8　　    B.10　　    C.12　　    D.16     C     解析　如图,过B作BD垂直于抛物线的准线,垂足为D,   则|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|,又F(0,2),A(4,5),则|AF|=5, 所以|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+5,要使周长最小,即|AB|+|BD|最小,当且仅当A,B,D三点共 线时,取最小值7, 所以周长的最小值为12.故选C. 返回目录 8.★★★★(多选)(2026届福建泉州质量监测,10)在平面直角坐标系xOy中,设F为抛物线 C:y2=4x的焦点,M是C上一点,点N(-1,0),若NM的延长线与C交于点A.记∠ANF=α,∠AFN =β,∠MFN=γ,则 ( ) A.tan α=sin β　　    B.tan α=cos β C.tan α=sin γ　　    D.tan α=cos γ     AC     返回目录 解析　依题意可得抛物线C的准线方程为x=-1,F(1,0). 对于A,B,过点A作AA1垂直准线于A1,则|AA1|=|AF|,   在△AFN中,由正弦定理有 = ,得 = , 在△AA1N中,∠A1AN=∠ANF=α,且|AA1|=|AF|, 则cos α= = = ,所以sin β= =tan α,因此A正确; 当β≠ 时,cos β≠sin β,即当β≠ 时,cos β≠tan α,因此B错误; 返回目录 对于C,D,过点M作MM1垂直准线于M1,则|MM1|=|MF|, 在△MFN中,由正弦定理有 = ,得 = , 在△MM1N中,∠M1MN=∠ANF=α,且|MM1|=|MF|, 则cos α= = = ,所以sin γ= =tan α,因此C正确; 当γ≠ 时,cos γ≠sin γ,即当γ≠ 时,cos γ≠tan α,因此D错误. 故选AC. 返回目录 9.★★★(2026届重庆巴蜀中学月考,14)已知抛物线E:y2=4x,过点F(1,0)的直线l与抛物线 E交于A,B两点,且 =  ,则直线l的斜率为__________.     ±      解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),由 =  ,得(1-x1,-y1)= (x2-1,y2),所以x1+ x2= ,又因为| |=x1 +1= | |= (x2+1),所以x1- x2= ,联立 解得x1= ,所以y1=± ,所以直线l的 斜率为 =± . 返回目录 10.★★★(2026届江苏南京一中月考,13)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点Р是其准线上 一点,过点P作PF的垂线,交y轴于点A,线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴,则AF的 长度为_________.     3     解析　因为抛物线y2=4x,所以F(1,0), 不妨设B ,P(-1,m),A(0,n), 【思路点拨:由抛物线的标准方程设出点的坐标,利用AP⊥PF,A,B,F三点共线,列出方 程求解,这是解析几何中最常见的解题手段,即“先设后求”】 因为AP⊥PF,所以 · =0, 即(-1,m-n)·(2,-m)=0,即2=m(n-m)①, 返回目录 因为A,B,F三点共线,所以kAF=kBF, 即 = ,化简得m2n=4(n-m)②,  可得 = ,即m3n=8,即n= , 将n= 代入①中可得2- +m2=0, 即m4+2m2-8=0,解得m2=-4(舍去)或m2=2,所以m=± , 代入n= 中得n=±2 ,所以|AF|= =3. 返回目录 五年高考 考点2　抛物线的几何性质 1.★★★(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A: x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 ( ) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=  C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个     ABD     返回目录 解析　由y2=4x得2p=4,p=2,因此准线l:x=-1,显然l与☉A相切,A正确. 当P,A,B三点共线时,yP=4,xP=  =4,∴|PA|=4,又|AQ|=1,∴|PQ|= = =  ,B正确. 当|PB|=2时,xP+1=2,即xP=1,因此P(1,±2),若P点坐标为(1,2),则B(-1,2),又A(0,4),∴ =(-1, 2), =(-1,-2),∴ · =1-4=-3≠0,此时,PA与AB不垂直,同理P点坐标为(1,-2)时,PA与 AB也不垂直.C错误. 设抛物线的焦点为F,则F(1,0),由|PA|=|PB|得|PA|=|PF|,∴线段AF的垂直平分线经过P点. 线段AF垂直平分线的方程为y-2=  ,即2x-8y+15=0.由 消去x得y2- 返回目录 16y+30=0. Δ=(-16)2-4×1×30=136>0. ∴线段AF的垂直平分线和抛物线有两个交点,因此,满足题意的点P有2个,D正确.故选 ABD. 返回目录 2.★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分)设O为坐标原点,直线y=- (x-1)过抛物线C:y2= 2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( ) A.p=2 B.