专题五 一元函数的导数04导数与函数的最值 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与函数的最值专题，涵盖最值定义、求法步骤、与极值关系及含参、已知最值求参数等核心考点，通过知识梳理填空和问题链设计，引导学生自主构建从基础到综合的知识网络，体现考点的系统性与层次性。 亮点在于诊断性自测与分层应用设计，如开篇设置极值最值判断例题及变式训练帮助学生自主诊断，类型应用中闭区间与开区间最值例题培养数学思维与模型意识。每个类型配有变式题，学生可个性化提升，教师能通过学情精准指导，助力因材施教与自主复习能力培养。

高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数04导数与函数的最值 1、 考情分析 天津高考数学中，导数与函数的极值、最值是必考内容，通常以第 20 题（16 分）的压轴题形式出现，是整卷区分度最高的核心考点。近 5 年（2021—2025）天津卷始终保持 "三问分层" 的结构：第（1）问考查切线方程与基础求导运算（送分奠基），第（2）问考查含参单调性、极值最值或恒成立问题（承上启下），第（3）问考查不等式证明、零点综合或极值点偏移等（拉开差距）。 2、 知识梳理 知识点一 函数的最大（小）值 1.一般地，如果在区间上函数的图象是一条 的曲线，那么它必有最 值与最 值. 2.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的 ； （2）将函数的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 常用结论： 1. 若 在 上单调，则最值一定在 取得。 1. 若 在 内只有一个极值点，则此 点一定是函数的 点。 知识点二 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、类型应用 类型一 函数极值最值的判断 例1：下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 变式训练1-1：已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 变式训练1-2：已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 类型二 求函数的最值（不含参） （一）求闭区间连续函数最值 例2：已知函数 在 处取得极大值10． (1)求的值； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 变式训练2-1：已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 变式训练2-:2：设函数，若函数在处与直线相切． (1)求实数，的值； (2)求函数在上的最大值． （2） 开区间函数最值 例3：已知函数. (1)若，求的最大值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 变式训练3：给定函数. (1)求的单调区间及最值； (2)求图象过点的切线方程. 类型三 已知最值求参数的值或范围 例4：若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 变式训练4-1：函数在处取最大值，则（   ） A． B． C．3 D．4 变式训练4-2：若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 变式训练4-3：已知函数的最小值为0，则___________． 变式训练4-4：已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 例5：已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 变式训练5-1：已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 变式训练5-2：已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 变式训练5-3：已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型四 求含参函数的最值 例6：已知函数.求函数在上的最大值； 变式训练6-1：已知函数． 若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； 变式训练6-2：已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； 类型五 数学情境 1．蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状而得名，它是数学与美学结合的经典案例，在许多领域展现了跨学科的应用潜力．已知某种蝴蝶曲线，如图所示，在平面直角坐标系中，曲线的方程为，若点在上运动，为坐标原点，则的最大值为______．    2．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在（0，1）的曲率； (2)求曲线曲率的最大值； (3)函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 四、素养提升 1．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 3．某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 4．设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 5．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数04导数与函数的最值 1、 考情分析 天津高考数学中，导数与函数的极值、最值是必考内容，通常以第 20 题（16 分）的压轴题形式出现，是整卷区分度最高的核心考点。近 5 年（2021—2025）天津卷始终保持 "三问分层" 的结构：第（1）问考查切线方程与基础求导运算（送分奠基），第（2）问考查含参单调性、极值最值或恒成立问题（承上启下），第（3）问考查不等式证明、零点综合或极值点偏移等（拉开差距）。 2、 知识梳理 知识点一 函数的最大（小）值 1.一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 常用结论： 1. 若 在 上单调，则最值一定在端点处取得。 1. 若 在 内只有一个极值点，则此极值点一定是函数的最值点。 知识点二 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、类型应用 类型一 函数极值最值的判断 例1：下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】结合极值，最值的概念判断即可. 【详解】因为函数在上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在上的连续函数一定存在最大值和最小值． 故选：D. 变式训练1-1：已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 变式训练1-2：已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与导函数图象之间的关系、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【分析】由图得出导数正负情况，进而可得函数单调性情况，再结合极值、最值、奇偶函数和零点定义即可得解. 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 类型二 求函数的最值（不含参） （一）求闭区间连续函数最值 例2：已知函数 在 处取得极大值10． (1)求的值； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为10，最小值为2. 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【详解】（1）， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意. （2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且极大值为, 极小值为，又因为 故函数 在区间 上的大值为10，最小值为2. 变式训练2-1：已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)减区间，增区间 (2)最大值为，最小值为. 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【详解】（1），若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. （2）由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 变式训练2-:2：设函数，若函数在处与直线相切． (1)求实数，的值； (2)求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义可确定方程组，求解即可； （2）由函数的导函数可确定函数在给定区间上的单调性，结合单调性可求最大值. 【详解】（1），， 函数在处与直线相切， ，解得 （2）由（1）知，，， ， 当时，令，得， 令，得， 在上单调递增，在上单调递减， ． （2） 开区间函数最值 例3：已知函数. (1)若，求的最大值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）将代入，求导分析单调性，确定最值； （2）求导，分析单调性确定存在点使有两个零点，进而转化为不等式，证明不等式大于零求的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 在单调递减，注意到， ∴当时，，单调递增； 当时，， 单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， ； （2），在单调递减， 注意到且时，时，， ∴存在唯一，使且在上单调递增，在上单调递减， 注意到且及时，， ∴ 要使有两个零点，只需， ∵，则， 代入上式得，化简得， 设，则在上单调递增，注意到， ∴当时，， 设，则在单调增，故，， ∴若有两个零点，则实数的取值范围是 变式训练3：给定函数. (1)求的单调区间及最值； (2)求图象过点的切线方程. