3.3 导数与函数的极值、最值导学案——2027届高三数学一轮复习

第三节　导数与函数的极值、最值 知识清单 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________．则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________．则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为______________，极小值和极大值统称为______________． 剖析　对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 极大值与极小值之间没有必然的大小关系． 2．函数的最值与导数 (1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________． 剖析　若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 极值有可能是最值，若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　) (2)导数等于0的点一定是函数的极值点．(　　) (3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) 2．(人教A版选修二P92T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 3．(人教A版选修二P94T1(3)改编)函数f(x)＝6＋12x－x3，x∈的最大值为________，最小值为________． 4．(人教A版选修二P95例7(1)改编)函数f(x)＝(x＋1)ex的极小值为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　导数与函数的极值 考向1　由函数图象判断极值(点) 例1：(多选)已知f′(x)为函数f(x)的导函数，若函数y＝f′(x)－1的图象大致如图所示，则(　　) A．f(x)有3个极值点 B．x＝3是f(x)的极大值点 C．x＝－4是f(x)的极大值点 D．f(x)在(0，4)上单调递增 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)涉及与极值有关的函数图象问题，首先要分清给的是f(x)还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点． (2)由y＝f ′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (3)由导函数y＝f ′(x)的图象可以看出y＝f ′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 　跟踪训练　(2026·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　) A．f(x)有2个极值点 B．f(x)在x＝2处取得极大值 C．f(x)在(－∞，2)上单调递增 D．f(x)有极小值，没有极大值 考向2　求函数的极值 例2：(2026·潍坊模拟节选)已知函数f(x)＝ln x－x2＋1，讨论f(x)的极值． 学霸笔记：求函数极值的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x)； (3)解方程f ′(x)＝0，求出导函数的定义域内的所有根； (4)列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值． 跟踪训练　求函数f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x的极值． 考向3　由函数的极值(点)求参数 例3：(1)(多选)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 (2)(链接·2025年全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________． 真题探源　(源自人教B版选修三P101B组T3)设函数f(x)＝ax3＋3x＋2有极值，求a的取值范围，并求出函数的极值点． 学霸笔记：(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验． 命题点二　导数与函数的最值 考向1　不含参函数的最值 例4：(链接·2025年全国Ⅰ卷19题节选)设函数f(x)＝5cos x－cos 5x，求f(x)在上的最大值． 真题探源　(源自人教A版选修二P93例6)求函数f(x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值与最小值． 学霸笔记：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 考向2　含参函数的最值 例5：已知a∈R，函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值． 学霸笔记：(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论． (2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决． 　跟踪训练　已知函数f(x)＝4x3－ax2＋3在[0，2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，8) B．[12，＋∞) C．[8，12) D．[8，＋∞) 第三节　导数与函数的极值、最值 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)f′(x)＜0　f′(x)＞0　(2)f′(x)＞0　f′(x)＜0　(3)极值点　极值 2．(1)连续不断　(2)最小值　最大值　最大值　最小值 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个．故选C. 答案：C 3．解析：f(x)＝6＋12x－x3，x∈的导数为f′(x)＝12－3x2，由f′(x)＝0，可得x＝2(x＝－2舍去)，f(2)＝6＋24－8＝22，f(3)＝6＋36－27＝15，f＝6－4＋，即f(x)的最大值为22，最小值为. 答案：22　 4．解析：函数的定义域为R. f′(x)＝(x＋2)ex. 由f′(x)＞0，解得x＞－2；由f′(x)＜0解得x＜－2. 所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增． 当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－. 答案：－ 考教衔接·活用教材 例1　解析：根据函数y＝f′(x)－1的图象得，当x∈(－∞，－4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－4，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)有3个极值点，其中x＝－4和x＝4是f(x)的极大值点，且f(x)在(0，4)上单调递增，x＝0是f(x)的极小值点，结合选项，可得ACD正确，B错误．故选ACD. 答案：ACD 跟踪训练　解析：由题图得，当x<4时，f′(x)≤0，当且仅当x＝2时取等号；当x>4时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．