|MN|=  C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形     AC     返回目录 解析　由于y2=2px的焦点为 ,直线y=- (x-1)过焦点, 所以-  =0,解得p=2,A正确; 联立 消去y得3x2-10x+3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= ,所以|MN|=x1+x2+p = ,B不正确; 以MN为直径的圆的圆心的横坐标为 = ,圆心到准线l的距离d= +1= = |MN|,故 以MN为直径的圆与l相切,C正确; 返回目录 不妨令点M在第一象限,由3x2-10x+3=0得x1= ,x2=3,所以y1= ,y2=-2 ,所以|ON|=  = ,|OM|= = ,又|MN|= ,所以△OMN不是等腰三角形, D不正确.故选AC. 返回目录 3.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F 的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则     ( ) A.直线AB的斜率为2  B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°     ACD     返回目录 解析　如图,取线段FM的中点H,连接AH,   ∵|AF|=|AM|,∴AH⊥x轴, 又∵F ,M(p,0),∴H , 则xA= p,代入抛物线方程得yA= p(舍负),∴A ,由抛物线焦点弦的性质可得 返回目录 xA·xB= ,则xB= ,则B ,∴kAB=kAF= =2 ,故A正确; |OB|= = p,|OF|= , ∴|OB|≠|OF|,故B错误; |AB|= + +p= >2p=4|OF|,故C正确; ∵|OA|2= ,|OB|2= ,|AM|2= ,|BM|2= ,|OM|=p,∴|OA|2+|AM|2>|OM|2,|OB|2+|BM|2> |OM|2, ∴∠OAM,∠OBM均为锐角,可得∠OAM+∠OBM<180°,故D正确.故选ACD. 返回目录 4.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py (p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( ) A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2     BCD     返回目录 解析　由点A(1,1)在抛物线C上,知1=2p,所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=- ,故选项A 错误. 易知AB:y-(-1)= (x-0),即y=2x-1,联立 消去y得x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,即直线 AB与C相切,故选项B正确. 设PQ:y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 消去y得x2-kx+1=0,则 且Δ=k2-4>0, 即k2>4. 由于 · =x1x2+y1y2=x1x2+  =2=|OA|2,| |·| |≥ · 且向量 , 不共线,所以 返回目录 | |·| |> · ,即|OP|·|OQ|>|OA|2,故选项C正确. 因为 · =x1x2+(y1+1)(y2+1)=y1+y2+3=k(x1+x2)+1=k2+1,因为k2>4,并注意到| |·| |= ·  , =1+4=5,所以| |·| |>|BA|2,故选项D正确.故选BCD. 返回目录 5.★★★★(多选)(2025全国一卷,10,6分)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线 交C于A,B两点,过A作直线l:x=- 的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于 点E,则 ( ) A.|AD|=|AF|　　    B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6　　     D.|AE|·|BE|≥18     ACD     返回目录 解析　由y2=6x知,焦点F , l:x=- 是其准线.   由抛物线的定义知,|AD|=|AF|, 因此选项A正确; 设直线AB的方程为x=my+ ,A(x1,y1),B(x2,y2). 返回目录 联立 消去x整理得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9, 则x1+x2= + =6m2+3,所以|AB|=|AF|+|BF|= + =(x1+x2)+3=6m2 +6, 当m=0时,|AB|min=6,即|AB|≥6,因此选项C正确; 当m=0时,直线AB与x轴垂直,|AB|=6,|AF|=3,易知|EF|=3, 所以|AE|= =3 ≠|AB|,因此选项B错误; 依题意得△ADE≌△AFE, 过B点作BM⊥l于M,易得△BME≌△BFE,所以AE⊥BE,因此|BE|·|AE|=2S△AEB, 返回目录 由EF⊥AB知,直线EF的方程为y=-m ,因此E , 所以|EF|= =3 , 所以S△AEB= |AB|·|EF|= (6m2+6)·3 ≥9, 所以|AE|·|BE|=2S△AEB≥18,因此选项D正确. 故选ACD. 返回目录 6.★(2023全国乙理,13,5分)已知点A(1, )在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离 为_________. 解析　∵点A(1, )在抛物线C:y2=2px上,∴( )2=2p×1,∴p= ,∴A到C的准线的距离为 xA+ =1+ = . 返回目录 7.