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，由，求导单调区间，即可求解； （2）设切点，求导确定切线方程，代入，求得切点坐标，即可求解. 【详解】（1）由题设， 当时，有单调递减， 当时，有单调递增， ， 综上，的递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值； （2）由（1）得， 设切点，则切线方程为， 即， 又切线过点，则，解得， 故切线方程为. 类型三 已知最值求参数的值或范围 例4：若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数、已知函数最值求参数 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 变式训练4-1：函数在处取最大值，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数 【详解】由，得， 因为函数在处取最大值，所以， 解得，所以. 变式训练4-2：若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 变式训练4-3：已知函数的最小值为0，则___________． 【答案】/ 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】易知函数的定义域为，且, 当时，恒成立，此时在上单调递减，不存在最小值，不合题意； 当时，令可得, 又时，，时，， 所以此时在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值，即， 即，解得，符合题意； 综上可知. 变式训练4-4：已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、已知函数最值求参数 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 例5：已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或e 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用、已知函数最值求参数 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导化简，将导数整理为便于分析符号的形式，并分类讨论导数的符号，得知单调性即可； （2）先结合单调性判断最值是否存在，再确定最值点，最后代入最值条件列方程求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. 变式训练5-1：已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导后分，，，四种情况讨论可得； （2）利用（1）的单调性分和两种情况求出最大值后讨论可得. 【详解】（1）函数的定义域为， 当，即时，在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增， ，，所以函数在区间上单调递减. 综上， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）由（1）可知，当时，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为，解得，不合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为， 整理得，即，所以，符合题意， 综上可知，函数在区间上的最大值为2时，实数的值为. 变式训练5-2：已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程，求解参数即可. （2）先求导函数，由导函数特征对参数范围进行分类讨论即可求解. （3）方法一：利用分离参数法得到即可分析计算求解；方法二：转化为，再结合的单调性建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得， 因为曲线与轴相切，所以设切点为， 则，解得， 又因为，所以，解得. （2）由题意得的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数， 当时，若，，在上为减函数， 若，，在上为增函数； 综上，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数 （3）方法一：由题意得当时，恒成立， 等价于恒成立，得到， 令，则，解得， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 则，故. 方法二：当时，恒成立，等价于恒成立 由（2）可知：①当时，在上为增函数， ，则，无解 ②当时，在上为减函数，在上为增函数， 得到，解得. 变式训练5-3：已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 类型四 求含参函数的最值 例6：已知函数.求函数在上的最大值； 【答案】时，最大值为；时，最大值为 【知识点】利用导数研究函数的最值（含参） 【分析】因为为二次函数，所以对参数范围进行分类讨论，求在上的最大值； 【详解】由， ①当时，在上恒成立，即在上单调递增， 函数在上的最大值为.     ②当时，在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增. 即函数在上的最大值为，     由 当时，即时，函数在上的最大值为. 当时，即时，函数在上的最大值为0.     ③当时，在上恒成立，即在上单调递减， 即函数在上的最大值为． 综上所述，时，函数在上的最大值为； 时，函数在上的最大值为. 因为在上恒成立， 变式训练6-1：已知函数． 若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； 【答案】答案见解析； 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值； 【详解】因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. 变式训练6-2：已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值； 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. 类型五 数学情境 1．蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状而得名，它是数学与美学结合的经典案例，在许多领域展现了跨学科的应用潜力．已知某种蝴蝶曲线，如图所示，在平面直角坐标系中，曲线的方程为，若点在上运动，为坐标原点，则的最大值为______．    【答案】/ 【知识点】利用圆锥曲线的参数方程求最值问题、由方程研究曲线的性质、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】记，以轴非负半轴为始边，射线为终边对应的角为，则，然后将问题转化为关于与的关系，进而换元转化为函数，利用函数导数求解即可. 【详解】记，以轴非负半轴为始边， 射线为终边对应的角为， 则， 所以， 即， 即 记，则， 记， 则，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 故答案为：. 2．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在（0，1）的曲率； (2)求曲线曲率的最大值； (3)函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数新定义、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据曲率公式求解即可； （2）根据曲率公式求解函数曲率的最大值； （3）根据不存在曲率为0的点，得到在无实数解，令，通过多次求导，求得函数的最小值,进而得到的取值范围. 【详解】（1）因为，则，， 所以 （2）因为，则，， 所以， 令 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以曲率最大值为. （3） ， ， 因为不存在曲率为0的点，所以在无实数解， 令， ， 令，求导得， 故函数在上单调递增， 而，则存在，使， 即，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 由，得， 则， 所以的取值范围是. 四、素养提升 1．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 2．已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、求函数零点或方程根的个数、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 3．某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 4．设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由于，恒成立即恒成立，，从而得到(必要条件)，然后再验证当时，通过导数求得函数最小值，再证明（充分条件）； （2）利用第一问可知，把不等式转化为证明不等式. 【详解】（1）由于，所以，恒成立即恒成立，处取最小值， ，故由（必要条件）； 验证充分性：当时，；令，得， 令，得，令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即恒成立. 综上所述， （2）由（1）知恒成立，故； 又 ， 所以，， 故，即. 5．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $