第六章培优点1　构造法求数列的通项学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第六章　数列 培优点1　构造法求数列的通项 一、 命题规律及备考策略 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解． 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式． 二、课堂考点突破 考点一　an＋1＝pan＋f(n)型 题型一 形如an＋1＝qan＋p(p≠0，q≠0且q≠1)型 [例1]　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则通项公式an＝________． [解析]　因为Sn＋1－2Sn＝1， 所以Sn＋1＝2Sn＋1. 因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，＝2. 因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2， 所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式， 故an＝2n－1. 题型二　形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)型 [例2]　数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列{an}的通项公式是________． [解析]　∵Sn＋1－2Sn＝1－n，∴Sn＋1－(n＋1)＝2(Sn－n)，且S1－1＝2≠0， ∴＝2，∴{Sn－n}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴Sn－n＝2·2n－1＝2n，Sn＝n＋2n. ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋2n－(n－1＋2n－1)＝2n－1＋1， 又a1＝3不满足上式，所以an＝ [答案]　an＝ 题型三　形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)型 [例3]　已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2n C．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n [解析]　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋， ∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n. [答案]　C 变式训练 1.(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A．若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n B．在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3 C．若a1＝2，an＝an－1＋n(n≥2)，则数列是等比数列 D．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n＋1 答案　AB 解析　∵2(n＋1)an－nan＋1＝0， ∴＝， ∴是首项为＝2，公比为2的等比数列， ∴＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故A正确； 由an＝2an－1＋3(n≥2)，得an＋3＝2(an－1＋3)， 即＝2， 又a1＋3＝1＋3＝4，于是数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4×2n－1，即an＝2n＋1－3， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3，故B正确； 根据题意，an＝an－1＋n⇔－＝1，n≥2， 又＝6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误； 设an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)， 所以an＋1＝2an＋kn＋b－k， 由an＋1＝2an＋n－1， 得解得 ∴＝2， 即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列． ∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误． 考点二　倒数为特殊数列an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q， an≠0)型 [例4]　在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则通项公式bn＝________． [解析]　递推式bn＋1＝两边同时取倒数， 得＝，即＝2·＋3， 因此＋3＝2·，＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以＋3＝2n，可得bn＝. [答案]　 变式训练 2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解　因为an＋1＝(n∈N*)， 所以＝＋1， 设＋t＝3， 所以3t－t＝1，解得t＝， 所以＋＝3， 又＋＝1＋＝， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝， 所以an＝. 思维升华 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的通项公式，再求an. 考点三 相邻两项的差为特殊数列　形如an＋2＝pan＋1＋qan(p≠0，q≠0)型 [例5]　已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，则这个数列的通项公式为________． [解析]　∵an＝2an－1＋3an－2， ∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)， 又a1＋a2＝7， ∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列， 则an＋an－1＝7×3n－2(n≥2)，　① 又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13， ∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列， 则an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2(n≥2)，　② 由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1(n≥2)， ∴an＝×3n－1＋(－1)n－1(n≥2). 又∵a1＝5也满足此式， ∴an＝×3n－1＋(－1)n－1. [答案]　an＝×3n－1＋(－1)n－1 变式训练 3.已知数列{an}满足3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，且a1＝3a2＝1.证明数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式． 证明　因为3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，an≠0， 等式两边同除以anan＋1an＋2，得 ＝－， 则－＝2， 所以数列是以－＝2为首项，2为公比的等比数列， 则－＝2×2n－1＝2n， 所以＝＋＋…＋＋＝2n＋2n－1＋…＋21＋1＝2n＋1－1， 则an＋1＝， 当n≥2时，an＝， 又当n＝1时，上式也成立， 故an＝. 三、课后作业 1．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则a1 000等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　an＋1＝两边同时取倒数， 得＝＋1，则－＝1， 故数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则＝n＋1，an＝，故a1 000＝. 2．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　) A．2n－1 B．3n－1 C． D． 答案　D 解析　由a1＝3，an＋1＝a知an>0， 对an＋1＝a两边取以3为底的对数得， log3an＋1＝2log3an， 则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列， 则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝. 3．已知数列{an}中，a1＝1，2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案　C 解析　2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1， 显然an≠0， 两边同时除以an＋1an，得－＝2， 又＝1， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝. 4．(2024·商洛模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)， 所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2)． 因为a2－2＝－1，所以{an－n}从第二项起是公比为－1的等比数列， 所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)， 所以an＝ 所以S2 023＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 023＋1＝2 023×1 012， S2 024＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 024－1＝2 023×1 013， 所以＝. 二、多项选择题 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　) A．a1＝ B．S4＝ C．{an}是等比数列 D.