★★(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点 N.若|MF|=6,则点M的横坐标为_________;△MNF的面积为__________.     4          5     解析　由题意得,抛物线的准线方程为x=-1.设点M的坐标为(x0,y0),则有|FM|=x0+1=6,解 得x0=5,所以点M的横坐标是5.将x0=5代入y2=4x,得|y0|=2 ,由题意得S△FMN= ×(5-1)×2  =4 . 返回目录 8.★★★(2023天津,12,5分)已知过原点O的直线l与圆(x+2)2+y2=3相切,且l与抛物线y2= 2px(p>0)交于O,A两点.若|OA|=8,则p=_________.     6     解析　圆(x+2)2+y2=3的圆心为C(-2,0),半径r= ,设切点为M,易知切线OM斜率存在,设 其方程为y=kx,则圆心C到直线y=kx的距离d= = ,解得k=± . 联立 解得A . 由|OA|= =8,p>0,得p=6. 返回目录 9.★★★(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为 C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为_________.     x=-  返回目录 解析　∵点P在抛物线上且PF⊥x轴,不妨设点P位于x轴上方,∴P ,∴ = , 由题知F , ∵Q为x轴上一点,且PQ⊥OP, ∴Q在F右侧,又∵|FQ|=6, ∴Q ,∴ =(6,-p), ∵PQ⊥OP,∴ · = ×6-p2=0,∴p=3或p=0(舍), ∴C的准线方程为x=- . 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届广东入学联考,7)已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点,F为C的焦点,直线4x- 3y-8=0与C交于M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>y2)两点,记△OMF和△ONF的面积分别为S△OMF,S△ONF, 则 = ( ) A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.4     D     返回目录 解析　由抛物线C:y2=8x可知抛物线的焦点为F(2,0),易得点F(2,0)在直线4x-3y-8=0上, 由 消去x,可得y2-6y-16=0,解得y=8或y=-2, 因为y1>y2,所以y1=8,y2=-2, 则 = = =4.故选D. 返回目录 2.★★★(2025届湖南长沙明德中学月考,8)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2 (r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4 ,则r=  ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     B 返回目录 解析　设P(x0,y0),则 =2x0. 圆C的圆心为C(4,0),半径为r, 由PA,PB与圆C切于点A,B,得PA⊥AC,PB⊥BC,PC⊥AB,   则|AB|·|PC|=2S四边形PACB=4S△PAC=2|PA|·|AC|=2r =2r  =2r·  =2r ≥2r· ,当且仅当x0=3时,等号成立, 则2r =4 ,整理得r4-7r2+12=0,解得r2=4或r2=3, 因为r∈N*,所以r2=4,r=2.故选B. 返回目录 3.★★★(2025届浙江金华一中月考,5)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C交 于A,B两点,FA⊥FB,|FA|=2|FB|,则l的斜率是 ( ) A.±1　　     B.± 　　     C.± 　　    D.±2     D     解析　当直线l不经过原点O时,根据对称性,不妨令l的斜率大于0. 如图,过点A,B作C的准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过B作BH⊥AA1,垂足为H.   返回目录 设|FA|=2|FB|=2a,a>0,则|AB|= a. 而|AH|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=a, 所以|BH|= =2a, 则l的斜率k=tan∠BAH= =2. 根据对称性可知k=-2时也满足题意. 当直线l经过原点O时,可知一交点为O,则FO⊥FA,|FA|=2|FO|=p,得l的斜率为 =2, 根据对称性可知k=-2时也满足题意.故选D. 返回目录 4.★★★(多选)(2026届广东阳江月考,9)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点 M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则 ( ) A.F的坐标为(1,0) B.y0=4 C.|OM|=4  D.以MF为直径的圆与x轴相切     BCD     返回目录 解析　对于抛物线C:x2=4y,可得p=2, =1,且焦点在y轴正半轴上,则点F(0,1),A错误;由 抛物线的定义可得|MF|=y0+1=5,可得y0=4,B正确; 由y0=4可知, =16,可得x0=±4,|OM|= =4 ,C正确; ∵MF的中点坐标为 ,则点 到x轴的距离d= = |MF|, ∴以MF为直径的圆与x轴相切,D正确.故选BCD. 返回目录 5.