因此函数f(x)有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确．故选D. 答案：D 例2　解析：函数f(x)＝ln x－x2＋1的定义域为(0，＋∞)， 对f(x)＝ln x－x2＋1求导得f′(x)＝， 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值； 当a>0时，令f′(x)＝＝0，即1－ax2＝0，解得x＝(x>0)， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 因此，f(x)在x＝处取得极大值，极大值为f＝ln ·2＋1＝－ln a＋(1－ln a)，无极小值． 综上，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极大值(1－ln a)，无极小值． 跟踪训练　解析：f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)， 由f′(x)>0得x<－2或x>－ln 2， 由f′(x)<0得－2<x<－ln 2， 所以f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上递增； f(x)在(－2，－ln 2)上递减． 综上，当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝4(1－e-2)； 当x＝－ln 2时，f(x)取得极小值f(－ln 2)＝－(ln 2)2＋2ln 2＋2. 例3　解析：(1)因为函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选BCD. (2)由题意有f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)，所以f′(x)＝(x－a)(x－1)＋(x－1)(x－2)＋(x－a)(x－2)．因为2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝2－a＝0，得a＝2，当a＝2时，f′(x)＝2(x－2)(x－1)＋(x－2)2＝(x－2)(3x－4)，当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极小值点，符合题意．所以f(0)＝－1×(－2)×(－a)＝－2a＝－4. 答案：(1)BCD　(2)－4 真题探源　解析：已知f(x)＝ax3＋3x＋2，函数的定义域为R， 可得f′(x)＝3ax2＋3， 若函数f(x)有极值， 此时f′(x)＝0有两个不同的解， 即3ax2＋3＝0有两个不同的解， 所以a<0， 当x<－ 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当－ <x< 时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x> 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)的极大值点为x＝ ，f(x)的极小值点为x＝－ . 例4　解析：f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x＝5(sin 5x－sin x)＝5[sin (3x＋2x)－sin (3x－2x)]＝5×2cos 3x sin 2x＝10cos 3x sin 2x， 因为x∈，故2x∈，故sin 2x≥0， 当0<x<时，cos 3x>0即f′(x)>0； 当<x<时，cos 3x<0即f′(x)<0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减， 故f(x)在上的最大值为f＝5cos －cos . 真题探源　解析：∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4， 由f′(x)＝x2－4＝0，得x＝2，或x＝－2. ∵x∈[0，3]，∴x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0，2) 2 (2，3) 3 f′(x) － 0 ＋ f(x) 4 单调递减 极小值－ 单调递增 1 由上表可知， 当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝4； 当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－. 例5　解析：(1)由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)， 注意到ex>0，2ex＋1>0， ①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； ②若a>0，令f′(x)＝0时，解得x＝－ln a. 当x>－ln a，f′(x)>0；当x<－ln a，f′(x)<0. 所以f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减． 综上，a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； a>0时，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减． (2)由(1)知a>0时，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减， ①当－ln a≤0时，即a≥1时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝2a－2； ②当0<－ln a<1时，即<a<1时，函数f(x)在区间[0，－ln a]上单调递减， 在[－ln a，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(－ln a)＝1＋ln a－； ③当－ln a≥1，即0<a≤时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(1)＝ae2＋(a－2)e－1. 综上，a≥1时，f(x)min＝2a－2，<a<1时，f(x)min＝1＋ln a－， 0<a≤时，f(x)min＝ae2＋(a－2)e－1. 跟踪训练　解析：由f(x)＝4x3－ax2＋3可得f(0)＝3，函数f(x)＝4x3－ax2＋3，x∈[0，2]的导函数f′(x)＝12x2－2ax＝2x(6x－a)，x∈[0，2].若a≤0，当0≤x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0，2]上单调递增，f(x)的最大值为f(2)>f(0)＝3，不符合题意；若0<a<12，当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)在上单调递减，当<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)在上单调递增，由函数f(x)＝4x3－ax2＋3在[0，2]上的最大值为3，可得f(2)≤f(0)＝3，所以4×8－4a＋3≤3，又0<a<12，所以8≤a<12；若a≥12，当0≤x≤2时，f′(x)≤0，函数f(x)在[0，2]上单调递减，函数f(x)在[0，2]上的最大值为f(0)＝3，满足条件，所以a≥12时，函数f(x)在[0，2]上的最大值为3.综上所述，a的取值范围是[8，＋∞)．故选D. 答案：D 学科网（北京）股份有限公司 $