是等比数列 答案　ABD 解析　由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2， 则a2＝3S1＋2＝3a1＋2， 所以a1＝，故A正确； 因为an＋1＝3Sn＋2，① 所以当n≥2 时，an＝3Sn－1＋2，② ①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an， 当n＝1时，a1＝，不满足a2＝4a1， 故数列{an}不是等比数列，故C错误； 当n≥2时，an＋1＝4an， 则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48， 故S4＝＋3＋12＋48＝，故B正确； 由an＋1＝3Sn＋2， 得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2， 所以Sn＋1＝4Sn＋2， 令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)， 则Sn＋1＝4Sn＋3λ， 所以3λ＝2，即λ＝， 所以Sn＋1＋＝4，即＝4， 故是首项为S1＋＝a1＋＝1， 公比为4的等比数列，故D正确． 6．已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n 答案　AB 解析　因为an－3an＋1＝2anan＋1， 所以＋1＝3， 又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确； ＋1＝2×3n－1，即an＝，故B正确； 所以{an}为递减数列，故C错误； 的前n项和 Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－n＝3n－n－1，故D错误． 三、填空题 7．已知首项为1的数列{an}满足an＋1＝5an－3，则an＝________. 答案　＋×5n－1 解析　由an＋1＝5an－3，得an＋1－＝5， 因为a1＝1，所以a1－＝，进而an－≠0， 所以数列是首项为，公比为5的等比数列， 所以an－＝×5n－1，即an＝＋×5n－1. 8．(2023·阜阳统考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S10＝____. 答案　2 046 解析　方法一　由an＋1＋an＝3×2n，得 an＋1－2n＋1＝－(an－2n)． 又a1－21＝－1， 所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n， 即an＝2n＋(－1)n， 所以S10＝21＋22＋…＋29＋210＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)9＋(－1)10＝＝211－2 ＝2 046. 方法二　∵an＋1＋an＝3×2n， ∴a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29， 则S10＝3×(2＋23＋25＋27＋29)＝3×＝2 046. 四、解答题 9．已知数列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)． (1)求a2，a3，并证明{an－n}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解　(1)由a1＝2，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)， 得a2＝2a1－2＋2＝4，a3＝2a2－3＋2＝7， ∵an－n＝2an－1－2n＋2＝2[an－1－(n－1)]，a1－1＝1， ∴＝2(n≥2，n∈N*)， ∴{an－n}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an－n＝1×2n－1＝2n－1， ∴an＝2n－1＋n. 10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时， 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列{an}的通项公式． (1)解　当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝. (2)证明　∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， ∴4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)， ∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，符合上式， ∴4an＋2＋an＝4an＋1， ∵＝＝＝＝， ∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列． (3)解　由(2)知，是以1为首项，为公比的等比数列， ∴an＋1－an＝n－1.即－＝4， ∴数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列， ∴＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 即 an＝(4n－2)×n＝(2n－1)×n－1， ∴数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×n－1. 11．已知数列{an}中，a1＝m>0，an＋1an＝22n＋3，n∈N*. (1)若a5＝16，求m的值； (2)是否存在m，使数列{an}为等比数列？若存在，求数列{an}的前n项和Sn；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由已知可得an＋1an＋2＝22n＋5， ∴＝＝4，＝·＝42，∴m＝1. (2)由a1＝m，an＋1an＝22n＋3，可知a2＝，a3＝22m， 若存在m使{an}为等比数列，则a＝a1a3，且公比为q＝，解得m＝4，q＝2. 此时an＝4×2n－1＝2n＋1，an＋1＝2n＋2，anan＋1＝22n＋3，符合题意． 故存在m＝4使{an}为等比数列，且an＝2n＋1， 其前n项和为Sn＝＝2n＋2－4. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第六章　数列 培优点1　构造法求数列的通项 一、 命题规律及备考策略 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解． 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式． 二、课堂考点突破 考点一　an＋1＝pan＋f(n)型 题型一 形如an＋1＝qan＋p(p≠0，q≠0且q≠1)型 [例1]　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则通项公式an＝________． 题型二　形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)型 [例2]　数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列{an}的通项公式是________． 题型三　形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)型 [例3]　已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2n C．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n 变式训练 1.(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A．若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n B．在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3 C．若a1＝2，an＝an－1＋n(n≥2)，则数列是等比数列 D．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n＋1 考点二　倒数为特殊数列an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q， an≠0)型 [例4]　在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则通项公式bn＝________． 变式训练 2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 考点三 相邻两项的差为特殊数列　形如an＋2＝pan＋1＋qan(p≠0，q≠0)型 [例5]　已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，则这个数列的通项公式为________． 变式训练 3.已知数列{an}满足3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，且a1＝3a2＝1.证明数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式． 三、课后作业 1．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则a1 000等于(　　) A. B. C. D. 2．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　) A．2n－1 B．3n－1 C． D． 3．已知数列{an}中，a1＝1，2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 4．(2024·商洛模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，则等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　) A．a1＝ B．S4＝ C．{an}是等比数列 D.是等比数列 6．已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n 三、填空题 7．已知首项为1的数列{an}满足an＋1＝5an－3，则an＝________. 8．(2023·阜阳统考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S10＝____. 四、解答题 9．已知数列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)． (1)求a2，a3，并证明{an－n}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时， 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列{an}的通项公式． 11．已知数列{an}中，a1＝m>0，an＋1an＝22n＋3，n∈N*. (1)若a5＝16，求m的值； (2)是否存在m，使数列{an}为等比数列？若存在，求数列{an}的前n项和Sn；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$