★★★(多选)(2026届湖北襄阳四中综合测试,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0),准线为l, 过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A',B',则  ( ) A.FA'⊥FB' B.若|AF|=3|BF|,则直线AB的斜率为  C.A,O,B'三点共线(其中O为坐标原点) D.|A'B'|2=4|AF||BF| ACD     返回目录 解析　连接A'F,B'F,根据抛物线定义可知|AA'|=|AF|,所以∠AA'F=∠AFA',   因为AA'∥x轴,所以∠AA'F=∠OFA', 所以∠AFA'=∠OFA', 同理∠BFB'=∠OFB', 所以∠A'FB'=∠OFB'+∠OFA'= (∠OFB+∠OFA)= , 即FA'⊥FB',故A正确; 过B作BD⊥AA'于D,设|BF|=d(d>0),则|AF|=3d,|AD|=2d, 返回目录 所以cos∠DAF= = = , 所以∠DAF= ,由对称性可知直线AB的斜率为± ,故B错误; 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A' ,B' , = , = ,由于A,F,B三点 共线, 则 y2-y1 =0, 又 =2px1, =2px2,则 (y1-y2)=0,由于y1≠y2,则y1y2=-p2,又kOA= = ,kOB'= = - , 返回目录 所以 = · =- =1,即kOA=kOB',所以A,O,B'三点共线,故C正确; 由于y1y2=-p2,则  =p4,即2px1·2px2=p4,所以x1x2= , |A'B'|2=(y1-y2)2= + -2y1y2=2px1+2px2+2p2=4x1x2+2px1+2px2+p2=4  , 所以|A'B'|2=4|AF||BF|,故D正确. 故选ACD. 返回目录 6.★★★(多选)(2026届湖南长沙一中月考,10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过F的直 线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 ( ) A.抛物线C的准线方程为x=-4 B.若|AF|=8,则x1=6 C.|AF||BF|的最大值为16 D.∠AOB为钝角     BD     返回目录 解析　如图,   对于A,抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因此A错误; 对于B,|AF|=x1+2,而|AF|=8,则x1=6,因此B正确; 显然直线l不垂直于y轴,设其方程为x=ty+2,由 消去x得y2-8ty-16=0,则y1+y2=8t,y1 y2=-16,x1+x2=t(y1+y2)+4=8t2+4,x1x2= · =4, 对于C,|AF||BF|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=8+8(2t2+1)≥16, 返回目录 当且仅当t=0时取等号,因此C错误; 对于D, · =x1x2+y1y2=-12<0,则∠AOB为钝角,因此D正确.故选BD. 返回目录 7.★★★★(多选)(2026届山东泰安开学考,10)斜率为k的直线与抛物线y2=4x相交于A,B 两点,O为坐标原点,OA⊥OB,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,设直线AB与x轴交于点D,过 D作OB的平行线交OA于点H,则 ( ) A.|OD|=4 B.(k1+k2)·k=-1 C.O,B,D,H四点共圆 D.△ODH面积的最大值为4     ABD     返回目录 解析　对于A,设A ,B ,则k1= ,k2= , 由OA⊥OB得k1k2=-1,即y1y2=-16. 直线AB的斜率k= = , 因此直线AB的方程为y= · +y1,令y=0,解得x= =4, 所以D(4,0),即|OD|=4,因此A正确; 对于B,(k1+k2)·k= · = = =-1,因此B正确; 返回目录 对于C,若O,B,D,H四点共圆,   则∠AOB+∠HDB=180°,由OA⊥OB得∠HDB=90°,即DH⊥AB,又OB∥DH,OA⊥OB,则 DH⊥OA,所以OA∥AB,这与OA∩AB=A矛盾,于是O,B,D,H四点不共圆,因此C错误; 对于D,直线DH的方程为y= (x-4),与OA的方程y= x联立, 【思路探究:以y1,y2为变量,建立S关于y1,y2的函数关系,利用y1y2=-16消去一个变量,利用 基本不等式求最值】 解得H ,故△ODH的面积S= ×4× = , 返回目录 因为y1y2=-16,故将y2=- 代入上式并化简得S= , 不妨设y1>0,则 +y1≥8,当且仅当y1=4时等号成立,此时S≤ =4, 所以△ODH面积的最大值为4,因此D正确.故选ABD. 返回目录 8.★★★★(多选)(2025届河北保定部分地区模拟,10)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P 为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q, 则 ( ) A.当a=1时,l与圆M相切 B.当 =a时,|PA|+|PQ|的最小值为2  C.当|AB|=2 时, · 为定值 D.存在点P,使得△PAB为等边三角形     CD     返回目录 解析　对于A,圆M:(x-1)2+(y-2)2=4的半径r=2,圆心(1,2)到准线x=- 的距离为1+ ,所以 当且仅当a=1,p=2时,l与圆M相切,故A不正确; 对于B,如图所示,当 =a时,A恰为焦点,则|PA|+|PQ|=2|PA|,   故当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|有最小值,最小值为p,故B不正确; 对于C,在△AMB中,因为|AB|=2 ,|MA|=|MB|=2,所以由余弦定理的推论得cos∠AMB=  = =- ,所以∠AMB=120°, 返回目录 所以 · =| |·| |·cos∠AMB=2×2× =-2,故C正确; 对于D,当|AB|=2 时,∠AMB=120°,所以∠APB=60°,此时△PAB为等边三角形,故D正 确.故选CD. 返回目录 9.★★(2025届湖南名校联合体联考,13)设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线 l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=__________.     14     返回目录 解析　由题意可得F(3,0),抛物线的准线方程为x=-3, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D, 根据抛物线的定义,得|AF|=|AC|=x1+3,|BF|=|BD|=x2+3, 故|AF|+|BF|=(x1+x2)+6, 因为AB的中点为P(4,1), 所以 (x1+x2)=4,可得x1+x2=8, 所以|AF|+|BF|=(x1+x2)+6=14. 返回目录 10.★★(2026届广东深圳多校开学联考,13)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l 与Γ交于P,Q两点,其中Q在第一象限,若2 = ,则直线l的斜率为_________. 返回目录 解析　过点P,Q作抛物线准线的垂线,垂足分别为A,B,过P作PC⊥QB于C,显然四边形 ABCP是矩形,   由抛物线定义知,|PA|=|PF|,|QB|=|QF|,因为2 = , 则|QC|=|QB|-|CB|=|QF|-|AP|=|QF|-|PF|=|PF|= |PQ|, 所以|PC|= =2 |QC|, 设直线l的倾斜角为θ,则∠QPC=θ, 所以tan θ=tan∠QPC= = = . 返回目录 11.★★(2025届河北“五个一”名校联盟联考,13)抛物线C:y2=4x上的动点P到直线y=x +3的距离最短时,P到C的焦点的距离为_________.     2     解析　设P ,则点P 到直线x-y+3=0的距离d= = =  , 当y0=2,即P(1,2)时,抛物线y2=4x上的动点P到直线x-y+3=0的距离最短,则P到C的焦点的 距离为x0+1=1+1=2. 返回目录 12.★★★(2026届河南安阳调研,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,C的准线与x轴交于 点E,若A为C上一点,∠AFE为钝角,且 = ,则|AF|=____________.     6+2      解析　如图所示,若AB垂直于准线于B,则|AB|=|AF|,故 = = , 【方法技巧:条件 = 有两个运用:一是在Rt△ABE中求出角∠AEB,二是得到|AF|, |AE|的关系,解△AEF,进而解决问题】  所以,在Rt△ABE中,∠AEB=60°,所以∠AEF=30°, 令|AF|= x,|AE|=2x,x>0, 返回目录 又|EF|=2,则cos∠AEF= = , 所以 = ,整理得x2-4 x+4=0,所以x=2( ± ),而∠AFE为钝角,所以结合 三角形边角关系知|AE|>|EF|=2, 当x=2( - )时,|AE|=4( - )<2,不符合要求, 所以x=2( + ),|AE|=4( + )>2,经验证满足要求,因此|AF|=6+2 . 返回目录 13.★★★★(2026届广东八校联盟质检,14)已知A,B为抛物线y2=4x上两点,∠AOB= ,F 为焦点,O为坐标原点,A在第一象限,且点A的纵坐标大于点B的纵坐标,若 = ,则 点A的坐标为_______________.     (36,12)     解析　设A(a2,2a),B(b2,2b),a>0,b≠0,则kOA= ,kOB= , 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),结合抛物线定义,得 = = , 【思路点拨:利用三角函数公式将条件∠AOB= 转化为a,b的关系,求出 ,代入上式消 去b,求a的值】当A,B位于x轴的不同侧时,tan∠AOF=kOA,tan∠BOF=-kOB(b<0), 返回目录 由tan∠AOB=tan(∠AOF+∠BOF)= =1,整理可得 = = ,所以 =  <0,则 = = , 所以 =- ,解得a=6(负值舍去),此时A的坐标为(36,12); 当A,B位于x轴同侧时,同理得 = ,此时无解.综上,点A的坐标为(36,12). 返回目录 14.★★★(2026届河南信阳联考,16)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到直线y=x的距 离为 . (1)求C的准线方程; (2)若直线l经过点M(8,0),直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,证明:OA⊥OB. 返回目录 解析    (1)依题意可得F . 因为焦点F到直线y=x的距离d= = ,所以p=±4. 又p>0,所以p=4, 则C的准线方程为x=-2. (2)证明:由(1)得C的方程为y2=8x.依题意得直线l的斜率不可能为0,则可设直线l的方程 为x=my+8. 设A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+8代入y2=8x,得y2-8my-64=0, 返回目录 则Δ=64m2+64×4>0恒成立,y1y2=-64. 因为  =8x1·8x2, 所以x1x2= =64, 所以 · =x1x2+y1y2=0, 所以OA⊥OB. 返回目录 $